Клімчук Тарас Володимирович Контактна вза­ємодія пружної смуги з півнескінченними штампами

brief description

Клімчук Тарас Володимирович, провідний інже- нер-математик науково-дослідного сектору механіки спряжених хвильових полів Київського національного університету імені Тараса Шевченка: «Контактна вза­ємодія пружної смуги з півнескінченними штампами» (01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла). Спецрада К 26.001.21 у Київському національному уні­верситеті імені Тараса Шевченка

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Кваліфікаційна наукова
праця на правах рукопису
Клімчук Тарас Володимирович
УДК 539.3
ДИСЕРТАЦІЯ
Контактна взаємодія пружної смуги
з півнескінченними штампами
01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла
Подається на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук
Дисертація містить результати власних досліджень. Використання ідей,
результатів і текстів інших авторів мають посилання на відповідне джерело
Т. В. Клімчук
Науковий керівник
Острик Володимир Іванович
доктор фізико-математичних наук, професор
Київ – 2018

ЗМІСТ
ВСТУП 14
Розділ 1 ОГЛЯД ЛІТЕРАТУРИ 19
Розділ 2 ЗАДАЧІ ГЛАДКОГО КОНТАКТУ ДЛЯ ПРУЖНОЇ СМУГИ 36
2.1 Побудова розв’язку основної мішаної задачі для пружної смуги .. 36
2.2 Вдавлювання півнескінченного штампа із заокругленим краєм
у пружну смугу ……………………………………………………... 42
2.2.1 Постановка задачі ……………………………….…………… 42
2.2.2 Інтегральне рівняння задачі …….…………………………… 43
2.2.3 Розв’язання інтегрального рівняння .……………………….. 46
2.2.4 Визначення напружень та переміщень ..…………………… 52
2.2.5 Результати обчислень .………………………………………. 54
2.3 Контактна взаємодія двох півнескінченних штампів та пружної
смуги ...…………………………………………….....……………… 58
2.3.1 Постановка задачі ……………………………………………. 58
2.3.2 Інтегральне рівняння задачі .…….………………………….. 59
2.3.3 Розв’язання інтегрального рівняння ……………………… 60
2.3.4 Визначення напружень та переміщень ..……………………. 65
2.3.5 Розтяг пружної смуги з тріщиною .…………………………. 67
2.3.6 Результати обчислень ….……………………………………. 67
2.4 Висновки до розділу ...……………………………………………… 70
12
Розділ 3 ЗАДАЧІ КОВЗНОГО КОНТАКТУ ДЛЯ ПРУЖНОЇ СМУГИ 72
3.1 Контактна взаємодія півнескінченного штампа та пружної
смуги ………………………………………………………………… 72
3.1.1 Постановка задачі …..…………..……………………………. 72
3.1.2 Інтегральне рівняння задачі …....……………………………. 73
3.1.3 Розв’язання інтегрального рівняння …….………………….. 74
3.1.4 Визначення напружень та переміщень ...…………………… 77
3.1.5 Результати обчислень …….…………………………………. 77
3.2 Контактна взаємодія півнескінченного штампа із заокругленим
краєм та пружної смуги …………………...……………………….. 81
3.2.1 Постановка задачі ….………………………………………… 81
3.2.2 Інтегральне рівняння задачі ….……………………………… 82
3.2.3 Розв’язання інтегрального рівняння …..……………...…….. 83
3.2.4 Визначення напружень та переміщень ...…………………… 86
3.2.5 Результати обчислень ……..…………………………………. 87
3.3 Контактна взаємодія двох півнескінченних штампів та пружної
смуги ……………………………………………….....……………… 91
3.3.1 Постановка задачі …..…………..……………………………. 91
3.3.2 Інтегральне рівняння задачі …....……………………………. 93
3.3.3 Розв’язання інтегрального рівняння ….…………………….. 95
3.3.4 Визначення напружень та переміщень ...…………………… 99
13
3.3.5 Результати обчислень ..……..……………………………… 100
3.4 Висновки до розділу ……………………………………………….. 103
Розділ 4 КОНТАКТ ПІВНЕСКІНЧЕННОГО ШТАМПА ТА ПРУЖ –
НОЇ СМУГИ З УРАХУВАННЯМ ТЕРТЯ І ЗЧЕПЛЕННЯ 105
4.1 Постановка задачі ….……………………………………………….. 105
4.2 Система інтегральних рівнянь задачі .…………………………….. 106
4.3 Розв’язання системи інтегральних рівнянь ……………………….. 107
4.4 Визначення напружень та переміщень ..………………………….. 113
4.5 Результати обчислень ..…………………………………………….. 115
4.6 Висновки до розділу …….………………………………………….. 116
ВИСНОВКИ 118
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ 119
ДОДАТОК 136
Список опублікованих праць …………………………………………… 136
Апробація результатів дисертації ………………………………………. 137
14
ВСТУП
Актуальність теми. При контактній взаємодії деталей машин і
механізмів, елементів конструкцій поширеним є випадок контакту протяжних
твердих тіл, якими є пластини, покриття, фундаменти тощо. У двовимірному
випадку такий контакт моделюється взаємодією пружної смуги з жорстким
штампом, який вдавлюється в її межу. Якщо область контакту є значно
більшою за ширину пружної смуги, скінченний штамп замінюється
півнескінченним. Визначення напружено-деформованого стану всередині смуги
та на її межі дає змогу провести розрахунки на міцність контактуючих тіл,
оцінити рівень зносу їхніх поверхонь. Тому побудова розв’язків контактних
задач для пружної смуги є важливою науковою задачею.
На сьогоднішній день контактні задачі для пружної смуги досліджені в
основному у випадку гладкого контакту, тобто без урахування сил тертя.
Переважна більшість отриманих для таких задач розв’язків є наближеними. Для
коректного моделювання реальної контактної взаємодії твердих тіл потрібно
враховувати сили тертя, що виникають між контактуючими поверхнями.
Розв’язання таких задач є значно складнішим у порівнянні з задачами гладкого
контакту. У зв’язку з цим, задачі фрикційного контакту для пружної смуги на
сьогодні не є дослідженими в повній мірі. Крім того, при розв’язанні
контактних задач, як правило, знаходяться лише контактні напруження, а іноді
переміщення вільної межі смуги. Недостатньо вивченими залишаються
розподіли напружень всередині смуги.
Дисертаційна робота присвячена розробці методики аналітичного
розв’язання та побудові точних розв’язків контактних задач плоскої теорії
пружності для смуги в умовах гладкого та фрикційного контакту з
півнескінченними штампами. Сформульоване завдання є актуальним для
контактної механіки і важливим з точки зору застосувань у трибології,
біомеханіці, матеріалознавстві, машинобудуванні тощо.
15
Зв’язок з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у відповідності з індивідуальним планом підготовки аспіранта кафедри
теоретичної та прикладної механіки Київського національного університету
імені Тараса Шевченка та в рамках державної бюджетної науково-дослідної
теми № 16БП038-03 “Вирішення прикладних проблем енергетичного
комплексу і транспорту на основі сучасних теоретико-експериментальних
підходів” (номер державної реєстрації 0116U004754) Київського національного
університету імені Тараса Шевченка.
Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є побудова
точних аналітичних розв’язків задач контактної взаємодії пружної смуги з
півнескінченними штампами та визначення на їх основі напруженодеформованого стану як на межі, так і всередині смуги.
Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити такі завдання:
– розробити методику побудови аналітичних розв’язків мішаних крайових
задач теорії пружності для смуги в умовах гладкого та фрикційного контакту
з півнескінченними штампами із застосуванням інтегрального перетворення
Фур’є та методу Вінера – Гопфа;
– знайти аналітичні розв’язки задач гладкого контакту для пружної смуги з
жорстко закріпленою нижньою гранню, коли у верхню грань вдавлюються
один півнескінченний штамп із заокругленим краєм або два півнескінченні
штампи з горизонтальними основами;
– дослідити контактну взаємодію пружної смуги з півнескінченними штампами
у випадку врахування сил тертя в області контакту;
– знайти розв’язок контактної задачі для пружної смуги та півнескінченного
штампа, коли завдяки впливу тертя область контакту поділяється на зони
проковзування та зчеплення.
Об’єктом дослідження є контактна взаємодія між пружною смугою із
жорстко закріпленою нижньою гранню та півнескінченними штампами в
умовах плоскої деформації.
16
Предметом дослідження є розподіли напружень та переміщень у
пружній смузі з жорстко закріпленою нижньою гранню, у верхню грань якої
вдавлюються півнескінченні штампи.
Методи дослідження. У роботі використано метод інтегрального
перетворення Фур’є для знаходження загального розв’язку рівнянь рівноваги,
розв’язку основної мішаної крайової задачі для пружної смуги та для виведення
інтегральних рівнянь контактних задач і подальшого їх зведення до
функціональних рівнянь. За допомогою процедур методу Вінера – Гопфа
отримано розв’язки інтегральних та функціональних рівнянь. Обчислення
інтегралів від мероморфних функцій проведено згідно теорії лишків.
Знаходження коренів трансцендентних рівнянь виконано із використанням
чисельного методу Ньютона та асимптотичного методу.
Достовірність результатів забезпечується використанням строго
обгрунтованих математичних моделей та розв’язанням коректно поставлених
крайових задач теорії пружності. Побудова розв’язків сформульованих задач
здійснювалася за допомогою загальновідомих та апробованих аналітичних
методів. В окремих випадках перевірялася збіжність отриманих результатів із
відомими.
Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, отримані
в дисертації, є такими:
– знайдено точні розв’язки контактних задач для пружної смуги з
півнескінченними штампами як без урахування, так і з урахуванням тертя та
зчеплення в області контакту;
– вперше розглянуто вплив заокруглення краю півнескінченного штампа на
розподіли контактних напружень, напружень на закріпленій грані та
всередині смуги;
– вперше досліджено контактну взаємодію пружної смуги з двома
півнескінченними штампами.
Практичне значення одержаних результатів. Розвинутий в роботі
аналітичний підхід дозволяє визначити розподіли напружень та переміщень у
17
пружній смузі з жорстко закріпленою гранню як без урахування, так і з
урахуванням тертя в області контакту. Отримані результати можуть бути
використані в інженерній практиці для розрахунків на міцність та
зносостійкість шаруватих елементів конструкцій, покриттів, фундаментів тощо.
Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертаційної роботи
отримані здобувачем самостійно. За результатами дисертаційного дослідження
опубліковано п’ять статей, серед яких чотири – у фахових виданнях України,
одна – в іноземному фаховому виданні. Усі наукові статті здобувача опубліковано в співавторстві з науковим керівником, професором В. І. Остриком. В
опублікованих статтях та в дисертаційній роботі в цілому науковому
керівникові належать визначення напрямку досліджень, участь у постановці
задач, вибір методів розв’язання та обговорення отриманих результатів.
Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційного
дослідження доповідалися та обговорювалися на:
– XIII міжнародній науково-практичній конференції студентів, аспірантів та
молодих вчених “Шевченківська весна – 2015” (Київ, 2015);
– III міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми механіки” (Київ, 2015);
– конференції молодих учених “Підстригачівські читання – 2016” (Львів, 2016);
– міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми термомеханіки” (Львів,
2016);
– конференції молодих учених “Підстригачівські читання – 2017” (Львів, 2017);
– IV міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми механіки” (Київ, 2017).
У повному обсязі робота доповідалась і обговорювалась на:
– науковому семінарі кафедри теоретичної та прикладної механіки Київського
національного університету імені Тараса Шевченка під керівництвом проф.
Жука Я. О. (Київ, 2017);
– науковому семінарі кафедри механіки суцільних середовищ Київського
національного університету імені Тараса Шевченка під керівництвом проф.
Лимарченка О. С. (Київ, 2017);
18
– науковому семінарі відділу математичних проблем контактної механіки Інституту прикладних проблем механіки і математики імені Я. С. Підстригача НАН
України під керівництвом с. н. с. Мартиняка Р. М. (Львів, 2017).
Публікації. За результатами дисертаційного дослідження опубліковано
11 наукових праць. З них
– 5 статей [57, 59–61, 157] у фахових виданнях, серед яких 4 статті [57, 59–61]
опубліковано у фахових виданнях України, одна стаття [157] – в іноземному
журналі, включеному до наукометричної бази Scopus;
– 6 тез доповідей на наукових конференціях [53–56, 58, 62].
Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається з анотації,
вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел зі 175
найменувань та додатку. У роботі наведено 13 таблиць та 37 рисунків. Повний
обсяг роботи – 138 сторінок.

bibliography

ВИСНОВКИ
Основні результати дисертаційної роботи є такими:
1. Знайдено точні розв'язки контактних задач для пружної смуги з
півнескінченними штампами як без урахування, так і з урахуванням тертя та
зчеплення в області контакту.
2. Вивчено вплив тертя на розподіли контактних напружень. Показано, що для
коефіцієнта тертя, рівного 0.25, 0.5 та 1, у залежності від напрямку проковзування штампа контактні напруження зменшуються або збільшуються в
порівнянні з гладким контактом до 3.5%, 7.5% та 14% відповідно.
3. Досліджено вплив заокруглення краю півнескінченного штампа на розподіли
контактних напружень, напружень на закріпленій грані та всередині смуги.
Встановлено, що зі збільшенням заокруглення зона підвищених значень максимальних дотичних напружень за відсутності тертя зміщується до середньої
лінії смуги, а за наявності тертя виходить або на закріплену грань, або в область контакту в залежності від напрямку проковзування штампа. Для
коефіцієнта тертя, рівного 0.25, найбільші значення максимальних дотичних
напружень зростають в порівнянні з гладким контактом на 20 – 40% при
різних значеннях параметра заокруглення.
4. Показано, що на відміну від контакту штампа з пружною півплощиною, де
вплив дотичних зусиль на розподіл контактного тиску є незначним, в задачах
для пружної смуги з закріпленою гранню цей вплив є суттєвим. Тому
відомий принцип, за яким при розв'язанні задач фрикційного контакту можна
нехтувати дотичними зусиллями, для тіл скінченних розмірів може
порушуватись і його використання при отриманні наближених розв'язків не є
правомірним.