НОВЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В КАНОНИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ДИФРАКЦИИ

Короткий опис

Оглавление
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Глава 1. Краевые функции Грина и формулы расщепления
§1. Краевые функции Грина и формулы расщепления в двумерных
задачах на плоскости с рассеивателями . . . . . . . . . . . . . . . . 17
§2. Краевые функции Грина и формулы расщепления в двумерных
задачах на зоммерфельдовых поверхностях . . . . . . . . . . . . . 26
§3. Формулы расщепления в трехмерных задачах . . . . . . . . . . . . . 42
§4. Некоторые дальнейшие обобщения формулы расщепления . . . . . . 51
§5. Основные результаты главы 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Глава 2. Обобщение метода Винера-Хопфа для дифракции на двух
полосах. Спектральное уравнение
§6. Постановка функциональных задач для краевых функций Грина . 62
§7. Спектральное уравнение для краевых функций Грина . . . . . . . . 67
§8. Эволюционные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
§9. Формулировка задачи об определении неизвестных констант. Начало 74
§10. Формулировка задачи об определении неизвестных констант. Окон-
чание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
§11. Численное решение спектрального уравнения для одиночной полосы 87
§12. Основные результаты главы 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Глава 3. Координатные уравнения для дифракции на двух полосах
§13. Основные свойства координатных уравнений . . . . . . . . . . . . . 100
§14. Вывод координатных уравнений для комплексных краевых функ-
ций Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
§15. Тождества для параметров, входящих в коэффициенты коорди-
натных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
§16. Связь координатных и спектральных уравнений . . . . . . . . . . . 118
§17. Вычисления на основе координатных уравнений для одиночной
полосы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
§18. Основные результаты главы 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Оглавление 2
Глава 4. Координатные и спектральные уравнения для дифракции на
уголковом отражателе со щелью
§19. Координатные уравнения для уголкового отражателя со щелью . . 134
§20. Спектральное уравнение для для уголкового отражателя со ще-
лью. Аналитические свойства его решений . . . . . . . . . . . . . . 138
§21. Свойства координатных и спектральных уравнений для задачи об
уголковом отражателе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
§22. Постановка задачи об определении параметров для уголкового от-
ражателя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
§23. Основные результаты главы 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Глава 5. Дифракция на плоском конусе
§24. Постановка задачи. Формулы расщепления. Модифицированные
формулы Смышляева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
§25. Координатные уравнения для отыскания сферических краевых
функций Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
§26. Эволюционные уравнения для задачи на сфере . . . . . . . . . . . 195
§27. Примеры вычислений для дифракции на плоском конусе . . . . . . 199
§28. Основные результаты главы 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Глава 6. Отражение от торца плоского волновода
§29. Постановка задачи для параболического уравнения на многолист-
ной поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
§30. Формула расщепления для апертурной линии . . . . . . . . . . . . 215
§31. Спектральные уравнения для апертурной линии . . . . . . . . . . . 221
§32. Основные результаты главы 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Приложение 1.
§34. О математической строгости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Приложение 2.
§35. Симметрия спектрального уравнения для задачи о двух полосах . 243
Приложение 3. Дифракционный ряд для дифракции на двух полосах
Оглавление 3
§36. Структура дифракционного ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
§37. О свойствах операторов F± . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
§38. Вывод формулы расщепления, спектрального уравнения и эволю-
ционного уравнения с помощью дифракционного ряда . . . . . . . 259
§39. Примеры вычислений на основе спектрального уравнения и ди-
фракционных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
Введение
Рассматриваемые задачи и мотивация работы
Настоящая работа представляет новые аналитические результаты для за-
дачи о дифракции на бесконечной полосе, а также обобщает эти результаты
на случай некоторых более сложных задач. Так, рассматриваются задачи о
дифракции на конечной системе параллельных полос, лежащих в одной плос-
кости, и дифракция на уголковом отражателе со щелью. Обе задачи двумерны,
поскольку координата, направленная вдоль образующей, может быть проигно-
рирована, и вместо полосы можно рассматривать ее сечение (отрезок) в перпен-
дикулярной плоскости. Рассматривается также трехмерная задача о дифракции
на плоском конусе (четвертьплоскости). Однако эта задача путем отделения ра-
диальной переменной редуцируется к двумерной краевой задаче на сфере. Везде
предполагается, что волны скалярные (т.е. решается уравнение Гельмгольца), а
граничные условия идеальны. В такой постановке удается получить ряд точных
аналитических результатов.
Задача о рассеянии на полосе является классической для теории дифрак-
ции. Известно ее точное решение, полученное методом разделения переменных.
Кроме того, получено значительное количество асимптотических результатов,
основанных на интегральных уравнениях, к которым сводится задача. Несмот-
ря на это, продолжают выходить работы, посвященные данной задаче. Причина
состоит в следующем. Задача о полосе допускает аналогию с классической зада-
чей Зоммерфельда [1], для которой было получено компактное решение, отве-
чающее на основные вопросы, стоящие перед теорией дифракции: как выглядит
краевая волна, что происходит в зоне полутени и т.д. Решение использует тот
факт, что дифракция на полуплоскости (в двумерном случае  на полупря-
мой) с помощью метода отражений может быть сведена к распространению на
разветвленной двулистной поверхности. Зоммерфельд предложил интегральное
представление поля, явным образом учитывающее структуру разветвленной по-
верхности. Позднее схожие результаты были получены для клина с идеальны-
ми граничными условиями, а также для импедансного клина [2]. Современный
обзор задач, решаемых методом Зоммерфельда-Малюжинца, можно найти в
монографии [3], а также в статьях [4, 5].
Еще Зоммерфельд заметил, что задача о дифракции на полосе также мо-
жет быть сведена к распространению на двулистной поверхности. Однако от-
сутствие аналога интеграла Зоммерфельда для такой поверхности (а точнее,
невозможность сформулировать простую функциональную задачу), привело к
Введение 5
тому, что для полосы аналога формулы Зоммерфельда не существует.
Следующая волна интереса к задаче о полосе связана с развитием метода
Винера-Хопфа [6, 7]. С помощью этого метода решение задачи о полуплоскости
получается элементарными средствами, а обобщение этого решения на случай
полосы наталкивается на существенные трудности. В данном случае эти труд-
ности связаны с появлением в уравнении неизвестной целой функции. К такой
задаче может быть применен только приближенный метод Винера-Хопфа.
Таким образом, исследовательский интерес к данной задаче, по-видимому,
основан на предположении о существовании простых решений, сходных с ре-
шениями задачи о полуплоскости, полученными методом Зоммерфельда или
методом Винера-Хопфа. Настоящая работа отвечает на вопрос о существова-
нии таких решений.
К сожалению, простой формулы для диаграммы направленности или для по-
ля получить не удалось. Задача о полосе (как и родственные ей более сложные
задачи) сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению с рацио-
нальными коэффициентами, известными с точностью до нескольких констант.
Неизвестные константы должны определяться (численно) из ограничений на
матрицы связи. Данный результат является основным результатом диссерта-
ции.
Сказанное выше относилось к математической мотивации работы. Суще-
ствует также физическая мотивация. Система отрезков, рассматриваемая в ра-
боте, моделирует конечную дифракционную решетку с идеальными граничны-
ми условиями. При этом может рассматриваться как рассеяние акустической
волны, так и электромагнитной волны определенной поляризации. Важно то,
что методы, используемые в работе, не накладывают ограничений на частоту
падающей волны, т.е. они пригодны для описания наиболее сложной ситуации,
когда длина волны сравнима с характерными размерами препятствия.
Предложенные методы потенциально дают значительный выигрыш в скоро-
сти вычислений по сравнению со стандартными (например, с методом гранич-
ных интегральных уравнений). Однако новые медоды значительно сложнее в
реализации. Поэтому применение новых методов целесообразно в тех случаях,
когда традиционные методы требуют слишком большого времени выполнения
даже на современных вычислительных машинах. К таким задачам относят-
ся задачи дифракции на конусах, например задача о дифракции на плоском
конусе. Традиционный способ решения таких задач заключается в отделении
радиальной координаты и решении семейства задач для оператора Лапласа-
Бельтрами на единичной сфере. Семейство индексируется константой разделе-
ния, которая пробегает по некоторому контуру в комплексной плоскости. Зна-
чение дифракционного коэффициента для одной пары направлений падения
и излучения вычисляется в результате интегрирования по этому контуру. На
Введение 6
практике на контуре выбирается конечное (но достаточно большое) количество
узловых точек, для каждой из точек решается задача на сфере (в общем слу-
чае  граничное интегральное уравнение), а затем применяется квадратурная
формула. Применение новых методов не меняет схему в целом, однако дает
значительную экономию машинного времени при решении задач на сфере.
Отметим, что задача о дифракции на плоском конусе имеет ряд практиче-
ских применений. Прежде всего, это дифракция на краях кромок летательных
аппаратов и подводных объектов. Хорошо известно, что именно угловые точки
дают основной вклад при рассеянии “почти везде”, т.е. для всех направлений,
за исключением бликов от поверхностей и кромок.
Рассматриваемые задачи представляют собой канонические задачи теории
дифракции в том смысле, что их решения могут быть использованы как со-
ставные части при построении приближенных решений более сложных задач,
например, в рамках методов, предложенных Дж.Келлером [8] (геометрическая
теория дифракции), В.А.Боровиковым [9] или П.Я.Уфимцевым [10] (физиче-
ская теория дифракции).
Обзор литературы
Точное решение задачи о дифракции на полосе с идеальными граничными
условиями было получено с помощью разделения переменных в эллиптических
координатах в работах [11, 12]. В работе [13] данное решение было проанали-
зировано, и были выделены выражения, соответствующие краевым волнам. В
недавней работе [14] точное решение численно сравнивается с приближением
Кирхгофа.
Другой способ построить решение задачи о полосе (щели) заключается в
том, чтобы воспользоваться решением задачи о полупрямой и построить бес-
конечную последовательность рассеяний на краях полосы (ряд Шварцшиль-
да) [15, 16, 17, 18, 19, 20]. Если полоса достаточно широкая по сравнению с
длиной волны, можно ограничиться несколькими членами ряда Шварцшиль-
да, получив тем самым приближенную формулу для дифракционного поля. Ряд
Шварцшильда является сходящимся при любом соотношении ширины полосы и
длины волны. Важно отметить, что многие дальнейшие работы посвящены ана-
лизу ряда Шварцшильда в той или иной его форме, а также поучению простых
формул для дифракционного коэффициента в одном из первых приближений.
Наиболее общий вид дифракционного ряда, пригодный для использования в
самых разных задачах (в том числе, включающих угловые препятствия), по-
строен в [21]. В своих исследованиях автор опирается на работы по квантовой
механике [22, 23].
Метод геометрической оптики был применен к задаче о щели в работе [24].
Приближенный метод Винера-Хопфа применен к задаче о полосе в моногра-
Введение 7
фии [6]. Функциональное уравнение Винера-Хопфа сводится к интегральному
уравнению, для которого строятся приближенные методы решения. Сюда же
следует отнести результаты, полученные в работах П.Я.Уфимцева [25, 26, 27,
28, 29] и собранные в монографии [30], а также работу [31].
В работе [32] фактически строится ряд Шварцшильда для токов на поверх-
ности экрана со щелью. Ядро интегрального уравнения, которому удовлетворя-
ет сумма ряда, выражается в элементарных функциях координат (члены ряда
получаются итерированием этого ядра). Утверждается, что неизвестные функ-
ции представляют собой теневые токи, т.е. токи, текущие на теневых поверх-
ностях экранов и быстро спадающие при удалении от ребра. Такой подход поз-
воляет приближенно просуммировать ряд и получить выражение для токов.
Дифракционный коэффициент затем находится в квадратурах. В работе [33]
данный метод обобщается на другие задачи. Асимптотическое решение урав-
нения для тока на ленте с точностью до членов порядка (kl)−5/2 (здесь kl есть
произведение ширины полосы на волновое число) получено в [34]. Дальнейшее
исследование интегрального уравнения для токов, полученного в [32], проведе-
но в работах [35, 36].
По видимому, ключевой работой, посвященной задаче о дифракции на по-
лосе, является работа [37]. В данной работе на основе метода Винера-Хопфа
строится интегральное уравнение, описывающее ряд Шварцшильда для задачи
о щели (т.е. представляющее результат каждого следующего акта дифракции
как результат интегрального преобразования, производимого с полем, найден-
ным на предыдущем шаге). В работе утверждается, что существует псевдодиф-
ференциальный оператор, переводящий построенное интегральное уравнение в
уравнение с разностным ядром. Кроме того, работа содержит важное наблю-
дение о том, что ряд Шварцшильда для дифракционного коэффициента сам
по себе не является асимптотическим по параметру k0a, поскольку его после-
довательные члены имеют равные по величине значения при скользящих углах
рассеяния. Это означает, что для корректного определения n-ого порядка раз-
ложения необходимо проанализировать члены ряда с номерами по n+1. Кроме
того, в работе утверждается, что для задачи о щели резонансные свойства про-
являться не могут. Наконец, в работе построена простая приближенная форму-
ла для дифракционного коэффициента, удовлетворяющая принципу взаимно-
сти и проанализирована формула, полученная ранее в [25]. Методы, развитые
в [37], использовались также в [38, 39].
Наиболее полное асимптотическое исследование задачи о полосе дано в ра-
ботах [40, 9], где найдено рассеянное поле в дальней зоне с точностью до лю-
бой заданной степени (kl)−n. Примененный в этой работе метод заключается в
рассмотрении дифракции волны, имеющей профиль “ступеньки”. Для данного
случая решение может быть получено в замкнутом виде для любого дифракци-
Введение 8
онного порядка. Однако переход к стационарной задаче требует суммирования
бесконечного числа порядков. Сходный метод был применен в [41].
Математические вопросы (существование, единственность, классы правых
частей, для которых существует решение) для задачи о полосе подробно рас-
смотрены в [42]. Кроме того, в данной работе построены асимптотики для плот-
ности токов при малых k0a и при больших k0a. Ранее длинноволновое прибли-
жение для задачи о щели было исследовано в [43]. Математические аспекты
электромагнитной задачи дифракции на щели подробно рассмотрены в [44]. В
работе [45] к задаче применен метод интегральных уравнений.
Сравнение точного решения с приближением Кирхгофа и приближением
геометрической теории дифракции для задачи о полосе проделано в [46]. Срав-
нение подхода П.Я.Уфимцева и Дж.Келлера к задаче о полосе проделано в [47].
Еще одним возможным способом решения задачи о полосе является постро-
ение разложения падающего поля в ряд по некоторой системе функций, для
которых решение интегрального уравнения известно [48, 49]. Этот метод во
многом является сходным с традиционным преобразованием Фурье.
Критический обзор попыток построить точное решение задачи о полосе с
идеальными граничными условиями, обобщив метод Зоммерфельда, содержит-
ся в [50]. В качестве основных работ в этой области данный обзор называет [51]
и [52, 53]. Обзор [50] заканчивается достаточно пессимистичным выводом о том,
что пока ни один из методов не приводит к обобщению результата Зоммерфель-
да на случай задачи о полосе.
Из недавних работ, посвященных дифракции на идеальной полосе, можно
отметить работу [54], где исследовался случай скользящего падения волны.
Все сказанное относилось к задаче с идеальными граничными условиями.
Имеется также обширная литература, в которой похожие приближенные мето-
ды применяются к задаче о дифракции на полосе (щели в экране) с импеданс-
ными граничными условиями, например [55, 56, 57, 58, 59, 60, 61].
В ряде работ исследовалось прохождение импульса или пучка через щель [62,
63, 64].
Наиболее близко к теме диссертации относятся статьи [65, 66], а также более
поздняя работы [67]. В данных работах для задачи о полосе выведены обык-
новенные дифференциальные уравнения, причем в качестве независимой пе-
ременной используется координата, расположенная в плоскости полосы. Наи-
более полной представляется работа [66], где получена формула расщепления
(embedding formula), выражающая решение для произвольного угла падения
через два “эталонных” решения, выведено обыкновенное дифференциальное
уравнение для неизвестной функции на полосе, а также построены эволюци-
онные уравнения, описывающие зависимость коэффициентов дифференциаль-
ного уравнения от ширины полосы.
Введение 9
Для дифракции на решетках (в рассматриваемом случае  на системах
полос, состоящих более чем из одной полосы) получено меньшее количество
аналитических результатов. Различными способами удалось решить задачу о
дифракции на бесконечной дифракционной решетке, состоящей из идеальных
компланарных полос, разделенных пространством, равным ширине полосы. Этот
частный случай оказывается гораздо проще общего случая (проем и полоса име-
ют разную ширину). К данной задаче применялся матричный метод Винера-
Хопфа [68, 7, 69, 70, 71], в частности, задача сводилась к скалярной факториза-
ции или к матричной факторизации по Храпкову [72]. В работе [73] данная за-
дача сводится к точно решаемой задаче Римана-Гильберта. Среди работ, в кото-
рых применялись полуаналитические методы, необходимо отметить [74, 75, 76].
Обзор работ по периодическим дифракционным решеткам содержится в моно-
графии [77].
Следует также отметить работу [78], где для конечной дифракционной ре-
шетки был построен ряд по собственным функциям, напоминающим функции
Матье. При этом автор основывался на результатах, полученных в [65]. Вычис-
лительные перспективы этого метода не вполне ясны.
Бесконечная периодическая дифракционная решетка была рассмотрена в
работе [79]. Рассматривалось коротковолновое приближение. Производилось пре-
образование интегрального уравнения таким образом, чтобы норма ядра стала
строго меньше единицы (для этого в операторе выделяется часть, связанная с
одним элементом решетки, и эта часть обращается). Полученное интегральное
уравнение решается с помощью ряда Неймана.
Математические аспекты дифракции на конечных решетках рассмотрены в
работах [80, 81]. Рассматривалась даже более общая задача, а именно, рассе-
иватели предполагались не обязательно прямолинейными. Доказано существо-
вание и единственность решения и построено интегральное уравнение в рамках
теории потенциала.
Формулы расщепления (embedding formulae в англоязычной литературе),
широко используемые в данной работе, были впервые получены в работе [66].
Затем была построена формула расщепления для круглой плоской трещины
в упругом материале [82]. В работе [83] формулы расщепления были получе-
ны для полосы с импедансными границами. Позднее были получены формулы
расщепления для конечных дифракционных решеток, состоящих из тонких [84]
и толстых [85] полос, а также для некоторых других сходных задач [86, 87].
Процедура вычислений на основе формулы расщепления подробно описана в
учебнике [88]. В работах [89, 90] метод расщепления применялся для решения
уравнения Гойна с ложной особой точкой.
Формулы расщепления не дают решения дифракционной задачи, однако
снижают количество параметров, изменяемых при табулировании дифракцион-
Введение 10
ного коэффициента. А именно, вместо того, чтобы проводить расчет при всех
возможных значениях угла падения, можно вычислить дифракционный коэф-
фициент при нескольких эталонных углах падения, а затем воспользоваться
формулой расщепления.
Существование координатных уравнений, выведенных в работе, тесно связа-
но с возможностью аналитического продолжения волновых полей в комплекс-
ную область (т.е. рассмотрение поля u(x, y) при действительных x и y как следа
аналитической функции комплексных переменных). Общие методы аналитиче-
ского продолжения волновых полей описаны в обзоре [91]. Данный обзор содер-
жит также обширную библиографию.
Перейдем к рассмотрению задач дифракции на конусах. Они интересны с
точки зрения геометрической теории дифракции и других приближенных ме-
тодов. Решения этих задач дают дифракционные коэффициенты для элементов,
содержащих острые выступы. Основные задачи, связанные с конусами, следу-
ющие: дифракция на плоском конусе (например на четвертьплоскости), на кру-
говом и эллиптическом конусе, дифракция на конусе полигонального сечения
(например на конусе, представляющем собой уголок куба). Граничные усло-
вия могут быть идеальными или импедансными. В настоящей работе решается
только скалярная задача о дифракции на четвертьплоскости с идеальными гра-
ничными условиями.
Основным методом, применяемым для решения конических задач, является
отделение радиальной переменной и исследование оператора Лапласа-Бельтра-
ми в двух оставшихся угловых переменных. В случае эллиптического конуса с
идеальными граничными условиями (частными случаями такого конуса явля-
ются плоский и круговой конусы) можно формально решить задачу до конца,
разделив переменные в сферо-конических координатах. Решение представляет-
ся в виде ряда по функциям Ламе.
Решение скалярной (акустической) задачи об эллиптическом конусе, полу-
ченное с помощью разделения переменных, содержится в работе [92]. Решение
векторной (электромагнитной) задачи может быть получено из решения ска-
лярной задачи при помощи метода дебаевских потенциалов [9, 93].
Значительный выигрыш при численном анализе дает переход от ряда по спе-
циальным функциям к контурному интегралу в области комплексных значений
константы разделения. Этот переход выполняется с помощью преобразования
Ватсона [94]. Для задач о дифракции на конусе данная процедура описана в
работах [95, 96, 97, 98].
Задача о дифракции на четвертьплоскости рассмотрена с помощью разде-
ления переменных в работах [99, 100].
В недавних работах по конусам развиты методы построения численных ре-
шений для конусов произвольного сечения [101, 102, 103, 104, 105]. В данных
Введение 11
работах используется техника преобразования Ватсона и подробно изучаются
интегральные уравнения, возникающие при решении граничной задачи для опе-
ратора Лапласа-Бельтрами. В частности, обсуждаются особенности решений,
возникающие вблизи угловых точек сечения, соответствующих ребрам конуса.
Задача о плоском конусе может рассматриваться как частный случай более
общей задаче о дифракции на конусе со щелями, решаемой с помощью преобра-
зования Конторовича-Лебедева и интегральных уравнений в [106, 107]. К задаче
о плоском конусе наиболее близка по постановке рассмотренная в [108] задача
о дифракции на семействе из компланарных плоских конусов (угловых полос),
имеющих общую вершину. Отметим, что методы, развитые в настоящей рабо-
те, позволяют решить задачу о компланарных угловых полосах с идеальными
граничными условиями.
Имеется также значительное число работ о дифракции на конусах с импе-
дансными граничными условиями. Среди этих работ отметим [109, 110], где
был получен главный член асимптотики дифракционного коэффициента для
кругового конуса и конуса произвольного сечения.
Итак, задача о дифракции на плоском конусе с идеальными граничными
условиями имеет точное решение, полученное методом разделения переменных.
Это обстоятельство, однако, не уменьшает интерес к данной задаче. Дело в том,
что точным решением крайне неудобно пользоваться с практической точки зре-
ния. Его структура не отражает очевидных свойств поля (наличия отраженных
и рассеянных ребрами волн), а сам ряд плохо сходится. Контурный интеграл, к
которому удается привести ряд с помощью преобразования Ватсона, также не
слишком удобен для вычислений. Поэтому неоднократно предпринимались по-
пытки построить простое аналитическое решение для дифракции плоской вол-
ны на плоском конусе, аналогичное по структуре решению Зоммерфельда для
полупрямой [1]. Основные надежды были связаны с методом Винера-Хопфа [6],
однако до настоящего времени успех не был достигнут. Причина этого прежде
всего в том, что теория аналитических функций двух комплексных переменных
является качественно более сложной по сравнению с теорией одной переменной.
Имеется ряд по-видимому неверных работ на эту тему, например [111]. Указа-
ние на то, что работа [111] неверна, содержится в [112] и [113].
Некоторый прогресс был достигнут с помощью операторных методов в ра-
ботах [114, 115, 116, 112, 117], однако явного решения в компактной форме по-
строено не было. Прилиженные формулы для дифракции на четвертьплоскости
построены в [100, 118, 119].
Задача об отражении волноводной моды от торца плоского волновода бы-
ла решена Л.А. Вайнштейном [120, 121, 7, 122]. Была решена также задача о
дифракции плоской волны, падающей из открытого пространства на торец вол-
новода. Кроме того, аналогичные задачи были решены для волноводов круглого
Введение 12
сечения [123, 124, 125].
Анализ задачи о плоском волноводе в рамках лучевого приближении проде-
лан в работе [126]. Позднее в рамках лучевого подхода были проанализированы
некоторые более сложные задачи [127, 128, 129, 130].
Наибольший интерес представляет задача об отражении моды от открыто-
го конца плоского волновода в случае коротковолнового приближения, когда
частота близка к частоте отсечки для данной моды. Решение такой задачи мо-
жет быть использовано для вычисления добротности мод в резонаторе, обра-
зованном плоскопараллельными зеркалами. При этом резонатор может быть
оптическим, акустическим или микроволновым.
Место предлагаемой работы среди других работ по дифракции на полосах,
системах полос и конусах следующее. Автор обобщает результаты [66] с по-
мощью собственного метода, родственного методу Винера-Хопфа. В результате
такого обобщения удается решить задачи о дифракции на системах полос, зада-
чу об уголковом отражателе, а также задачу для оператора Лапласа-Бельтрами
на сфере с разрезом. Непосредственное развитие идей [65, 66] о дифференци-
альных уравнениях в пространственной области приводит в настоящей работе
к построению координатных уравнений, представляющих собой обобщение ме-
тода разделения переменных. Кроме того, автором предложен простой и фи-
зически наглядный метод вывода формул расщепления для широкого класса
задач.
Содержание диссертации опубликовано в восемнадцати работах. Примерное
соответствие между главами диссертации и статьями следующее:
первая глава  [131, 132, 133, 134, 135, 136, 137];
вторая глава  [138, 139, 140, 141];
третья глава  [142];
четвертая глава  [143, 144, 145];
пятая глава  [146, 147];
шестая глава  [148].
Журналы, в которых опубликованы работы [138, 139, 142, 131, 132, 133,
135, 136, 143, 146, 147, 137, 148], включены в список Scientific Citation Index
Expanded. Журнал, в котором опубликована работа [141], включен в список
ВАКа.
Кроме того, материал диссертации существенным образом опирается на тех-
нику вывода функциональных уравнений, развитых автором ранее для клино-
вых задач: [149, 150, 151, 152, 153], три из которых включены в список ВАКа,
а одна  в Scientific Citation Index Expanded.
Работы [131, 132, 133, 135, 136, 143, 153, 137] выполнены с соавторами.
Введение 13
Структура работы
Работа состоит из введения, шести глав, приложения и заключения.
В главе 1 производится важнейшее упрощение рассматриваемых дифрак-
ционных задач, а именно выводится формула расщепления. Для каждой из
дифракционных задач вводятся краевые функции Грина, а затем дифракци-
онный коэффициент для данной задачи (т.е. основная величина, подлежащая
определению) выражается через диаграммы направленности краевых функций
Грина. Краевые функции Грина представляют собой волновые поля, источ-
ник которых находится вблизи края рассеивателя или точки ветвления много-
листной поверхности, на которой поставлена задача распространения волн. Для
определения краевых функций Грина используется предельный переход, напо-
минающий построение обычного дипольного источника. В главе 1 показано, что
формулы расщепления могут быть выведены для двух- и трехмерных задач ди-
фракции с кусочно-прямолинейными (плоскими) границами и с произвольными
граничными условиями. В двумерных задачах дифракционные коэффициенты
зависят от двух переменных (угла падения и угла рассеяния), а диаграммы
направленности краевых функций Грина  только от угла рассеяния. Таким
образом, формулы расщепления позволяют существенно упростить структуру
неизвестных функций.
В главе 2 рассматривается двумерная задача о дифракции на двух тонких
отрезках, расположенных на одной прямой, с граничными условиями Дирих-
ле. Данная задача представляет собой дифракционную задачу со смешанными
граничными условиями. Стандартными методами для нее выводится функци-
ональное уравнение типа Винера-Хопфа, однако это уравнение содержит три
неизвестных целых функции, и теория уравнений Винера-Хопфа в этом случае
не приводит к результату. Основной результат данной главы  вывод спек-
тральных уравнений. Это обыкновенные дифференциальные уравнения, кото-
рым удовлетворяют диаграммы направленности краевых функций Грина. Неза-
висимой переменной здесь выступает угол рассеяния или косинус этого угла.
Коэффициенты уравнения представляют собой тригонометрические функции
угла рассеяния (рациональные функции его косинуса).
В качестве побочного результата получены эволюционные уравнения. Эти
уравнения представляют собой (нелинейные) обыкновенные дифференциаль-
ные уравнения, описывающие изменения волновых полей, их диаграмм направ-
ленности, а также некоторых параметров решений в зависимости от геометри-
ческих параметров рассеивателя.
В главе 3 для той же дифракционной задачи строятся координатные урав-
нения. Эти уравнения представляют собой систему дифференциальных уравне-
ний, описывающих изменение волнового поля как функции пространственных
координат. Формально эти уравнения записаны в частных производных, одна-
Введение 14
ко системы такого рода являются наиболее естественным обобщением понятия
обыкновенного дифференциального уравнения на случай двух независимых пе-
ременных. Спектральные уравнения получаются из координатных путем рас-
смотрения асимптотики дальнего поля.
В главе 4 показано, что развитые методы (формулы расщепления, спек-
тральные, эволюционные и координатные уравнения) работают не только для
задач дифракции на плоских решетках, но и для зоммерфельдовых задач с
более сложной геометрией рассеивателя. В качестве примера рассматривает-
ся задача о дифракции на двумерном уголковом отражателе, представляющем
собой две полуплоскости, расположенные под прямым углом друг к другу со
щелью между ними. В этой же главе сформулирована задача определения неиз-
вестных параметров, входящих в коэффициенты спектральных и координатных
уравнений.
В главе 5 рассматривается еще более сложная (трехмерная) задача о ди-
фракции на плоском конусе, занимающем четветьплоскость. В рамках тради-
ционного подхода производится отделение радиальной переменной, после чего
формулируется задача дифракции на единичной сфере. Эта задача оказывает-
ся зоммерфельдовой; для нее выводится формула расщепления, координатные
и эволюционные уравнения.
В главе 6 построенные ранее методы (а именно, формула расщепления и
спектральное уравнение) применяются к задаче об отражении волноводной мо-
ды от открытого конца плоского волновода. Данная задача рассматривается
в коротковолновом приближении. При этом считается, что временная частота
близка к частоте отсечки данной моды. С помощью метода отражений задача
переформулируется для многолистной поверхности. В отличие от других за-
дач, решаемых в работе, в данном случае поверхность имеет бесконечное число
листов и точек ветвления. Затем для данной задачи выписывается параболи-
ческое уравнение теории дифракции. Переход к параболическому уравнению
позволяет упростить структуру неизвестных функций. Наконец, для задачи
на многолистной поверхности строятся формула расщепления и спектральное
уравнение. Оказывается возможным получить решение спектрального уравне-
ния в явном виде. Показано, что решение совпадает с классическим решением
Л.А.Вайнштейна.
Приложение состоит из трех частей. В первой части обсуждаются некоторые
вопросы, связанные с корректной математической постановкой обсуждаемых
дифракционных задач, теоремами существования и единственности. Во второй
части доказывается теорема, связанная с симметрией спектрального уравнения.
Этот результат используется в главе 2 для формулировки задачи об отыскании
неизвестных констант. В третьей части для задачи о двух полосах описаны
процедуры построения и преобразований дифракционного ряда. Дифракцион-
Введение 15
ный ряд представляет собой самый старый и часто используемый инструмент
для анализа дифракционных задач. В случае дифракции на системе полос для
членов дифракционного ряда существует рекуррентная формула, применение
которой сводится к решению неоднородной задачи Зоммерфельда с помощью
метода Винера-Хопфа. Для такого ряда удается развить технику преобразова-
ний, приводящую к формулам расщепления, спектральным и эволюционным
уравнениям. Таким образом, результаты, полученные в главе 2, проходят про-
верку с помощью совершенно другого метода. Кроме того, коэффициенты спек-
тральных уравнений содержат несколько неизвестных дискретных параметров,
для определения которых в рамках методов главы 2 необходимо решить весьма
сложную спектральную задачу. Здесь же параметры оказываются выраженны-
ми в виде асимптотических рядов.
Положения, выносимые на защиту
Задачи, к которым относятся основные положения работы, следующие. Это
двумерная задача о дифракции на двух отрезках с идеальными граничны-
ми условиями (дифракция на двух полосах), двумерная задача о дифракции
на двух перпендикулярных полупрямых с идеальными граничными условиями
(дифракция на уголковом отражателе со щелью), трехмерная задача о дифрак-
ции на тонкой четвертьплоскости (плоском конусе) с идеальными граничными
условиями, а также двумерная задача для уравнения Лапласа-Бельтрами на
сфере с идеальным тонким рассеивателем (дугой длины π/2). Все задачи ска-
лярные и стационарные.
На защиту выносятся следующие положения.
1. Для двумерной задачи о дифракции на двух полосах справедливы: форму-
ла расщепления (1.11), спектральное уравнение (7.2) с коэффициентом (7.3),
эволюционные уравнения (8.1) и (8.4), а также координатные уравнения (14.5).
2. Коэффициент спектрального уравнения для задачи о двух полосах зависит от
восьми скалярных параметров. Сформулированы ограничения связи для спек-
трального уравнения, при выполнении которых существует решение спектраль-
ного уравнения, удовлетворяющее всем условиям, накладываемым на дифрак-
ционное поле. Этих ограничений также восемь.
3. Для двумерной задачи о дифракции на уголковом отражателе со щелью
справедлива формула расщепления (2.29), координатное уравнение (19.4) с ко-
эффициентами (19.5)–(19.12), а также спектральное уравнение (20.8).
4. Для задачи распространения на многолистной поверхности, топология ко-
торой продиктована задачей об уголковом отражателе со щелью, коэффици-
енты координатных и спектрального уравнения зависят от двенадцати скаляр-
Введение 16
ных параметров. Сформулированы ограничения связи для спектрального урав-
нения, гарантирующие существование решения, удовлетворяющего всем свой-
ствам физического поля. Таких ограничений двенадцать.

Список літератури

Литература
1. Sommerfeld A. Mathematische Theorie der Diffraction. // Math. Ann.  1896.
 V. 47.  P. 317–374.
2. Малюжинец Г.Д. Возбуждение, отражение и излучение поверхностных
волн от клина с произвольными поверхностными импедансами. // Докл.
АН СССР.  1958.  Т. 3.  С. 752–755.
3. Бабич В.М., Лялинов М.А., Грикуров В.Э. Метод Зоммерфельда-
Малюжинца в задачах дифракции. С.Пб.: ВВМ, 2004  103 с.
4. Osipov A.V., Norris, A.N. The Malyuzhinets theory for scattering from wedge
boundaries: a review // Wave Motion.  1999.  V. 29.  P. 313–340.
5. Norris A.N., Osipov A.V. Far-field analysis of the Malyuzhinets solution for
plane and surface waves diffraction by an impedance wedge // Wave Motion.
 1999.  V. 30.  P. 69–89.
6. Нобл Б. Метод Винера-Хопфа. М.: ИЛ, 1962  280 с.
7. Вайнштейн Л.А. Теория дифракции и метод факторизации. М.: Советское
радио, 1966  428 с.
8. Keller J.B. The geometrical theory of diffraction. // Journ. Opt. Soc. Am. 
1962.  V. 52.  P. 116–130.
9. Боровиков В.А. Дифракция на многоугольниках и многогранниках. М.:
Наука, 1966  456 c.
10. Уфимцев П.Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции. М.:
Сов. Радио, 1962  244 с.
11. Sieger B. Die Beugung einer ebenen elektrischen Welle an einem Schirm von
eliptischen Querschnitt. // Ann. Phys.  1908.  V. 27.  P. 626–664.
12. Morse P.M., Rubinstein P.J. The Diffraction of Waves by Ribbons and by Slits.
// Phys. Rev.  1938.  V. 54.  P. 895–898.
13. Hansen E.B. Scalar diffraction by an infinite strip and a circular disc. // Journ.
of Math. and Phys.  1962. – V. 41.  P. 229–245.
Литература 278
14. Brooker G.A. Diffraction at a single ideally conducting slit. // Journ. ofModern
Optics.  2008.  V. 55,  P. 423–445.
15. Schwarzschild K. Die Beugung und Polarisation des Lichts durch einen Spalt.
// Math. Ann.  1902.  V. 55.  P. 177–247.
16. Karp S.N., Russek A. Diffraction by a wide slit. // Journ. Appl. Phys.  1956.
 V. 27.  P. 886–894.
17. Clemmow P.C. Edge Currents in Diffraction Theory. // Trans. Inst. of Radio
Eng.  1956.  AP-4.  P. 282–287.
18. Millar R.F. Diffraction by a wide slit and complimentary strip (I and II). //
Proc. Cambridge Philos. Soc.  1958.  V. 54.  P. 479–511.
19. Braunbek W. Neue Naherungsmetode f¨ur die Beugung am ebenen Schirm. //
Zeitschrift f¨ur Physik.  1950.  V. 127.  P. 381–390.
20. Braunbek W., Zur Beugung an der Kreisscheibe. // Zeitschrift f¨ur Physik. 
1950.  V. 127.  P. 405–415.
21. Hannay J.H., Thain A. Exact scattering theory for any straight reflectors in
two dimensions. // Journ. Phys. A.  2003.  V. 36.  P. 4063–4080.
22. Stovicek P. The Green function for the two solenoid Aharonov–Bohm effect.
// Phys. Lett. A.  1989.  V. 142.  P. 510.
23. Stovicek P. Krein’s formula approach to the multisolenoid Aharonov–Bohm
effect. // J. Math. Phys.  1991.  V. 32.  P. 21142122.
24. Karp S.N., Keller J.B. Multiple diffraction by an aprture in a hard screen. //
Optica Acta,  1961.  V. 8.  P. 61–72.
25. Уфимцев П.Я. Вторичная дифракцияэлектромагнитных волн на ленте. //
ЖТФ.  1958.  Т. 28.  С. 569–582.
26. Уфимцев П.Я. Асимптотическое решение задачи о дифракции на ленте.
// Радиотехника и электроника.  1968.  Т. 13.  С. 1867–1869.
27. Уфимцев П.Я. Асимптотическое исследование задачи о дифракции на лен-
те. // Радиотехника и электроника.  1969.  Т. 14.  С. 1173–1185.
28. Уфимцев П.Я. Асимптотическое решение задачи о дифракции на ленте в
случае граничных условий Дирихле. // Радиотехника и электроника. 
1970.  Т. 15.  С. 914–923.
Литература 279
29. Уфимцев П.Я. Асимптотические разложения в теории дифракции плоской
волны на ленте. // Докл. АН СССР.  1969.  Т. 187.  С. 1257–1260.
30. Уфимцев П.Я. Теория дифракционных краевых волн в электродинамике.
М.: Бином, 2007  366 с.
31. Jones D.S. The theory of Electromagnetism. Amsterdam: Elsevier, 1964 
812 p.
32. Гринберг Г.А. Новый метод решения задачи дифракции электромагнитной
волны на плоскости с безграничной прямолинейной щелью и родственных
ей проблем. // ЖТФ.  1957.  Т. 27.  С. 2595–2605.
33. Гринберг Г.А. Метод решения дифракционных задач для плоских идеаль-
но проводящих экранов, основанный на изучении наводимых на экранах
теневых токов. // ЖТФ.  1958.  Т. 28.  С. 542–568.
34. Гринберг Г.А. Дифракция электромагнитной волны на полосе конечной
ширины. // Докл. АН СССР.  1959.  Т. 129.  С. 295.
35. Курицын В.Н. К решению “ключевой” задачи для дифракции на идеальной
проводящей полосе. // ЖТФ.  1961.  Т. 31.  С. 1485–1490.
36. Попов Г.Я. Об одном приближенном способе решения интегрального урав-
нения дифракции электромагнитных волн на полосе конечной ширины. //
ЖТФ.  1965.  Т. 35.  С. 381–389.
37. Хаскинд М.Д., Вайнштейн Л.А. Дифракция плоской волны на щели и лен-
те, Радиотехника и электроника. Т.9. с.1800–1811 (1964).
38. Фиалковский А.Т. Дифракция плоских электромагнитных волн на щели и
ленте. // Радиотехника и электроника.  1966.  Т. 11.  С. 178–186.
39. Нефедов Е.И., Фиалковский А.Т. Асимптотическая теория дифракции
электромагнитных волн на конечных структурах. М.: Наука, 1972  204 с.
40. Боровиков В.А. Дифракция плоской волны на отрезке. // Докл. АН СССР.
 1964.  Т. 159.  С. 711–714.
41. Красильщикова Е.А. Дифракция звуковой волны на щели. // МЖГ. 
1975.  Т. 10.  C. 139145.
42. Сологуб В.Г. О решении одного интегрального уравнения типа свертки с
конечными пределами интегрирования. // ЖВММФ.  1971.  Т. 11. 
С. 837–855.
Литература 280
43. Boersma J. Boundary value problems in diffraction theory and lifting surface
theory. // Compositio Mathematica.  1964.  V. 16.  P. 205–293.
44. Kunik M., Skrzypacz P. Diffraction of light revisited. // Math. Meth. Appl.
Sci.  2008.  V. 31.  P. 793–820.
45. Саутбеков С.С. Еще раз о дифракции на ленте и щели. // Радиотехника
и электроника.  2000.  Т. 45.  С. 1202–1209.
46. DeAcetis L.A., Einstein F.S., Juliano R.A., Jr., Lazar I. Single strip diffraction:
comparison of Kirchhoff theory and geometrical theory with the exact solution
in the limit of small glancing angle and width; perpendicular polarization. //
Appl. Opt.  1976.  V. 15.  P. 2866–2870.
47. Senior T., Uslenghi P. Comparison between Keller’s and Ufimtsev’s theories
for the strip. // IEEE Trans. Ant. Prop.  1971.  V. 19.  P. 557–558.
48. Eswaran K. On the solutions of a class of dual integral equations occuring in
diffraction problems. // Proc. Roy. Soc. A.  1990.  V. 429.  P. 399–427.
49. Gorenflo N. A new explicit solution method for the diffraction through a slit.
// Zeischrift f¨ur angewandte Mathematik und Physic.  2002.  V. 53. 
P. 877–886.
50. L¨uneburg E. The Sommerfeld problem: methods, generalizations and
frustrations. // Proceedings of the Sommerfeld’s workshop, Freudenstadt, 30
Sept. – 4 Oct. 96, ed. by E. Meister, Frankfurt am Main, 1997.
51. Williams W.E. A note on diffraction by a half plane. // Canadian Journ. Phys.
 1960.  V. 38.  P. 507–510.
52. Kleinmann R.E. Plane wave diffraction by a strip. // Proceedings of the
Symposium on Electromagnetic Theory and Antennas, Copenhagen, June 25–
30, 1962, ed. by E.C. Jordan, Pergamon Press, P. 97–103, 1963.
53. Tinman R., Kleinman R.E. Integral representations for the field diffracted by a
strip. // URSI General Assembly 1960, Monograph on Radio Waves Cirquits,
ed. by Silver, Elsevier, P. 38–65, 1963.
54. Дагуров П.Н., Дмитриев А.В. Применение метода Кирхгофа к задаче ди-
фракции волн на ленте при малых углах скольжения. // Письма в ЖТФ.
 2005.  Т. 31.  С. 22–27.
Литература 281
55. Bindingavale S.S., Volakis J.L. Scattering by a narrow groove in an impedance
plane. // Radio Science.  1996.  V. 31.  P. 401–408.
56. Idemen M. One-dimensional profile inversion of a halfspace bounded by a three-
part impedance ground. // Inverse Problems.  1996.  V. 12.  P. 641–666.
57. Белинский Б.П. Интегральные уравнения для стационарной задачи ди-
фракции коротких волн на препятствиях типа отрезка. // ЖВММФ. 
1973.  Т. 13.  С. 373–384.
58. Serbest A.H., Uzgoren G., Buyukaksoy A. Diffraction of plane waves by a
resisitive strip residing between two impedance half-planes. // Ann. Telecom.
 1991.  V. 46.  P. 359–366.
59. Asghar S., Hayat T., Ahmad B. Acoustic diffraction from a slit in an absorbing
sheet. // Jap. Journ. Ind. Appl. Math.  1996.  V. 13.  P. 519–532.
60. Asghar S., Hayat T. Plane wave diffraction by a slit in an infinite penetrable
sheet. // Can. Appl. Math. Quart.  1999.  V. 7.  P. 1–15.
61. Bernard J.M.L. Scattering by a three-part impedance plane: a new spectral
approach. // Quart. Journ. Appl. Math. Mech.  2005.  V. 58.  P. 383–
418.
62. Fox E.N. The diffraction of two-dimensional sound pulses incident on an infinite
uniform slit in a perfectly reflecting screen. // Philos. Trans. Roy. Soc. Lond.
A.  1949.  V. 242.  P. 1–32.
63. Itoh K., Takayama K. Shock wave propagation through a slit. // Theor. Appl.
Mech.  1988.  V. 36.  P. 103–112.
64. Suedan G.A., Jull E.V. Two-dimensional beam diffraction by a half-plane and
wide slit. // IEEE Trans. Ant. Prop.  1987.  V. 35.  P. 1077–1083.
65. Latta G.E. The solution of a class of integral equations. // Journ. of Rational
Mechanics and Analysis.  1956.  V. 5.  P. 821–834.
66. Williams M.H. Diffraction by a finite strip. // Quart. Journ. Mech. Appl. Math.
 1982.  V. 35.  P. 103–124.
67. Gorenflo N., Werner M. Solution of a finite convolution equation with a Hankel
kernel by matrix factorization. // SIAM Jour. Math. Anal.  1997.  V. 28.
 P. 434–451.
Литература 282
68. Baldwin G.L., Heins A.E. On diffraction of scalar waves by a periodic array of
screens. // Math. Scand.  1954.  V. 2.  P. 103–118.
69. Лукьянов В.Д. Точное решение задачи о дифракции на решетке наклонно
падающей плоской волны. // Докл. АН СССР.  1980.  Т. 255.  С. 78–
80.
70. Лукьянов В.Д., Точное решение задачи о дифракции на решетке наклонно
падающей плоской волны. // ЖТФ.  1981.  Т. 51.  С. 2001–2006.
71. Erbas B., Abrahams I.D. Scattering of sound waves by an infinite grating
composed of rigid plates. // Wave Motion.  2007.  V. 44.  P. 282–303.
72. Храпков А.А. Задачи об упругом равновесии бесконечного клина с несим-
метричным надрезом в вершине, разрешимые в замкнутой форме. //
ПММ.  1971.  Т. 35.  С. 625-637.
73. L¨uneburg E., Westpfahl K. Diffraction of plane waves by an infinite strip
grating. // Ann. Phys.  1971.  V. 27.  P. 257–288.
74. Achenbach J.D., Li Z.L. Reflection and transmission of scalar waves by a
periodic array of screens. // Wave Motion.  1986.  V. 8.  P. 225–234.
75. Scarpetta E., Sumbatyan M.A. Explicit analytical results for one-mode oblique
penetration into a periodic array of screens. // IMA J. Appl. Math.  1996.
 V. 56.  P. 109–120.
76. Porter R., Evans D.V. Wave scattering by periodic arrays of breakwaters. //
Wave Motion.  1996.  V. 23.  P. 95–120.
77. Шестопалов В.П., Кириленко А.А., Масалов С.А., Сиренко Ю.К. Резо-
нансное рассеяние волн. Том 1. Дифракцинные решетки. Киев: Наукова
Думка, 1986  232 с.
78. Shinbrot M. The solution of some integral equation of Wiener-Hopf type. //
Quart. Journ. Mech. Appl. Math.  1970.  V. 28.  P. 15–36.
79. Сологуб В.Г. Дифракция плоской волны на ленточной решетке в случае
коротких длин волн. // ЖВММФ.  1972.  Т. 12.  С. 975–989.
80. Крутицкий П.А., Колыбасова В.В. О смешанной задаче для диссипатив-
ного уравнения Гельмгольца в двумерной области с разрезами с условием
Дирихле на разрезах. // Вестник Московского университета. Сер. 3. 
2005.  С. 25–28.
Литература 283
81. Крутицкий П.А., Колыбасова В.В. О смешанной задаче для уравнения
Гельмгольца в плоской области. // УМН.  2005.  Т. 60.  С. 167–168.
82. Martin P.A., Wickham G.R. Diffraction of elastic waves by a penny-shaped
crack: analytical and numerical results. // Proc. Roy. Soc. Lond. A.  1983.
 V. 390.  P. 91–129.
83. Gautesen A.K. On the Green’s function for acoustical diffraction by a strip. //
Journ. Acoust. Soc. Am.  1983.  V. 74.  P. 600–604.
84. Biggs N.R.T., Porter D., Stirling D.S.G. Wave diffraction through a perforated
breakwater. // Quart. Journ. Mech. Appl. Math.  2000.  V. 53.  P. 375–
391.
85. Biggs N.R.T., Porter D. Wave diffraction through a perforated barrier of non-
zero thickness. // Quart. Journ. Mech. Appl. Math.  2001.  V. 54. P. 523–
547.
86. Biggs N.R.T., Porter D.Wave scattering by a perforated duct. // Quart. Journ.
Mech. Appl. Math.  2002.  V. 55.  P. 249–272.
87. Biggs N.R.T., Porter D. Wave scattering by an array of perforated barriers. //
IMA J. Appl. Math.  2005.  V. 70.  P. 908–936.
88. Linton C., McIver P. Handbook of mathematical techniques for wave-structure
interactions. London: ChapmanHall, 2001  298 p.
89. Craster R.V. The solution of a class of free boundary problems. // Proc. Roy.
Soc. Lond. A.  1997.  V. 453.  P. 607–630.
90. Craster R.V., Hoang V.H. Application of Fuchsian differential equations to free
boundary problems. Proc. Roy. Soc. Lond. A.  1998.  V. 454.  P. 1241–
1252.
91. Кюркчан А.Г., Стернин Б.Ю., Шаталов В.Е. Особенности продолжения
волновых полей. // УФН.  1996.  Т. 166.  С. 1285–1308.
92. Kraus L., and Levine L.M. Diffraction by an elliptic cone. // Comm. Pure
Appl. Math.  1961.  V. 14.  P. 49–68.
93. Bowman J.J., Senior T.B., Uslenghi L.E. Electromagnetic and Acoustic
Scattering by Simple Shapes. New York: Hemisphere Publishing Corporation,
1987  728 p.
Литература 284
94. Watson G.N. General Transforms. // Proc. Lond. Math. Soc.  1933.  s2-35.
 P. 156–199.
95. Felsen L.B. Back scattering from wide-angle and narrow-angle cone. // Journ.
Appl. Phys.  1955.  V. 26.  P. 138–151.
96. Felsen L.B. Plane wave scattering by small-angle cones. // IRE Trans. Ant.
Prop.  1957.  V. 5.  P. 121–129.
97. Николаев Б.Г. О волновых процессах, возникающих при дифракции иде-
ально отражающим конусом в осесимметричном случае. // Зап. Науч. Сем.
ЛОМИ.  1972.  Т. 25.  С. 151-–171.
98. Николаев Б.Г. Дифракция поля точечного источника круговым конусом
(неосесимметричный случай). // Зап. Науч. Сем. ЛОМИ.  1974.  Т. 42.
 С. 212-–227.
99. Satterwhite R. Diffraction by a quarter plane, the exact solution and some
numerical results. // IEEE Trans. Ant. Prop.  1974.  V. 22.  P. 500–503.
100. Hansen T.B. Corner diffraction coefficients for the quarter plane. // IEEE
Trans. Ant. Prop.  1991.  V. 39.  P. 976–984.
101. Smyshlyaev V.P. Diffraction by conical surfaces at high frequences. // Wave
Motion.  1990.  V. 12.  P. 329–339.
102. Smyshlyaev V.P. The high frequency diffraction of electromagnetic waves by
cones of arbitrary cross-section. // SIAM Journ. Appl. Math.  1993.  V. 53.
 P. 670–688.
103. Babich V.M., Smyshlyaev V.P., Dement’ev D.B., Samokish B.A. Numerical
calculation of the diffraction coefficients for an arbitrary shaped perfectly
conducting cone. // IEEE Trans. Ant. Prop.  1996.  V. 44,  P. 740–747.
104. Babich V.M., Dement’ev D.B., Samokish B.A., Smyshlyaev V.P. On evaluation
of the diffraction coefficients for arbitrary “nonsingular” directions of a smooth
convex cone. // SIAM Journ. Appl. Math.  2000.  V. 60.  P. 536–573.
105. Bonner B.D., Graham I.G., Smyshlyaev V.P. The computation of conical
diffraction coefficients in high-frequency acoustical wave scattering. // SIAM
Journ. Num. Anal.  2005.  V. 43.  P. 120–123.
106. Дорошенко В.А., Кравченко В.Ф. Рассеяние поля электрического дипо-
ля на конической структуре с продольными щелями. // Радиотехника и
электроника.  2000  Т. 45.  С. 792–798.
Литература 285
107. Дорошенко В.А., Кравченко В.Ф., Пустовойт В.И., Преобразования
Мелера-Фока в задачах дифракции волн на незамкнутых структурах во
временной области. ДАН, Т.405, С.184–187 (2005).
108. Дорошенко В.А., Кравченко В.Ф. Применение сингулярных интегральных
уравнений для решения задачи дифракции волн на решетке из импеданс-
ных плоских нерегулярных лент. // Докл. АН.  2002.  Т. 383.  С.189–
193.
109. Bernard J.M.L., Lyalinov M.A. The leading asymptotic term for the scattering
diagram in the problem of diffraction by a narrow circular impedance cone. //
Journ. Phys. A.  1999.  V. 32.  P. L43–L48.
110. Bernard J.M.L., Lyalinov M.A. Diffraction of scalar waves by an impedance
cone of arbitrary cross-section. // Wave Motion.  2001.  V. 33.  P. 155–
181.
111. Radlow J. Diffraction by a quarter-plane. // Arch. Rat. Mech. Anal.  1961.
 V. 8.  P. 139–158.
112. Meister E., Speck F.-O. A contribution to the quarter-plane problem in
diffraction theory. // Journ. Math. Anal. Appl.  1988.  V. 130.  P. 223–
236.
113. Albani M. On Radlow’s quarter-plane diffraction solution. // Radio Science.
 2007.  V. 42.  P. RS6S11.
114. Strang G. Toeplitz operators in a quarter-plane. // Bull. Am. Math. Soc. 
1970.  V. 76.  P. 1303–1307.
115. Meister E., Speck F.-O. Some multidimensional Wiener-Hopf equations with
applications. // Trends in Applications of pure Mathematics to Mechanics, ed.
by H. Zorski. London: Pitman, 1979, P. 217–262.
116. Meister E., Speck, F.-O., The Moore-Penrose inverse of Wiener-Hopf operators
on the half axis and the quarter plane, Journal of Integral Equations, V. 9,
pp.45–61 (1985).
117. Speck F.-O., Duduchava R. Bessel potential operators for the quarter-plane.
// Applicable Analysis.  1992.  V. 45.  P. 49–68.
118. Albani M., Capolino F., Maci S. Diffraction at the vertex of a quarter plane.
// Ant. and Prop. Soc. Int. Symp. IEEE. 20–25 June 2004, P. 1991 – 1994.
Литература 286
119. Albani M., Capolino F., Maci S. Vertex diffraction coefficient for a quarter
plane. // URSI Int. Symp. on EM Theory, Pisa, Italy, May 2004, P. 1146–
1148.
120. Вайнштейн Л.А. Строгое решение задачи о плоском волноводе с открытым
концом. // Изв. АН СССР, сер. физ.  1948.  Т. 12.  С. 144–165.
121. Вайнштейн Л.А. О теории дифракции на двух параллельных полуплоско-
стях. // Изв. АН СССР, сер. физ.  1948.  Т. 12.  С. 166–180.
122. Вайнштейн Л.А. Открытые резонаторы и открытые волноводы. М.: Со-
ветское радио, 1966  475 с.
123. Вайнштейн Л.А. Теория симметричных волн в круглом волноводе с от-
крытым концом. // ЖТФ  1948.  Т. 18  С. 1543–1564.
124. Вайнштейн Л.А. Излучение несимметричных волн из открытого конца
круглого волновода, диаметр которого значительно больше длины волны.
// ДАН СССР  1950.  Т. 74  С. 485–488.
125. Вайнштейн Л.А. О диффракции волн на открытом конце круглого волно-
вода, диаметр которого значительно больше длины волны. // ДАН СССР
 1950.  Т. 74  С. 909–912.
126. Boersma J. Ray-optical analysis of reflection in an open-ended parallel-plane
wave guide. I: TM case. // SIAM Journ. Appl. Math.  1975.  V. 29 
P. 164–195.
127. Залипаев В.В., Попов М.М. Коротковолновое рассеяние плоской волны
на гладкой периодической границе. I. Дифракция полутеневого поля на
гладком выпуклом контуре // Зап. науч. сем. ЛОМИ.  1987.  Т. 165.
С. 59–90.
128. Залипаев В.В., Попов М.М. Коротковолновое рассеяние плоской волны на
гладкой периодической границе. II. Дифракция на бесконечной периоди-
ческой границе. // Зап. науч. сем. ЛОМИ.  1988.  Т. 173. С. 60-86.
129. Zalipaev V.V. Short-wave grazing scattering by periodic inclined half-planes
// Journ. Math. Sci.  1991.  V. 57.  P. 3101–3106.
130. Залипаев В.В. Рассеяние коротких волн на периодической структуре - эше-
лет // Зап. науч. сем. ПОМИ.  1998.  Т. 250.  С. 109–136.
Литература 287
131. Shanin A.V., Craster R.V. Removable singular points for ordinary differential
equations. // Europ. Journ. Appl. Math.  2003.  V. 13.  P. 617–639.
132. Craster R.V., Shanin A.V., Doubravsky E.M. Embedding formulae in
diffraction theory. // Proc. Roy. Soc. Lond. A.  2003.  V. 459.  P. 2475–
2496.
133. Craster R.V., Shanin A.V. Embedding formula for diffraction by wedge and
angular geometries. // Proc. Roy. Soc. Lond. A.  2005.  V. 461.  P. 2227–
2242.
134. Шанин А.В. Формула расщепления для электромагнитной задачи дифрак-
ции. // Зап. науч. сем. ПОМИ РАН.  2005.  Т. 324.  C. 247–261.
135. Skelton E.A., Craster R.V., Shanin A.V. Embedding formulae for diffraction
by non-parallel slits. // Quart. Journ. Mech. Appl. Math.  2008.  V. 61. 
P. 93–116.
136. Shanin A.V., Craster R.V., Pseudo-differential operators for embedding
formulae. // Journ. Comput. Appl. Math.  2010.  V.234.  P. 1637–1646.
137. Skelton E.A., Craster R.V., Shanin A.V., Valyaev V.Yu. Embedding formulae
for scattering by three-dimensional structures. // Wave Motion.  2010. 
V.47.  P. 299–317.
138. Shanin A.V. Three theorems concerning diffraction by a strip or a slit. //
Quart. Journ. Mech. Appl. Math.  2001.  V. 54.  P. 107–137.
139. Shanin A.V. Diffraction of a plane wave by two ideal strips. // Quart. Journ.
Mech. Appl. Math.  2003.  V. 56.  P. 187–215.
140. Шанин А.В. К задаче о дифракции на щели. Некоторые свойства ряда
Шварцшильда. // Зап. науч. сем. ПОМИ РАН.  2001. – Т. 275.  С. 258–
285.
141. Шанин А.В. О связи метода Винера-Хопфа и теории обыкновенных диф-
ференциальных уравнений. // Электромагнитные волны и электронные
системы.  2002.  Т. 7.  С. 10–16.
142. Shanin A.V. A generalization of the separation of variables method for some
2D diffraction problems. // Wave Motion.  2003.  V. 37.  P. 241–256.
143. Shanin A.V., Doubravsky E.M., Acoustical scattering at a gap between two
orthogonal, semi-infinite barriers: coordinate and spectral equations. // Journ.
Eng. Math.  2007.  V. 59.  P. 437–449.
Литература 288
144. Шанин А.В. Краевые функции Грина на многолистной поверхности.
Асимптотики решений координатных и спектральных уравнений. // Зап.
науч. сем. ПОМИ РАН.  2007.  Т. 342.  С. 233–256.
145. Шанин А.В. Краевые функции Грина на многолистной поверхности. По-
становка задачи определения неизвестных констант. // Зап. науч. сем. ПО-
МИ РАН.  2008.  Т. 354.  С. 220–244.
146. Shanin A.V. Modified Smyshlyaev’s formulae for the problem of diffraction of
a plane wave by an ideal quarter-plane. // Wave Motion.  2005.  V. 41. 
P. 79-93.
147. Shanin A.V. Coordinate equations for the Laplace-Beltrami problem on a
sphere with a cut. Quart. Journ. Mech. Appl. Math.  2005.  V. 58. 
P. 1–20.
148. Shanin A.V. Weinstein’s Diffraction Problem: Embedding Formula and
Spectral Equation in Parabolic Approximation. // SIAM Journ. Appl. Math.
 2009.  V. 70.  P. 1201–1218.
149. Шанин А.В. К задаче о возбуждении волн в клиновидной области. //
Акуст. журн.  1996.  Т. 42.  С. 696–701.
150. Шанин А.В. Возбуждение и рассеяние клиновой волны в упругом клине
с углом раскрыва, близким к 180◦. // Акуст. журн.  1997.  Т. 43. 
C. 402–408.
151. Шанин А.В. Возбуждение волнового поля в треугольной области с импе-
дансными граничными условиями. // Зап. науч. сем. ПОМИ РАН.  1998.
 Т. 250.  C. 300–318.
152. Шанин А.В. О возбуждении волн в клиновидной области. // Акуст. журн.
 1998.  Т. 44.  C. 683–688.
153. Shanin A.V., Krylov V.V. An approximate theory for waves in a thin elastic
wedge immersed in liquid. // Proc. Roy. Soc. Lond. A.  2000.  V. 456. 
P. 2179–2196.
154. Будаев Б.В. Обобщенные ряды Мейкснера. // Изв. вузов. Радиофизика. 
1991.  Т. 34.  С. 216-219.
155. Макаров Г.И., Осипов А.В. К вопросу о структуре рядов Мейкснера. //
Изв. вузов. Радиофизика.  1986.  Т. 29.  С. 714-720.
Литература 289
156. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифферен-
циальных уравнений. М.: Мир, 1968  460 c.
157. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. М.: Мир, 1990  528 c.
158. Robin L. Fonctions sph`eriques de Legendre et fonctions sph`eroidales, Tome III,
Paris: Gauthier-Villars, 1959  289 p.
159. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям с фор-
мулами, графиками и математическими таблицами. М.: Наука, 1979 
832 с.
160. Камотский В.В. Вычисление некоторых интегралов, описывающих волно-
вые поля. // Зап. науч. сем. ПОМИ РАН.  1999.  Т. 257.  C. 44–55.
161. Ищенко Е.Ф. Открытые оптические резонаторы. М.: Сов. радио, 1980 
208 с.
162. Ананьев Ю.А. Оптические резонаторы и лазерные пучки. М.: Наука, 1990
 264 с.
163. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука
 1979, 384 с.
164. Anis A.A., Lloyd E.H. On the range of partial sums of a finite number of
independent normal variates // Biometrika.  1953.  V. 40.  P. 35–42.
165. Boersma J. On certain multiple integrals occurring in a waveguide scattering
problem // SIAM J. Math. Anal.  1978.  V. 9.  P. 377–393.
166. Ильинский А.С., Смирнов Ю.Г. Дифракция электромагнитных волн на
проводящих тонких экранах. Псевдодифференциальные операторы в за-
дачах дифракции. М.: ИПРЖР, 1996 176 с.
167. McDonald H.M. A class of diffraction problems. // Proc. Lond. Math. Soc. 
1915.  V. 14.  P. 410–427.
168. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. Том 2. М.: Мир, 1978
 555 с.
169. Хенл Х., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964  428 с.
170. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.:
Наука, 1966  724