ВAДНЬОВ ДМИТРО ОЛЕКСАНДРОВИЧ МЕТОДИ ФОРМАЛІЗАЦІЇ ПОДАННЯ НЕЧІТКИХ ВЕЛИЧИН НА ОСНОВІ СПЕЦІАЛЬНИХ ПОСЛІДОВНОСТЕЙ ПРОСТИХ ЧИСЕЛ

Короткий опис

Міністерство освіти і науки України Київський національний університет імені Тараса Шевченко На правах рукопису ВAДНЬОВ ДМИТРО ОЛЕКСАНДРОВИЧ УДК 519.874:519.852:519.816 МЕТОДИ ФОРМАЛІЗАЦІЇ ПОДАННЯ НЕЧІТКИХ ВЕЛИЧИН НА ОСНОВІ СПЕЦІАЛЬНИХ ПОСЛІДОВНОСТЕЙ ПРОСТИХ ЧИСЕЛ 01.05.04 системний аналіз і теорія оптимальних рішень Дисертація на здобуття наукового ступеню кандидата фізико-математичних наук Науковий керівник: Івохін Євген Вікторович, доктор фізико-математических наук, доцент Київ  2016 2 ЗМІСТ ВСТУП............ 4 РОЗДІЛk1.д Нечіткі множини і нечіткі системи.. 11 1.1.дЗагальні підходи до формалізації нечіткості..................... 11 1.2. Аксіоматика нечітких множин: основні поняття та означення 13 1.3.дНевизначені нечіткі множини як приклад узагальнення нечітких множин......... 21 1.4.дНечіткі величини і нечіткі числа. 24 1.5.дНечіткі системи як об’єкт дослідження....... 27 1.6. Математичні моделі нечітких систем.. 29 1.7.дВисновки до першого розділу ..................................................... 35 РОЗДІЛk2.дПослідовності простих чисел та їх застосування в задачах з нечіткими даними .. 36 2.1.фЗагальна характеристика послідовностей простих чисел.. 38 2.1.1.Методика представлення цілих та дійсних нечітких чисел ........ 55 2.1.2.Підхід до формалізації процесу динаміки функцій належності.. 60 2.2.дАлгоритм шифрування на основі задачі про рюкзак .... 61 2.3. Нечіткі бази даних.... 69 2.4. Розширення синтаксису та семантики мови C для реалізації засобів нечіткого моделювання. 75 2.5. Висновки до другого розділу ....... 85 РОЗДІЛ 3. Складені нечіткі числа та їх застосування ... 86 3.1. Аксіоматика складених нечітких чисел 86 3.2. Порівняння відстаней між складеними нечіткими числами.......... 88 3.3. Методи кластеризації даних, заданих у формі складених нечітких чисел.... 90 3.4. Моделювання динаміки нечітких систем великої розмірності . 96 3.5. Висновки до третього розділу ...103 3 РОЗДІЛ 4. Використання нечіткого підходу до розв’язання задач локальної фільтрації зображень 104 4.1. Принципи локальної фільтрації..104 4.2 Особливості руху вікна.. 106 4.3. Лінійні фільтри.109 4.4. Рекурсивні лінійні фільтри.....112 4.5. Нелінійні фільтри.113 4.6. Задача розпізнавання об’єктів на основі методу «Pyramid Resolution».116 4.7. Застосування нечіткого подання розмірів апертури для оптимізації процесу фільтрації..120 4.8. Висновки до четвертого розділу .. 121 ВИСНОВКИ... 122 СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ.. 124 ДОДАТКИ...........131 4 ВСТУП Актуальність теми. Одним з сучасних наукових напрямків досліджень, що швидко розвивається останнім часом, є математичне моделювання. Якщо у класичних наукових напрямках математичний апарат, що використовується при отриманні нових результатів, вже сформований, то теорія математичного моделювання як окремий новий напрямок знаходиться на стадії формування. Під моделюванням розуміється заміна одних об’єктів (оригіналів) іншими об’єктами (моделями) і дослідження властивостей об’єктів за встановленими моделями. Теорія моделювання становить взаємно пов’язану сукупність положень, які є предметом теорії моделювання [1]. Поняття модель” широко використовується і має різні застосування. Моделлю об`єкта зазвичай називають інший об`єкт, що імітує деякий набір властивостей об`єкта, що моделюється [2,3]. Основна мета моделювання це можливість дослідження та аналізу кількісних та якісних характеристик реального об’єкту. Об`єкт реального світу має величезну кількість властивостей та характеристик, але при дослідженні необхідно виділити основні властивості та перенести їх на модель [1,4,5]. Всі моделі класифікуються за різними ознаками. Часто виділяють дві категорії: експериментальні моделі та теоретичні моделі. Особливу увагу приділяють математичним моделям. Основною перевагою математичної моделі є можливість досліджувати властивості та поведінку моделі у всіх чи багатьох ситуаціях, спираючись на розроблені формальні методи досліджень. Використовуючи розроблений математичний апарат, можна отримати якісно нові результати. Обчислювальні експерименти, проведені із використанням математичних моделей, дозволяють більш докладно та глибоко вивчити функціонування об`єктів. Особливо важливим математичне моделювання стає тоді, коли об`єкт дослідження знаходиться у одиничному екземплярі, натурний експеримент проводити довго, або ціна безпосереднього експерименту занадто висока. 5 Класичні методи аналізу, вирішуючи багато завдань аналізу поведінки систем, не забезпечують повною мірою вирішення сучасних завдань дослідження функціонування об'єктів, зокрема в умовах невизначеності. Необхідна модернізація методів, що існують, і розробка нових методів аналізу складних об'єктів, що базуються на сучасних досягненнях математики, теорії систем і т.і. Математичне моделювання різних реальних явищ містить два принципові етапи, що приводять до необхідності врахування складності та невизначеності систем. Перший з них об‘єктивно обумовлений невідомою точною поведінкою процесів, що моделюються. Це, в свою чергу, веде до неможливості сформулювати точний вигляд моделі фізичного процесу та до незручності використання обраних моделей на практиці, що пояснюється наявністю в них багатьох невизначеностей. Другий етап, пов‘язаний з проблемою адекватності математичного моделювання реальних систем, полягає в суб‘єктивній неспроможності оцінювати події процесів абсолютно точно. Неясність, нечіткість поведінки системи, відсутність достатньої інформації для моделювання процесів не дозволяють коректно описувати моделі в рамках традиційних підходів, що враховують невизначеність. Для дослідження динаміки систем, які по своїй природі є достатньо складними і недостатньо визначеними, природно використовувати нечітких підхід, при якому неточність моделі описується в термінах теорії нечітких множин. Існує багато підходів до побудови та математичної обґрунтованості загальної теорії нечітких множин. Треба відмітити, що аксіоматика даної теорії досить повно вивчена, а область застосування нечітких множин постійно розширюється завдяки залученню основних принципів теорії до аналізу складних систем різного призначення (економічних, екологічних, соціальних, політичних та ін.). Використання теорії нечітких множин дає можливість розв’язувати складні недостатньо формалізовані задачі на основі нових конструктивних підходів. Теоретичні та прикладні передумови проведеного в дисертації 6 дослідження на основі нечітких множин сформовані на основі робіт Заде Л.А., Орловського С.А., Мартинюка А.А., Зайченка Ю.П., Волошина О.Ф. та інших. Дослідженню різних прикладних задач з використанням теорії нечітких множин присвячені роботи Алтунина А.Е., Вострова Н.Н, Кучина Б.Л., Борщевича В.И., Ботнаря В.И., Ягера Р.Р. та інших. Одним з напрямків досліджень є формування нечітких баз даних на основі побудови табличних представлень, в яких використовуються оцінки особи, що приймає рішення. Створення таких баз даних і методів їх актуалізації дасть можливість проведення оперативної обробки нечіткої проблемної інформації. Задачі аналітичної обробки сукупності нечітко визначених даних потребують вирішення двох задач: кластеризації даних в відносно однорідні групи та вибору рішення в умовах невизначеності. Розробка програмного забезпечення для обробки інформації, поданої в узагальненому вигляді з врахуванням динаміки інформаційних процесів, дозволить ефективно вирішувати зазначені вище завдання. Одними з найперспективніших підходів в області математичного моделювання динаміки систем є використання декомпозиції моделей. Багатозв’язність моделей дозволяє за допомогою спеціальних перетворень встановлювати необхідні властивості вихідних систем на основі наявності таких властивостей у окремих підсистем. Дослідницька область нечітких динамічних систем це нова методика, що зв’язує теоретичні дослідження в області комп'ютерних наук і прикладну математику. Практичне використання математичних і програмних засобів представлення і обробки нечіткої інформації вимагає створення прикладних автоматизованих систем обробки даних та підтримки прийняття рішень, що є особливо важливим для забезпечення функціонування складних технічних, технологічних і соціальних систем в умовах невизначеності. Існуючі системи мають, як правило, вузький спеціалізований варіант застосування, який не завжди підходить для роботи з недостатньо формалізованими управлінськи- 7 ми ситуаціями. Тому актуальною задачею залишається розробка і впровадження програмних засобів, що застосовують узагальнене подання нечітких величин та розширюють семантику традиційних операторів обробки даних. Актуальність і перспективність досліджень в області формалізації невизначеності на основі використання теорії нечітких множин і нечітких чисел визначили вибір теми, мети і задач дисертаційної роботи. Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота є складовою частиною наукових робіт, що ведуться на кафедрі системного аналізу та теорії прийняття рішень факультету кібернетики та в науково-дослідному підрозділі Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Дослідження виконувались в рамках науково-дослідної теми №11БФ015-06 Проблеми теорії прийняття рішень та системного аналізу стохастичних мереж” (державний номер реєстрації 0111U006680, строк виконання 2011-2015г.г., в рамках програми "Інформатизація суспільства") і науково-дослідної теми «Розробка і впровадження інформаційної та організаційної системи заходів по забезпеченню інноваційної спрямованості науково-дослідних робіт в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка», НДР № 08БП 013-01 (за напрямом Підпрограми "Інформаційні технології в науці та навчальному процесі"). Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка конструктивної методики формалізації нечітких чисел, створення алгоритмів обробки нечітких даних та розробка математичного і програмного забезпечення для дослідження процесів обробки нечіткої інформації, результати якого можуть бути застосовані при розв’язанні актуальних прикладних задач в умовах невизначеності. Досягнення мети пов'язано з розв'язанням наступних задач:  узагальнення способу формалізації нечіткої інформації на основі нечітких та невизначених нечітких чисел трикутного вигляду;  створення методики опису нечіткості з використанням послідовностей простих чисел; 8  аналіз та вдосконалення алгоритмів обробки даних за допомогою спеціальних послідовностей простих чисел;  розробка способів представлення нечітких баз даних та актуалізації нечіткої інформації;  розробка методів та алгоритмів нечіткої кластеризації;  створення програмних засобів для нечіткого моделювання;  дослідження динаміки нечітких систем великої розмірності на основі декомпозиції та агрегування;  застосування нечіткого підходу при розв’язанні прикладних задач фільтрації зображень в умовах невизначеності. Об’єктом дослідження є моделі формалізації процесів, що функціонують в умовах невизначеності; моделі та технології моделювання процесів динаміки нечітких об’єктів і систем; методи та алгоритми обробки нечітких чисел. Предмет дослідження процеси формалізації нечітко визначених даних та створення методів обробки нечіткої інформації. Методи дослідження. Методологічну основу складає системний підхід до дослідження процесів формалізації та аналізу процесів у складних системах, що функціонують в умовах невизначеності. Методи, які використані у дисертації, грунтуються на застосуванні теорії чисел, теорії нечітких множин, теорії оптимізації, теорії прийняття рішень і теорії та технології програмування. Для подання нечітких даних використано спосіб формалізації нечіткості у вигляді нечітких трикутних чисел та метод визначення носія нечітких чисел у формі інтервалу, який задається елементами спеціальної послідовності простих чисел. Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати роботи:  Розроблено нові способи формалізації нечітких цілих та дійсних чисел.  Запропоновано оригінальні послідовності простих чисел, досліджено їх властивості та методику використання для опису функцій належності нечітких трикутних чисел. 9  Запропоновано новий метод опису невизначеності у вигляді складених нечітких чисел.  Запропоновано оригінальне розширення синтаксису та семантики мови програмування для реалізації засобів нечіткого моделювання.  Вперше проведено дослідження та підвищення криптостійкості алгоритму шифрування даних з використанням послідовності простих чисел.  Узагальнено спосіб представлення нечітких баз даних, який дав можливість описувати нечіткі дані у вигляді таблиць-представлень з врахуванням суб’єктивного характеру нечіткості.  Розроблено нові конструктивні алгоритми кластеризації нечітко визначених даних, що описуються сукупністю складених нечітких чисел.  Вперше досліджено та отримано умови адекватності динаміки лінійних багатомірних нечітких систем при їх структурному спрощенні.  Запропоновано новий підхід для розв’язання задачі нечіткої фільтрації зображень. Обґрунтованість та достовірність отриманих результатів підтверджується коректністю постановок задач, строгим доведенням теорем, узгодженістю отриманих аналітичних результатів з даними чисельного експерименту. Практичне значення отриманих результатів полягає в тому, що в дисертаційній роботі розроблено новий підхід до формалізації невизначеності, досліджено та вирішено ряд практичних задач з нечіткими вхідними даними. Запропоновані методи та підходи створено на основі використання спеціальних послідовностей простих чисел. Використовуючи спеціально розроблену методику проведено дослідження процесів функціонування систем великої розмірності. Ці результати можуть бути використані при створенні ефективних програмних систем для аналізу моделювання процесів у багатомірних нечітких об’єктах, для підтримки прийняття рішень при дослідженні процесів і систем, що функціонують в умовах невизначеності. Результати дисертаційного дослідження використовувались у навчальному процесі на факультеті кібернетики Київського національного університету імені 10 Тараса Шевченка при підготовці лекційних та спеціальних курсів «Сучасні інформаційні технології», «Методи прийняття рішень в умовах нечіткості» та «Методи дослідження динамічних систем великoї розмірностi». Особистий внесок здобувача. Визначення загального напряму досліджень та ідея застосування спеціальних послідовностей простих чисел для формалізації функцій належності нечітких та складених нечітких чисел належать науковому керівнику Івохіну Є.В. Всі основні результати дисертації, що виносяться на захист, отримані здобувачем самостійно. Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на наукових конференціях та семінарах: Міжнародних конференціях Dynamic System Modeling and Stability Investigation” (Київ, травень, 2001); Міжнародній науково-практичній конференції, присвяченій 170-річчю КНУ імені Тараса Шевченка та 60-річчю Інституту міжнародних відносин Моделювання міжнародних відносин” (Київ, 2004); Міжнародній науковій конференції ”Інтелектуальні системи прийняття рішень та проблеми обчислювального інтелекту” (Євпаторія, Україна, вересень, 2013); Міжнародній науковій конференції Обчислювальна та прикладна математика” (Київ, Україна, вересень, 2013, жовтень, 2014); IIІ міжнародній науково-практичній конференції «Обчислювальний інтелект 2015» (Черкаси, 2015); міжнародній школі-семінарі «Теорії прийняття рішень» (Ужгород, Україна, вересень, 2014); XXVII Міжнародній науковій конференції Problems of Decision Making under Uncertainties” (PDMU-2016)], (Tбілісі-Батумі, Грузія, травень, 2016); на наукових семінарах факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка

Список літератури

ВИСНОВКИ Дисертаційна робота присвячена розробці конструктивної методики формалізації нечітких чисел, створення алгоритмів обробки нечітких даних, розробки математичного та програмного забезпечення для дослідження процесів обробки нечіткої інформації, результати якого можуть бути застосовані при розв’язанні актуальних прикладних задач в умовах невизначеності. Проведено огляд результатів досліджень на основі нечітких множин та систем. Наведено аксіоматику нечітких множин, основні поняття і визначення нечітких величин і нечітких чисел, описано узагальнення поняття нечітких множин у вигляді невизначених нечітких множин. Проведено огляд використання нечітких множин та математичні моделі нечітких систем. Відмічено, що перспективним напрямком формалізації нечіткості є використання трикутних нечітких величин, основною ідеєю визначення яких є побудова інтервалів можливих значень невизначеного (невідомого) параметра з застосуванням лінійної функції належності. В роботі розглянуто та детально вивчено спеціальні послідовності простих чисел, їх властивості, введено операції на даних послідовностях. Запропоновано алгоритм для наближення довільного раціонального числа за допомогою елементів введених послідовностей простих чисел. Розглянуто множину невід’ємних раціональних чисел, які представляються у вигляді відношення двох елементів з розглянутих послідовностей. Для цієї множини отримано нижню і верхню спряжені множини, доведено твердження для оцінок інтервалів розміщення найближчих до заданого цілого простих чисел. Викладено методику подання цілих та дійсних нечітких чисел. Розроблено спосіб формалізації процесу динаміки функцій належності станів нечіткої дискретної системи. Запропоновано модифікацію базової схеми алгоритму Меркла-Хелмана шифрування повідомлень на основі нечіткого підходу, що сприяє підвищенню криптостійскості алгоритму. На основі формування нечітких представлень і формалізації нечітких операцій вибору за кількісними 124 атрибутами узагальнено поняття нечітких баз даних для обробки слабоформалізованої інформації. Сформульовано розширення синтаксису та семантики мови C для реалізації програмних засобів нечіткого моделювання. Отримані результати дозволили обгрунтувати методику застосування трикутних нечітких чисел у вигляді інтервалів, межі яких вибираються з елементів спеціальних послідовностей простих чисел. Запропоновано поняття складених нечітких чисел трикутного вигляду, що узагальнюють застосування нечітких чисел. Досліджено їх властивості, сформульовано поняття відстані між довільними складеними нечіткими числами на основі побудови множин рівня спеціального вигляду, розроблено схему для порівняння відстаней, розв’язано задачу кластеризації за умов подання даних у формі складених нечітких чисел, запропоновано математично обгрунтований декомпозиційний підхід для дослідження поведінки нечітких багатомірних систем, що функціонують в умовах невизначеності. Послідовно розглянуто моделі, властивості розв’язків та неперерервність розв’язків нечітких різницевих систем, стани яких описуються за допомогою складених нечітких чисел. Запропоновано підхід, що базується на декомпозиції систем на підсистеми. Сформульовано і доведено твердження про адекватність поведінки розв’язків вихідної системи та отриманих нечітких підсистем. Отримані результати були використані для розв’язання задачі фільтрації зображень, зміст якої полягає у поліпшенні якості вихідного зображення. Запропоновано модифікацію методики на основі алгоритмів лінійної фільтрації сукупності проекцій зображення у вигляді піраміди. Для покращення результатів фільтрації проекцій пропонується застосувати нечітке подання розмірів апертури за допомогою інтервального представлення нечітких трикутних цілих чисел. Отримане при цьому підвищення обчислювальної складності методів фільтрації компенсується покращенням якості отриманих відгуків реальних зображень.