Ральченко Костянтин Володимирович Стохастичний аналіз та статистич­не оцінювання для дробових і споріднених процесів

brief description

Ральченко Костянтин Володимирович, доцент кафе­дри теорії ймовірностей, статистики та актуарної мате­матики Київського національного університету імені Тараса Шевченка: «Стохастичний аналіз та статистич­не оцінювання для дробових і споріднених процесів» (01.01.05 - теорія ймовірностей та математична статис­тика). Спецрада Д 26.001.37 у Київському національ­ному університеті імені Тараса Шевченка МОН України

Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка
Мiнiстерство освiти i науки України
Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка
Мiнiстерство освiти i науки України
Квалiфiкацiйна наукова
праця на правах рукопису
Ральченко Костянтин Володимирович
УДК 519.21
ДИСЕРТАЦIЯ
Стохастичний аналiз та статистичне
оцiнювання для дробових
i спорiднених процесiв
01.01.05 — теорiя ймовiрностей i математична статистика
Подається на здобуття наукового ступеня
доктора фiзико-математичних наук
Дисертацiя мiстить результати власних дослiджень. Використання iдей, результатiв i текстiв iнших авторiв мають посилання на вiдповiдне джерело.
К. В. Ральченко
Науковий консультант
Мiшура Юлiя Степанiвна,
доктор фiзико-математичних наук, професор
Київ — 2019

Змiст
Вступ 19
1 Огляд лiтератури за темою дисертацiї 44
1.1 Огляд за роздiлом 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.2 Огляд за роздiлом 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.3 Огляд за роздiлом 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.4 Огляд за роздiлом 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.5 Огляд за роздiлом 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2 Попереднi вiдомостi. Деякi стохастичнi моделi з дробовим броунiвським рухом та спорiдненими процесами 51
2.1 Дробовий броунiвський рух . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.1.1 Означення та основнi властивостi . . . . . . . . . . . . . . 51
2.1.2 Оцiнки дробової похiдної . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2 Дробовий процес Орнштейна – Уленбека . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2.1 Коварiацiйна функцiя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2.2 Iмовiрнiсть потрапляння в нуль . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.3 Дробовий процес Кокса – Iнгерсолла – Росса . . . . . . . . . . . . . 68
2.3.1 Дробовий процес Кокса – Iнгерсолла – Росса при H ∈ (2/3, 1) 69
2.3.2 Узагальнення дробового процесу Кокса – Iнгерсолла – Росса
на випадок H ∈ (0, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.4 Стохастичне iнтегрування. Процеси Вольтерра, якi керуються
шумом Левi та мартингальним шумом . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.4.1 Iнтегрування вiдносно процесiв Левi . . . . . . . . . . . . . 73
2.4.2 Приклад процесу Левi як iнтегратора: субординований
вiнерiвський процес . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
15
16
2.4.3 Елементи дробового числення та iснування узагальнених
iнтегралiв Лебега – Стiлтьєса . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.4.4 Умови, за яких процес Y· =
∫ ·
0
д(·,s)dZs є прийнятним (p, α)-
iнтегратором . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3 Мультидробовi та неевклiдовi узагальнення дробових процесiв 106
3.1 Мультидробовий процес Пуассона, мультистiйкий субординатор
та пов’язанi з ними граничнi теореми . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.1.1 Мультистiйкий субординатор i мультидробовий процес
Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.1.2 Граничнi теореми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.2 Неевклiдове узагальнення дробового броунiвського поля . . . . . 117
3.2.1 Норми та зiрковi тiла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.2.2 Дробове броунiвське поле Мiнковського . . . . . . . . . . . 119
3.3 Дробовi пуассонiвськi поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.3.1 Означення та властивiсть масштабування . . . . . . . . . 127
3.3.2 Зв’язок з мультидробовим броунiвським полем Мiновського 128
3.3.3 Збiжнiсть до мультидробового броунiвського поля Мiнковського при H =
1
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.3.4 Iншi конструкцiї дробових пуассонiвських полiв . . . . . 134
3.4 Асимптотичне зростання траєкторiй мультидробового броунiвського руху . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.4.1 Експоненцiйнi максимальнi оцiнки та асимптотичне зростання траєкторiй гауссових процесiв . . . . . . . . . . . . 136
3.4.2 Асимптотичне зростання з iмовiрнiстю 1 мультидробового
броунiвського руху та його приростiв . . . . . . . . . . . . 150
4 Стохастичнi диференцiальнi рiвняння з частинними похiдними 164
4.1 Iснування та єдинiсть м’якого розв’язку дробового рiвняння теплопровiдностi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.1.1 Попереднi вiдомостi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.1.2 Властивостi функцiї Грiна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.1.3 Апрiорнi оцiнки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.1.4 Iснування та єдинiсть м’якого розв’язку . . . . . . . . . . . 185
17
4.2 Iснування та єдинiсть м’якого розв’язку стохастичного рiвняння
теплопровiдностi з бiлим та дробовим шумами . . . . . . . . . . 192
4.2.1 Постановка задачi та основний результат . . . . . . . . . . 193
4.2.2 Допомiжнi твердження . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
4.2.3 Доведення теореми 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5 Оцiнювання параметра зсуву в дифузiйних моделях зi стохастичною волатильнiстю 216
5.1 Асимптотична нормальнiсть дискретизованої оцiнки максимальної вiрогiдностi параметра зсуву в однорiднiй дифузiйнiй моделi 216
5.1.1 Опис моделi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.1.2 Асимптотичнi властивостi оцiнки . . . . . . . . . . . . . . 218
5.1.3 Результати моделювання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5.2 Iснування та єдинiсть розв’язкiв стохастичних диференцiальних
рiвнянь зi стохастичною волатильнiстю . . . . . . . . . . . . . . . 228
5.2.1 Рiвняння з мультиплiкативною стохастичною волатильнiстю 228
5.2.2 Рiвняння з узагальненою стохастичною волатильнiстю . 237
5.3 Оцiнювання параметра зсуву в моделях зi стохастичною волатильнiстю . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
5.3.1 Загальнi результати щодо строгої конзистентностi оцiнок
у дифузiйнiй моделi зi стохастичною волатильнiстю . . . 240
5.3.2 Лiнiйне рiвняння зi стохастичною волатильнiстю . . . . . 244
5.3.3 Процес Орнштейна – Уленбека зi стохастичною волатильнiстю . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
6 Оцiнювання параметра зсуву в дробових i мультидробових моделях 260
6.1 Оцiнювання в однорiднiй дробовiй дифузiйнiй моделi за дискретними спостереженнями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
6.1.1 Оцiнка максимальної вiрогiдностi . . . . . . . . . . . . . . 261
6.1.2 Оцiнки для розв’язку однорiдного стохастичного диференцiального рiвняння, керованого дробовим броунiвським
рухом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
18
6.1.3 Оцiнювання параметра зсуву за дискретними спостереженнями в однорiднiй дробовiй дифузiйнiй моделi . . . . . 270
6.1.4 Моделювання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
6.2 Статистичнi задачi для дробового процесу Орнштейна – Уленбека 281
6.2.1 Оцiнювання параметра зсуву в неергодичному випадку
випадку θ > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
6.2.2 Оцiнки ергодичного типу для випадку θ < 0 . . . . . . . . 290
6.2.3 Перевiрка гiпотез про знак параметра зсуву . . . . . . . . 292
6.3 Оцiнювання параметра зсуву в моделях з мультидробовим броунiвським рухом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
6.3.1 Лiнiйна мультидробова модель . . . . . . . . . . . . . . . . 301
6.3.2 Мультидробовий процес Орнштейна – Уленбека . . . . . 302
6.4 Оцiнки максимальної вiрогiдностi параметра зсуву гауссового
процесу зi стацiонарними приростами . . . . . . . . . . . . . . . . 308
6.4.1 Оцiнка максимальної вiрогiдностi за дискретними спостереженнями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
6.4.2 Оцiнка максимальної вiрогiдностi за неперервними спостереженнями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
Висновки 325
Список використаних джерел 328

bibliography

Висновки
У дисертацiйнiй роботi одержано наступнi результати.
• Для дробового процесу Орнштейна – Уленбека наведено верхню оцiнку для
ймовiрностi потрапляння в нуль за скiнченний час. Як допомiжний результат
одержано формулу для коварiацiйної функцiї цього процесу. Визначено
дробовий процес Кокса – Iнгерсолла – Росса, який є квадратом дробового
процесу Орнштейна – Уленбека до першого моменту потрапляння в нуль.
• За допомогою дробового числення введено потраєкторне iнтегрування вiдносно процесiв Вольтерра, якi керуються шумом Левi або мартингальним
шумом. Встановлено умови iснування iнтеграла в термiнах дробових похiдних
та вивчено його властивостi.
• Введено мультистiйкий субординатор, який узагальнює стiйкий субординатор на випадок змiнного в часi параметра стiйкостi. За його допомогою
означено мультидробовий процес Пуассона. Дослiджено властивостi цих процесiв та встановлено збiжнiсть випадкових блукань з неперервним часом до
мультидробового процесу Пуассона.
• Дослiджено узагальнення дробового броунiвського поля Левi в евклiдовому
просторi, яке базується на замiнi евклiдової норми iншою нормою в ’d
, зокрема виведено критерiй iснування та iнтегральнi зображення. Введена сiм’я
процесiв збiгається з сiм’єю всiх самоподiбних гауссових полiв зi стацiонарними приростами.
• Введено декiлька неевклiдових варiантiв дробового пуассонiвського поля та
показано, що вони мають однакову коварiацiйну структуру з неевклiдовим
дробовим броунiвським полем та збiгаються до нього. Параметри форми
пуассонiвського i броунiвського полiв пов’язанi мiж собою за допомогою
перетворень опуклої геометрiї, а саме: радiального середнього тiла порядку p
та полярного проектування.
325
326
• Одержано асимптотичнi оцiнки з iмовiрнiстю 1 швидкостi зростання траєкторiй мультидробового броунiвського руху та його приростiв. Як допомiжнi
результати, що мають самостiйне значення, одержано асимптотичнi оцiнки з
iмовiрнiстю 1 швидкостi зростання траєкторiй гауссового процесу та деяких
функцiоналiв вiд нього.
• Для певного класу неавтономних параболiчних стохастичних диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними, визначених на обмеженiй пiдмножинi
D ⊂ ’d
i керованих L
2
(D)-значним дробовим броунiвським рухом з iндексом
Хюрста H > 1/2, встановлено новий результат щодо iснування та єдиностi
розв’язку. Аналогiчну теорему отримано для змiшаного стохастичного диференцiального рiвняння з частинними похiдними, яке мiстить звичайний i
дробовий L
2
(D)-значнi броунiвськi рухи.
• Доведено асимптотичну нормальнiсть дискретизованої оцiнки максимальної
вiрогiдностi для параметра зсуву в однорiднiй ергодичнiй дифузiйнiй моделi.
• Доведено теореми iснування та єдиностi для слабких i сильних розв’язкiв
стохастичного диференцiального рiвняння, коефiцiєнт дифузiї якого є функцiєю вiд деякого узгодженого процесу. Побудовано оцiнки параметра зсуву
цього рiвняння методами найменших квадратiв та максимальної вiрогiдностi, встановлено умови строгої консистентностi одержаних оцiнок. Детально
дослiджено декiлька прикладiв таких моделей, зокрема лiнiйну модель та
модель Орнштейна – Уленбека зi стохастичною волатильнiстю.
• Побудовано строго конзистентнi оцiнки невiдомого параметра зсуву в стохастичному диференцiальному рiвняннi, керованому дробовим броунiвським
рухом, якi базуються на дискретних спостереженнях розв’язку такого рiвняння.
• Побудовано оцiнки невiдомого параметра зсуву дробового процесу Орнштейна – Уленбека, якi базуються на дискретних спостереженнях цього процесу.
Розроблено новий метод перевiрки гiпотези про знак параметра зсуву та
доведено консистентнiсть побудованого тесту.
• Побудовано оцiнку методу найменших квадратiв для невiдомого параметра
зсуву в мультидробовiй моделi Орнштейна – Уленбека i встановлено її строгу
консистентнiсть в неергодичному випадку.
• Дослiджено регресiйну модель Xt = θt + Bt
, де θ — невiдомий параметр,
B — центрований гауссiв процес зi стацiонарними приростами. Побудовано
327
оцiнки максимальної вiрогiдностi параметра зсуву θ на основi дискретних
та неперервних спостережень траєкторiї процесу X та доведено їхню строгу
консистентнiсть.