Бучак Христина Василiвна Аналiтичнi властивостi процесiв Пуассона та Скеллама з випадковою замiною часу

brief description

Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка Мiнiстерство освiти i науки України Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка Мiнiстерство освiти i науки України Квалiфiкацiйна наукова праця на правах рукопису Бучак Христина Василiвна УДК 519.21 ДИСЕРТАЦIЯ Аналiтичнi властивостi процесiв Пуассона та Скеллама з випадковою замiною часу 01.01.05 Теорiя ймовiрностей i математична статистика 11 Математика та статистика Подається на здобуття наукового ступеня кандидата фiзикоматематичних наук Дисертацiя мiстить результати власних дослiджень. Використання iдей, результатiв i текстiв iнших авторiв мають посилання на вiдповiдне джерело Х. В. Бучак Науковий керiвник Сахно Людмила Михайлiвна доктор фiзико-математичних наук Київ 2018

ЗМIСТ ВСТУП 10 Роздiл 1. Огляд лiтератури 37 Роздiл 2. Процеси Пуассона з замiною часу 47 2.1. Означення i попереднi вiдомостi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2. Складний Пуассонгамма процес . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.3. Складний Пуассонгамма процес у ролi випадкового часу . . . . 56 2.4. Обернений складний Пуассонгамма процес у ролi випадкового часу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.4.1. Обернений складний Пуассонекспоненцiальний процес . 64 2.4.2. Обернений складний процес ПуассонЕрланга . . . . . . 71 2.5. Моменти досягнення рiвня для процесу Пуассона N1(GN (s)) . . 77 2.6. Моменти виходу за рiвень для процесу Пуассона N1(GN (s)) . . 83 2.7. Висновки до роздiлу 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Роздiл 3. Процеси Пуассона з iтерованою замiною часу 87 3.1. Гаммапроцес, керований процесом Пуассона зi зсувом . . . . . 87 3.2. Iтерованi перетворення Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.2.1. Процеси Пуассона з iтерованою замiною часу Nµ(Xn(t)) . 98 3.3. Висновки до роздiлу 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Роздiл 4. Процеси Скеллама з замiною часу 102 4.1. Означення та попереднi вiдомостi . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.2. Процеси Скеллама, керованi гаммапроцесами . . . . . . . . . . 104 4.3. Складний Пуассонгамма процес у ролi випадкового часу . . . . 110 4.4. Обернений складний Пуассонгамма процес у ролi випадкового часу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 9 4.4.1. Обернений складний Пуассонекспоненцiальний процес . 114 4.4.2. Обернений складний процес ПуассонЕрланга . . . . . . 116 4.5. Висновки до роздiлу 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Роздiл 5. Керуючi рiвняння для розподiлiв процесiв Пуассона та Скеллама з оберненим субординатором 119 5.1. Означення та попереднi вiдомостi . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.2. Процеси Пуассона з замiною часу оберненим субординатором . 123 5.3. Процеси Скеллама з замiною часу оберненим субординатором . 133 5.4. Висновки до роздiлу 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Висновки 137 Список використаних джерел 139 ДОДАТОК 152 Список опублiкованих праць . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Апробацiя результатiв дисертацiї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

bibliography

ВИСНОВКИ Дисертацiйна робота присвячена дослiдженню властивостей процесiв Пуассона та Скеллама з випадковим часом, де в ролi часу використовуються складний Пуассонгамма субординатор та обернений до нього процес. У результатi дослiдження встановлено явний вигляд одновимiрних функцiй розподiлу та системи диферцiальних рiвнянь, яким задовольняють розподiли. Для неоднорiдного процесу Пуассона та процесу Скеллама з замiною часу оберненим субординатором встановлено керуючi рiвняння для їх розподiлiв у термiнах узагальненої похiдної типу згортки у сенсi КапутоДжрбашяна. У дисертацiйнiй роботi отримано наступнi новi науковi результати: — дослiджено рiзнi моделi процесiв Пуассона з випадковою замiною часу та їх розподiли. В ролi часу використовуються складний Пуассон гамма субординатор та обернений до нього процес. Встановлено формули для одновимiрних функцiй розподiлу, моментiв, коварiацiйних функцiй, диференцiальнi рiвняння, яким задовольняють розподiли. Отримано новi класи розподiлiв, що задаються спецiальними функцiями, такими, як узагальнена функцiя Райта та узагальнена трипараметрична функцiя МiттагЛеффлера; — дослiджено моменти досягнення фiксованого рiвня та моменти виходу за рiвень для процесiв Пуассона з замiною часу; — дослiджено розподiли процесiв Пуасона з iтерованою замiною часу. Встановлено формули для одновимiрних функцiй розподiлу та диференцiальнi рiвняння, яким задовольняють розподiли; — дослiджено властивостi процесiв Скеллама з замiною часу, де в ролi часу виступає складний Пуассонгамма субординатор та обернений до нього процес. Встановлено формули для одновимiрних функцiй розподiлу, моментiв, коварiацiйних функцiй; 138 — отримано керуючi рiвняння в термiнах диференцiально згорткових операторiв для розподiлiв неоднорiдних процесiв Пуассона з замiною часу, де в ролi часу виступає обернений субординатор, та обчислено моменти, коварiацiйну функцiю i функцiю розподiлу моментiв досягнення рiвня; — отримано керуючi рiвняння в термiнах диференцiально згорткових операторiв для розподiлiв процесiв Скеллама з замiною часу, де в ролi часу виступають оберненi субординатори.