Сисак Катерина Ярославівна. Локально нiльпотентнi алгебри Лi диференцiювань комутативних кiлець.

Короткий опис

Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка
Мiнiстерство освiти i науки України
Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка
Мiнiстерство освiти i науки України
Квалiфiкацiйна наукова
праця на правах рукопису
СИСАК КАТЕРИНА ЯРОСЛАВIВНА
УДК 512.554.35
ДИСЕРТАЦIЯ
ЛОКАЛЬНО НIЛЬПОТЕНТНI АЛГЕБРИ ЛI
ДИФЕРЕНЦIЮВАНЬ КОМУТАТИВНИХ КIЛЕЦЬ
01.01.06 — алгебра та теорiя чисел
Подається на здобуття наукового ступеня
кандидата фiзико-математичних наук.
Дисертацiя мiстить результати власних дослiджень. Використання iдей, результатiв i текстiв iнших авторiв мають посилання на вiдповiдне джерело
Сисак К. Я.
Науковий керiвник: Петравчук Анатолiй Петрович,
доктор фiз.-мат. наук, професор.
Київ — 2018

Змiст
Перелiк умовних позначень 10
Вступ 11
1 Огляд лiтератури 26
2 Означення та допомiжнi результати 32
3 Локально нiльпотентнi алгебри Лi диференцiювань 41
3.1 Нiльпотентнi алгебри Лi диференцiювань з центром великого рангу 42
3.2 Локально нiльпотентнi алгебри Лi диференцiювань комутативних
кiлець . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Висновки до роздiлу 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4 Алгебри Лi, що складаються з локально нiльпотентних диференцiювань 71
4.1 Скiнченновимiрнi алгебри Лi, що складаються з локально нiльпотентних диференцiювань . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2 Про пiдалгебри з W2(K), що складаються з локально нiльпотентних диференцiювань . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Висновки до роздiлу 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5 Алгебри Лi, асоцiйованi з модулями над кiльцями многочленiв 92
8
9
5.1 K[x, y]-модулi з iзоморфними асоцiйованими алгебрами Лi . . . . 93
5.2 Необхiднi та достатнi умови слабкого iзоморфiзму двох скiнченновимiрних K[x, y]-модулiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Висновки до роздiлу 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Висновки 111
Список використаних джерел 114
ДОДАТОК 1 120

Список літератури

Висновки
В дисертацiї було отримано наступнi новi результати, пов’язанi з вивченням локально нiльпотентних пiдалгебр алгебри Лi диференцiювань W(A) = R DerK A,
де A – область цiлiсностi над K i R – поле часток алгебри A.
• Доведено, що для кожної нiльпотентної пiдалгебри L алгебри Лi W(A),
такої що rkR L = n > 1 i rkR Z(L) = n − 1, алгебра Лi F L над полем
констант F = F(L) мiститься в алгебрi Лi вигляду
FhD1, aD1,
a
2
2! D1, . . . ,
a
s
s!
D1, D2, aD2, . . . ,
a
s
s!
D2, . . . , Dn−1, . . . ,
a
s
s!
Dn−1, Dni,
де D1, D2, . . . , Dn ∈ F L такi, що [Di
, Dj
] = 0, i, j = 1, 2, . . . , n, i a ∈ R
такий, що D1(a) = D2(a) = · · · = Dn−1(a) = 0 i Dn(a) = 1.
• Охарактеризовано структуру локально нiльпотентних пiдалгебр L алгебри
Лi W(A) за умови, що L має малий ранг над R, а саме
1. якщо rkR L = 1, то L – абелева i dimF F L = 1;
2. якщо rkR L = 2, то L або нiльпотентна скiнченновимiрна над полем F,
або нескiнченновимiрна над F i
F L = FhD2, D1, aD1, . . . ,
a
k
k!
D1, . . .i
для D1, D2 ∈ L такi, що [D1, D2] = 0, D1(a) = 0 i D2(a) = 1.
111
112
3. якщо L – максимальна (за включенням) локально нiльпотентна пiдалгебра в W(A) i rkR L = 3, то L = F L i L або нiльпотентна розмiрностi 3 над полем F, або iснують попарно комутуючi диференцiювання
D1, D2, D3 ∈ L та елементи a, b ∈ R такi, що
L = FhD3, {
a
i
i!
D1}
∞
i=0, {
a
i
i!
D2}
∞
i=0i,
де D3(a) = 1 i D1(a) = D2(a) = 0, або
L = FhD3, {
a
i
i!
D2}
∞
i=0, {
a
i
b
j
i!j!
D1}
∞
i,j=0i,
де D1(a) = D2(a) = 0, D1(b) = D3(b) = 0 i D2(b) = D3(a) = 1.
• Доведено, що всi скiнченновимiрнi (над K) пiдалгебри L алгебри Лi DerK A,
якi одночасно є пiдмножинами в множинi LND(A) всiх локально нiльпотентних диференцiювань алгебри A, є нiльпотентними алгебрами Лi. Зокрема,
кожна така локально скiнченновимiрна пiдалгебра буде локально нiльпотентною.
• Встановлено, що кожна пiдалгебра L алгебри Лi W2(K), яка складається
з локально нiльпотентних диференцiювань, спряжена за допомогою автоморфiзму кiльця K[x, y] з деякою пiдалгеброю алгебри Лi u2(K) всiх трикутних диференцiювань кiльця K[x, y], тобто iснує таке α ∈ AutK K[x, y],
що αLα−1
є пiдалгеброю в u2(K). Зокрема, кожна така максимальна (за
включенням) пiдалгебра з W2(K), що мiститься в множинi LND(K[x, y]),
спряжена з u2(K) за допомогою автоморфiзму кiльця многочленiв K[x, y].
• Дослiджено зв’язок мiж скiнченновимiрними модулями над кiльцем K[x, y]
та асоцiйованими з ними алгебрами Лi i одержано наступний критерiй:
два нерозкладнi скiнченновимiрнi (над K) K[x, y]-модулi V i W такi, що
dimK V = dimK W > 7, слабко iзоморфнi тодi i лише тодi, коли асоцiйованi з ними алгебри Лi LV та LW iзоморфнi. Як наслiдок отримано, що
113
задача класифiкацiї алгебр Лi вигляду L = B i A, де B – двовимiрна абелева пiдалгебра i A – абелевий iдеал в L, еквiвалентна задачi класифiкацiї
скiнченновимiрних K[x, y]-модулiв з точнiстю до слабкого iзоморфiзму.