Семантический анализ простых паранормальных логик

Короткий опис

Оглавление

Введение...3

Глава 1 Простые паранормальные логики Io, VVP, AIP и IAP...8

§ 1.1 Исчисления HI0, HVVP, HAIP и HIAP и аксиоматизируемые

ими логики Io, VVP, AIP и IAP...8

§1.2 Простая паранормальность логик Io, WP, AIP и IAP...16

§ 1.3 Погружающие отображения, устанавливающие связь логик Io и WP с классической пропозициональной логикой и логик AIP и IAP с интуиционистской пропозициональной логикой. Аналог теоремы В.И.Гливенко, устанавливающий связь логики Io с логикой AIP и логики VVP с логикой IAP...50

Глава 2 Семантический анализ логик 10 и VVP...70

§ 2.1 Семантика обобщённых описаний состояния для логики 10 и

четырёхзначная характеризация этой логики...70

§ 2.2 Семантика квазиописаний состояния для логики WP... 115

§ 2.3 Несуществование конечной характеристической матрицы для логики WP...117

Глава 3 Семантический анализ логик AIP и IAP...121

§ 3.1 Семантика в стиле С.Крипке для логики AIP...121

§ 3.2 Семантика в стиле С.Крипке для логики IAP...154

§ 3.3 Несуществование конечных характеристических матриц для логикА1Ри1АР...160

Заключение...162

Литература...163
Введение

Введение

В предлагаемом диссертационном исследовании проводится семантический анализ ряда простых паранормальных логик**. Что такое простая паранормальная логика? Точный ответ на этот вопрос будет дан в главе 1. Здесь укажем только на то, что простые паранормальные логики являются разновидностью паранормальных логик, т.е. логик, которые одновременно являются паранепротиворечивыми и параполными. При этом паранепротиворечивая логика - это логика, для которой существует паранепротиворечивая теория, основывающаяся на этой логике (т.е. такая противоречивая теория, основывающаяся на этой логике, которой (теории) не принадлежит некоторое высказывание, сформулированное в языке этой теории), а параполная логика это — логика, для которой существует параполная теория, основывающаяся на этой логике (т.е. такая неполная теория Т, основывающаяся на этой логике, что всякая полная теория, сформулированная в языке теории Т, основывающаяся на этой же логике и включающая Т, является множеством всех высказываний языка теории Т).

Заметим, что часто употребляемый в логической литературе термин «паралогика» используется для обозначения любой логики, которая является паранепротиворечивой или\и параполной логикой. Таким образом, всякая паранормальная (а значит, и всякая простая паранормальная) логика есть паралогика.

У истоков исследований паралогик стоят Н.А. Васильев и Я.Лукасевич, пионерские работы [11] и [48], которых в области паралогик относятся к 10-м годам XX столетия. С полным основанием паралогиками могут быть названы логика, построенная И.Е.Орловым в [29], логика, построенная Д.А. Бочваром в [8], и, конечно, дискуссивная логика, построенная С.Яськовским в [46]. Изучение паралогик принадлежит сфере научных интересов: австралийских логиков Р.К.Мейера (R.K.Meyer), Г.Приста (G.Prist), Р.Роутли (R.Routley), Д.Хайда (D.Haid), австрийского логика П.Вайнгартнера (P.Weingartner), бельгийского логика Д.Батенса (D.Batens), бразильских логиков А.Арруды (A.Arruda), Н.Да Косты (N.C.A.Da Kosta), И.М.Л.Д'Оттавиано (I.M.L.D'Ottaviano), А.М.Сетте (A.M.Sette), грузинского логика Л.И.Мчедлишвили, израильского логика А.Аврона (A.Avron), испанского логика Л.Пена (L.Pena), немецких логиков

^ Согласно словарю (Советский энциклопедический словарь. М., 1964) термин «пара» происходит от греческого слова «para», означающего около, возле, мимо, вне.

В.Аккермана (W.Ackermann), В.А.Карниелли (W.A. Carnielli), Г.Вансинга (H.Wansing), польских логиков Е.Зарнецка-Биали (E.Zarnecka-Bialy) Г.Малиновского (G.Malinowski), Е.Пежановского (J.Perzanowski), логиков из США А.Р.Андерсона (A.R.Anderson), Н.Д.Белнапа (N.D.Belnap), Дж.М.Данна (J.M.Dunn), Г.Е.Минца (G.Mints), Д.Фауста (D.Faust), А.Чёрча (A.Church), украинских логиков А.Т.Ишмуратова и Я.Шрамко, японских логиков С.Акама (S.Akama) , К.Накаматсу (K.Nakamatsu), Х.Оно (Н.Опо), Т.Сугихара (T.Sugihara). В России паралогики изучались В.А.Бажановым, П.И.Быстровым, В.Л.Васюковым, Е.К.Войшвилло, В.В.Донченко, Н.М.Ермолаевой, Д.В.Зайцевым, А.А.Ивиным, Ю.В.Ивлевым, А.С.Карпенко, Л.Л.Максимовой, А.А.Мучником, С.П.Одинцовым, В.М.Поповым, О.В.Поповым, М.И.Семененко, О.Ф.Серебрянниковым, Е.А.Сидоренко, А.В.Смирновым, В.А.Смирновым, Е.Д.Смирновой, В.К.Финном,В.И.Шалаком.

Исследование паралогик конституировалось в самостоятельный раздел современной логики во второй половине 70-х годов XX века. Особенно интенсивно идет изучение паранепротиворечивых логик. К настоящему времени массив работ по паранепротиворечивым логикам труднообозрим, работ по паралогикам значительно меньше, а работы, специально посвященные анализу паранормальных логик, единичны.

Актуальность темы обусловлена тем, что в настоящее время всё большее значение приобретает применение неклассических логик при решении вопросов философского, методологического и конкретно-научного характера. При этом плодотворным оказывается использование специального типа неклассических логик - паралогик.

Общеизвестно, что при изучении логических систем важную роль играет исследование проблемы их семантической характеризации. В предлагаемой работе проведен семантический анализ ряда хорошо мотивированных с дедуктивной точки зрения паранормальных логик.

Целью работы является проведение семантического анализа простых паранормальных логик.

Для достижения указанной цели решены следующие задачи:

(1) задача, состоящая в доказательстве адекватности варианта семантики обобщённых описаний состояния паранормальной логике 10 (этот вариант семантики обобщённых описаний состояния и логика 10 сформулированы в [49]);

(2) задача, состоящая в доказательстве адекватности варианта семантики квазиописаний состояния паранормальной логике VVP (этот

вариант семантики квазиописаний состояния и логика VVP сформулированы в [32]);

(3) задача, состоящая в доказательстве адекватности четырёхзначной матрицы Мо из [49] логике 10;

(4) задача, состоящая в доказательстве того, что не существует конечной характеристической матрицы для логики VVP;

(5) задача, состоящая в доказательстве адекватности семантики, основанной на понятии AIP-модели, паранормальной логике AIP (эта семантика и логика AIP сформулированы в [33]);

(6) задача, состоящая в доказательстве адекватности семантики, основанной на понятии IAP-модели, паранормальной логике IAP (эта семантика и логика IAP сформулированы в [33]).

Научная новизна исследования состоит в следующем:

(1) проведён семантический анализ паранормальных логик Io, VVP, AIP и IAP, являющихся важнейшими логиками в классе всех простых паранормальных логик, и установлены (посредством аналогов теоремы В.И.Гливенко) связь логики 10 с логикой AIP и логики VVP с логикой IAP;

(2) доказана адекватность варианта семантики обобщённых описаний состояния логике 10 и доказана адекватность варианта семантики квазиописаний состояния логике VVP;

(3) доказано, что логика 1о имеет четырёхзначную характеристическую матрицу, но ни одна из логик VVP, AIP и IAP не имеет конечной характеристической матрицы;

(4) доказана адекватность семантики базарующейся на понятии AIP-модели, логике AIP, и доказана адекватность семантики, базирующейся на понятии IAP-модели, которое, наряду с понятием AIP-модели, является обобщением понятия модели Крипке для интуиционистской пропозициональной логики, логике IAP.

Методологическая основа исследования.

В ходе исследования применяются классическая математическая логика первого порядка с равенством и теоретико-множественные принципы, не выходящие за рамки системы ZFC.

Используются методы построения семантик, основывающихся на различных понятиях родственных понятию описания состояния, метод

построения семантик крипкевского типа, алгебраический метод изучения логики с помощью её характеристической матрицы, а также методы изучения логик посредством соответствующих гильбертовских и секвенциальных исчислений.

Основные результаты, полученные в диссертации:

(1) предложено доказательство сформулированной в [49] теоремы адекватности варианта семантики обобщённых описаний состояния логике

1о;

(2) предложено доказательство теоремы адекватности сформулированного В.М.Поповым варианта семантики квазиописаний состояния логике VVP;

(3) предложено доказательство сформулированной в [49] теоремы о четырёхзначной характеристической матрице логике 10;

(4) предложено оригинальное доказательство теоремы о несуществовании конечной характеристической матрицы логики VVP;

(5) предложено доказательство сформулированной в [33] теоремы адекватности семантики, основанной на понятии AIP-модели, логике AIP;

(6) предложено доказательство сформулированной в [33] теоремы адекватности семантики, основанной на понятии IAP-модели, логике IAP.

(7) предложено доказательство следующего аналога теоремы В.И.Гливенко^, доказанной им в [44]:

формула принадлежит логике 10 тогда и только тогда, когда двойное отрицание этой формулы принадлежит логике AIP;

сформулирован и доказан также ещё один аналог указанной теоремы В.И.Гливенко:

формула принадлежит логике VVP тогда и только тогда, когда двойное отрицание этой формулы принадлежит логике IAP.

Практическая значимость работы

Описанные в диссертации подходы к построению семантик паранормальных логик могут применяться при конструировании семантик и для других паралогик. Изученные здесь семантики находят применение при решении вопроса о принадлежности формулы логикам, соответствующим этим семантикам. Результаты диссертационного исследования можно использовать при чтении спецкурсов по неклассическим логикам.

Символы «V», «3», «=» и «» используются в метаязыке в качестве сокращения для «все», «некоторые», «если..., то...» и «тогда и только

Данный аналог теоремы В.И.Гливенко сформулирован в [2].

тогда, когда» соответственно, а символ «N» - для обозначения множества всех натуральных чисел, отождествляемого со множеством всех целых положительных чисел. Остальная символика вводится в основном тексте диссертации. Допускается автонимное употребление символов.

Автор приносит глубокую благодарность заведующему кафедрой логики философского факультета МГУ им. М.В.Ломоносова профессору В.И.Маркину за предоставленную автору возможность прочитать 27.09.05 доклад по теме диссертационного исследования на заседании кафедры, заведующему сектором логики ИФРАН профессору А.С.Карпенко за необходимые автору консультации по библиографии паранормольных логик и за предоставленную автору возможность выступить с докладом по теме диссертации на заседании сектора логики ИФРАН 20.09.05, профессору Ю.В.Ивлеву и кандидату философских наук В.О.Шангину за ценные указания по оформлению текста диссертации, профессору В.А.Бочарову и доценту Д.В.Зайцеву, прочитавшим текст диссертации и давших автору ряд полезных советов, научному руководителю диссертационного исследования доценту В.М.Попову за интеллектуальную помощь и моральную поддержку.

Глава 1 Простые паранормальные логики Io, VVP, AIP и1АР.

Краткое изложение главы 1:

в § 1.1 описаны исчисления HI0, HVVP, HAIP и HIAP гильбертовского типа и логики Io, VVP, AIP и IAP - логики, семантический анализ которых является центральной темой предлагаемого диссертационного исследования;

в § 1.2 доказано, что указанные логики принадлежат классу всех простых паранормальных логик - собственному подклассу класса всех паранормальных логик;

в § 1.3 проведено изучение вопроса о связи рассматриваемых простых паралогик с классической и интуиционистской логиками, изложены мотивы выбора логик Io, VVP, AIP и IAP в качестве предмета изучения, доказаны теоремы устанавливающие связь логики 10 с логикой AIP и логики WP с логикой IAP.

§ 1.1 Исчисления HI0, HVVP, HAIP и HI АР и аксиоматизируемые ими логики Io, VVP, AIP и IAP.

Языком всех изучаемых в предлагаемой работе логик является стандартно определяемый пропозициональный язык X, алфавит которого есть множество {&, V, D, —i, ), (, рь р2, р3, ...} символов. Первый из написанных в фигурных скобках символов называем конъюнкцией, второй - дизъюнкцией, третий - импликацией, четвёртый — негацией, пятый и шестой - круглыми скобками, а все другие символы, принадлежащие алфавиту языка X, называем пропозициональными переменными; при этом символы &, V, Э и —i называем логическими связками языка X. Определение формулы в языке X индуктивно:

(1) всякая пропозициональная переменная есть формула в языке X,

(2) если А и В есть формулы в языке X, то {А & В), (А V В), (A D В), (-1 А) есть формулы в языке X.

Далее везде, где не оговорено противное, термины «формула» и «логическая связка» используем как сокращения терминов «формула в языке X» и «логическая связка языка X» соответственно.

Нижеследующие определения Df 1.1.1 - Df 1.1.29 заимствованы из работ [32], [33] и из [49].

Определение Df 1.1.1: квазиэлементарной формулой называем формулу, в которую не входит ни одна из логических связок &, V, Э.

Определение Df 1.1.2: элементарной формулой называем формулу, которая является пропозициональной переменной или имеет вид (-i p), где р есть пропозициональная переменная.

Условимся обозначать: множество всех формул - через Form, множество всех элементарных формул - через EForm, множество всех квазиэлементарных формул через - QForm, правило модус поненс вХ-через МР, множество всех пропозициональных переменных - через Prop, правило подстановки формулы в формулу вместо пропозициональной переменной - через Sub, и для всяких формул А и В и всякой пропозициональной переменной р результат подстановки В в А вместо р -через SPB (A).

Определение Df 1.1.3: логикой называем непустое множество формул замкнутое относительно Sub и МР.

Определение Df 1.1.4: теорией логики L (L-теорией) называем множество Т формул, включающее логику L и замкнутое относительно МР.

Ясно, что для любой логики L множество Form есть теория логики L. Условимся называть множество Form тривиальной теорией.

Определение Df 1.1.5: противоречивой теорией логики L (противоречивой L-теорией) называем такую теорию Г логики L, что ЗА(А е Ги(-.4)е Т).

А есть формула

Определение Df 1.1.6: непротиворечивой теорией логики L (непротиворечивой ^-теорией) называем такую теорию Т логики L, что Т не является противоречивой теорией логики L.

Определение Df 1.1.7: паранепротиворечивой теорией логики L (паранепротиворечивой L-теорией) называем такую противоречивую теорию Т логики L, что Т не есть тривиальная теория.

Определение Df 1.1.8: простой паранепротиворечивой теорией логики L (простой паранепротиворечивой L-теорией) называем такую паранепротиворечивую теорию Г логики L, что У А (А е Ти(—А)е Т= =Ае QForm).

Определение Dfl.\.9: паранепротиворечивой логикой называем такую логику L, что существует паранепротиворечивая теория логики L.

Определение Df 1.1.10: простой паранепротиворечивой логикой называем такую паранепротиворечивую логику L, что всякая

10

паранепротиворечивая теория логики L является простой паранепротиворечивой теорией логики L.

Определение Df 1.1.11: полной теорией логики L (полной /--теорией) называем такую теорию Г логики L, что V А (А е Гили (—i A) e 7).

А есть формула

Определение Df 1.1.12: неполной теорией логики L (неполной L-теорией) называем такую теорию Т логики L, что Т не является полной теорией логики L.

Определение Df 1.1.13: параполной теорией логики L (параполной L-теорией) называем такую неполную теорию Тлогики L, что V Т' (Т' есть полная теория логики ЬяТ Я Т' = Т' есть тривиальная теория).

Определение Df 1.1.14: простой параполной теорией логики L называем такую параполную теорию Г логики L, что 3 q (q ? Г и (—i q) 0 Т).

q e QForm

Определение Df 1.1.15: параполной логикой называем такую логику L, что существует параполная теория логики L.

Определение Df 1.1.16: простой параполной логикой называем такую параполную логику L, что всякая параполная теория логики L является простой параполной теорией логики L.

Определение Df 1.1.17: паранормальной логикой называем логику, которая является паранепротиворечивой и параполной логикой.

Определение Df 1.1.18: простой паранормальной логикой называем логику, которая является простой паранепротиворечивой и простой параполной логикой.

Определение Df 1.1.19: паралогикой называем логику, которая является паранепротиворечивой или параполной логикой.

Определение Df 1.1.20: простой паралогикой называем логику, которая является простой паранепротиворечивой или простой параполной логикой.

Определим логики Io, VVP, AIP, IAP, C1 и Int, построив предварительно исчисления HI0, HVVP, HAIP, HIAP, HCI и Hint. Все эти исчисления являются исчислениями гильбертовского типа, язык каждого из этих исчислений есть описанный ранее язык X. Множество всех правил вывода любого из этих исчислений есть {МР}. Таким образом, для построения любого из исчислений HI0, HVVP, HAIP, HIAP, HC1 и Hint остаётся задать множество всех его аксиом и определить соответствующее понятие доказательства.

Пусть Ах 1 есть множество всех формул вида ((A D В) D ((В D С) D D (A D С))), где А,ВиСесть формулы;

11

Ах 2 есть множество всех формул вида (A D (А V В)), где АиВ есть формулы;

Ах 3 есть множество всех формул вида (В D (А V В)), где АиВ есть формулы;

Ах 4 есть множество всех формул вида ((A Э С) D ((В D С) D D ((А V В)Э С))), где А, В и С есть формулы;

Ах 5 есть множество всех формул вида ((А & В) D А), где АиВ есть формулы;

Ах 6 есть множество всех формул вида ((А & В) D В), где А и В есть формулы;

Ах 7 есть множество всех формул вида ((С D A) D ((С D В) D (С D Э (А& В)))), где А, В и С есть формулы;

Ах 8 есть множество всех формул вида ((A D (В D С)) Э ((Л &В) D С)), где А,ВиС есть формулы;

Ах 9 есть множество всех формул вида (((А & В) Э С) D (A D (В D С))), где А,ВиСесть формулы;

Ах 10 есть множество всех формул вида (((A D В) D A) D А), где АиВ есть формулы;

Ах 11 есть множество всех формул вида ((-iB) D (В D А)), где А и В есть формулы;

Ах IV есть множество всех формул вида ((-&) D (В D А)), где АиВ есть формулы и В не есть пропозициональная переменная;

Ах И" есть множество всех формул вида ((-$) D (В D А)), где АиВ есть формулы и В не есть квазиэлементарная формула;

Ах 12 есть множество всех формул вида ((В Э {—{А Э A))) Э (—$)), где АиВ есть формулы;

Ах 12' есть множество всех формул вида ((В D (—*(A D A))) D (-!#)), где А и В есть формулы и В не есть пропозициональная переменная;

Ах 12" есть множество всех формул вида ((В D (—, (A D A))) D (-?)), где А и В есть формулы и В не есть квазиэлементарная формула.

Множество всех аксиом исчисления Н10 есть Ах 1 и Ах 2 и Ах 3 и и Ах 4 и Ах 5 и Ах 6 и Ах 7 и Ах 8 и Ах 9 и Ах 10 и Ах 1Г иАх 12';

множество всех аксиом исчисления HVVP есть Ах 1 и Ах 2 и Ах 3 и и Ах 4 и Ах 5 и Ах 6 и Ах 7 и Ах 8 и Ах 9 и Ах 10 и Ах И" и Ах 12";

множество всех аксиом исчисления HAIP есть Ах1иАх2иАхЗи и Ах 4 и Ах 5 и Ах 6 и Ах 7 и Ах 8 и Ах 9 и Ах 11' и Ах 12';

множество всех аксиом исчисления HIAP есть Ах 1 и Ах 2 и Ах 3 и

12";

12

множество всех аксиом исчисления НС1 есть Ах 1 и Ах 2 и Ах 3 и

и Ах 4 и Ах 5 и Ах 6 и Ах 7 и Ах 8 и Ах 9 и Ах 10 и Ах 11 и Ах 12;

множество всех аксиом исчисления Hint есть Ах 1 и Ах 2 и Ах 3 и и Ах 4 и Ах 5 и Ах 6 и Ах 7 и Ах 8 и Ах 9 и Ах 11 и Ах 12.

Определение Df1.1.21: называем а последовательностью формул, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

(1) а есть пустое множество,

(2) а есть формула,

(3)3 пЗАх ... Воссесть {А\,... ^4„).

п е Ы, п 2 Аи ..., А„ е Form

Для всякого п из N и всяких формул А] ,... уАп используем А\9. ..^А„ для

[формулы А ь если п = 1; обозначения \

[упорядоченной и-ки (А\,... ^4„, если п2.

Ясно, что для всякого и из N и всяких формул А\ ,... уАп А\^...^Ап есть последовательность формул.

Определение D/ 1.1.22: V п V к V A\...V An V В называем формулу

пеЫкеЫАх ,...,А„,В е Form

В к-тым членом последовательности А\9...9А„ формул, если к Г\-н(А D В)).

Н е {Н10, HVVP, HAIP, HIAP, HCI, Hint}

15

Доказательство теоремы 1.1.1 аналогично доказательству теоремы 1 данному в [25, 84].

Обозначаем посредством 10 множество {А I (-Шо А}, посредством VVP -множество {A I I-hvvp А}, посредством AIP - множество {A I HHaip A), посредством IAP - множество {А | Ь-Шар А), посредством С1 - множество {А I ЬНс1 А), посредством Int - множество {A I h-Hint A).

Легко доказать, что, IAP е AIP с Io, IAP с VVP с 10. В дальнейшем будет доказано, что

множества Io, VVP, AIP, и IAP попарно различны.

Докажем, что множество IAP замкнуто относительно МР, т.е. докажем, что для всяких формул АиВ верно следующее:

А е IAP и (A D В) е IAP = В е IAP.

(1) А' и В' есть формулы (допущение)

(2) А' е IАР (допущение)

(3) (A' D В') е IAP (допущение)

(4) \-шар А' (из (2), по определению множества IAP)

(5) 1-н1ар (А' Э В') (из (3), по определению множества IAP)

(6) Существует HIAP-доказательство, последняя формула которого есть А' (из (4), по соглашению об обозначении)

(7) Существует HIAP-доказательство, последняя формула которого есть (A' D В') (из (5), по соглашению об обозначении и по определению Df 1.1.27)

Пусть (8) А\, ..., Ап есть формулы, последовательность А\^...^ Ап есть HIAP-доказательство и Ап есть А'.

Пусть (9) В\, ..., Вт есть формулы, последовательность В\9 ...) Вт есть HIAP-доказательство и Ап есть (A' D В').

Используя (8), (9) и определение HIAP-доказательства получаем, что

(10) последовательность А\ ^...^Ап^В\ 9...9 Вт 9 В' формул есть HIAP-доказательство.

(11) Существует HIAP-доказательство, последняя формула которого есть В' (из (10))

(12) Hhiap В' (из (11), по соглашению об обозначении)

(13) В' е IAP (из (12), по определению множества IAP)

Снимая допущения (1), (2), (3) и обобщая, получаем, что для всяких формул А и В верно следующее: А е IAP и (A D В) е IAP = В е IAP.

Итак, множество IAP замкнуто относительно МР.

Аналогично доказывается, что множества AIP, VVP, Io, CI и Int замкнуты относительно МР.

16

Докажем теперь, что множество замкнуто относительно Sub, т.е.

докажем, что для всяких формул А и В и всякой пропозициональной

переменной/» верно следующее:

A elAP^S^OOelAP. (1) А' и В' есть формулы (допущение) (2)р' есть пропозициональная переменная (допущение)

(3) А' е IAP (допущение)

(4) H-hiap^' (из (3), по определению множества IAP)

(5) V А V В V р (Ьвдар Л = ЬШар $рв (А)) (легко доказывается возвратной индукцией по длине HIAP-доказательства)

(6) \-шл*А' = Нн,ар $р'в' (А1) (из (1), (2) и (5))

(7) Ьн1ар SpB- (А') (из (4) и (6))

(8) Sp в1 (А') е IAP (из (7), по определению множества IAP)

Снимая допущения (1), (2), (3) и обобщая, получаем, что для всяких формул А и В и всякой пропозициональной переменной р верно следующее: А е IAP = SPB (A) e IAP.

Аналогично доказывается, что множества Io, VVP, AIP, С1 и Int замкнуты относительно правила подстановки формулы в формулу вместо пропозициональной переменной.

Таким образом, множества Io, VVP, AIP, IAP, C1 и Int замкнуты относительно МР и относительно Sub. Очевидно, что эти множества непусты. Следовательно, по данному выше определению логики (см. определение Df 1.1.3), каждое из указанных множеств является логикой.

Можно доказать, что С1 и Int являются, соответственно, множеством формул, которое принято называть «классической пропозициональной логикой в языке X», и множеством формул, которое принято называть «интуиционистской пропозициональной логикой в языке X».

§1.2 Простая паранормальность логик Io, VVP, AIP и IAP.

В [49] построена логическая матрица Мо- Мо есть логическая матрица ({О, 1, f, t}, {1}, {&+, V+, D+, -i+}) с четырёхэлементным носителем, двуместные операции &+, V+, Э+ которой и одноместная операция -.+ которой определяются следующими таблицами:

17

X &+у 1 0 t f

1 1 0 1 0

0 0 0 0 0

t 1 0 1 0

«4-1 0 0 0 0

x V+y 1 0 t f

1 1 1 1 1

0 1 0 1 0

t 1 1 1 1

«4-1 1 0 1 0

x D у 1 0 t «4-1

1 1 0 1 0

0 1 1 1 1

t 1 0 1 0

f 1 1 1 1

—1 X

0 1

1 0

1 t

0 f

Следуя [49], вводим определение оценки языка X в матрице Мо и определяем значение формулы при заданной оценке языка X в матрице Мо.

Оценкой языка ? в матрице Мо называем отображение множества всех пропозициональных переменных в {0, 1, f, t}. Значение формулы А при оценке v языка ? в матрице Мо (символически IA | VM°) определяется индуктивно:

„м° = v{A), если А есть пропозициональная переменная,

VM° = | В | VM° &+ | С | vMo, если В и С есть формулы и А = (В & С),

В

(1) I

(2)1

(3)1.

(4)1

(5) I

Лемма 1.2.1

Пусть A е Form.

Тогда А ? Prop -

М,

СI v °, если В и С есть формулы и А = (В V С),

Мо

С v °, если В и С есть формулы нА = (ВЭС),

В | „ , если В есть формула и А = (—, В).

мп

Vv \A\vm°e{l,O}.

v есть оценка языка ? в Мо

Доказательство проводим индукцией по построению формулы.

Согласно определению формулы верно, что

(1) А € Prop, или ЗА\А есть (-i A{), или ЗА\ЗА2А есть {А\ & А2), или

А] е Form A\,A2 e Form

ЗА\ЗА2А есть (А\ V А2), или ЗА\ ЗА2А есть (А\ D А2).

А\,А2 е Form А\,Аг е Form

Очевидно, что (2) А е Prop = (Л ? Prop = V v \а | „м° е {1, 0}).

v есть оценка языка ? в Мо

(3) 3 А\ А есть (—i A\) (допущение)

А\ е Form

Пусть (4) А\ есть формула, А есть (-. А'{).

(5) v' есть оценка языка ? в Мо (допущение)

(6) |(-i ^'i)L'M° = -i+ \A'\ V'M° (из (4), (5), по определению значения формулы при заданной оценке языка X в матрице Мо)

Список литературы