Свойства ляпуновских показателей колеблемости и блуждаемости решений дифференциальных систем Шишлянников Евгений Михайлович

Короткий опис

Шишлянников, Евгений Михайлович.
Свойства ляпуновских показателей колеблемости и блуждаемости решений дифференциальных систем : диссертация ... кандидата физико-математических наук : 01.01.02 / Шишлянников Евгений Михайлович; [Место защиты: Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова]. - Москва, 2019. - 79 с.
Оглавление диссертациикандидат наук Шишлянников Евгений Михайлович
1.2 Восстановление системы
1.3 Существование особенной пары вектор-функций на отрезке
1.4 Построение решений
2 Счетные спектры
2.1 Разбиения
2.2 Пара вектор-функций на отрезке
2.3 Решения системы со счетным спектром
3 Континуальные спектры
3.1 Вспомогательные леммы
3.2 Вычисление показателей колеблемости и блуждаемости
3.3 Построение системы по решениям
3.4 Фундаментальная система решений
Заключение
Список литературы
Введение
Настоящая диссертация представляет собой исследование в области качественной теории дифференциальных уравнений.
Актуальность темы исследования
Важную роль в качественной теории дифференциальных уравнений играют линейные системы, которые служат основой при изучении нелинейных систем по их первому приближению. При изучении линейных систем возникают теоретические вопросы связанные с асимптотическими свойствами их решений: устойчивостью и колеблемостью.
Показатели Ляпунова. В 1892 году А.М. Ляпуновым была защищена докторская диссертация на тему «Общая задача об устойчивости движения». Этот момент можно считать начальным в истории развития теории устойчивости. За более чем вековой период было предложено и успешно использовано множество показателей, отвечающих за разные асимптотические свойства решений уравнений или систем. Их изучением занимались многие математики, в том числе: Р.Э. Виноград [27, 28], Б.Ф. Былов [23, 24], В.М. Миллионщиков [60, 61, 62], Н.А. Изобов [41, 42, 43], М.И. Рахимбердиев [69, 70], И.Н. Сергеев [86, 88], Е.К. Макаров [56, 57], С.Н. Попова [67, 68], Е.А. Барабанов [9, 10], О.И. Морозов [65, 66], А.С. Фурсов [101, 102], А.Н. Ветохин [25, 26], В.В. Быков [18, 19], Ю.И. Дементьев [32, 33] и другие. Здесь указаны не все работы авторов. Подробную библиографию можно найти в обзорах [39, 40] и монографиях [22, 38].
Характеристические показатели Ляпунова [55], а также введенные позже нижние характеристические показатели Перрона [3], степенные показатели Демидовича [34], экспоненциальные и а-показатели Изобо-ва [37, 43], центральные показатели Винограда-Миллионщикова [28, 62], генеральные (особые) показатели Боля-Персидского [38, 1], вспомогательные показатели Миллионщикова [58, 59] служат для исследования различных асимптотических свойств решений и их совокупностей и используются при исследовании различных типов устойчивости и неустойчивости решений дифференциальных систем.
Теория колебаний. В теории колебаний важное место занимают вопросы, связанные с колеблемостью решений, восходящие к фундаментальным работам Ж. Штурма [4] и А. Кнезера [2]. Исследованиями в этом направлении занимались В.А. Кондратьев [47, 48], И.Т. Кигурадзе [44, 45, 46], Т.А. Чантурия [103, 104], А.Н. Левин [51, 52], Н.А. Изобов [35, 36], И.В. Асташова [6, 7, 8], С.Д. Глызин, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов [29, 30] и другие (более подробные библиографии см. в обзоре [52] и монографии [5]). В данных работах в первую очередь исследуются вопросы существования и свойства колеблющихся решений дифференциальных уравнений (т.е. решений, имеющих бесконечное число нулей на полупрямой или на промежутке), а также возможность описать все множество таких решений. В этих работах немало усилий направлено на получение коэффициентных (т.е. опирающихся только на свойства коэффициентов уравнения) признаков существования или отсутствия колеблющихся решений, а также изучаются свойства промежутков неосциляции (т.е. отрезков, на которых решение имеет меньше нулей, чем порядок уравнения). В то же время почти не исследуются характеристики, позволяющие сравнивать колеблющиеся решения между собой.
Частоты решений уравнения. Первая попытка определить показатель, который бы являлся аналогом показателей Ляпунова и позволял бы судить о колеблемости решений дифференциальных уравнений и систем, была предпринята И.Н. Сергеевым в 2004 г. в его докладе [82]: было дано определение характеристической частоты скалярной функции, геометрический смысл которой — среднее на всей полуоси количе-