Жучок Юлія Володимирівна. Відносно вільні тріоїди

brief description

Жучок Юлія Володимирівна. Назва дисертаційної роботи: "Відносно вільні тріоїди"

Міністерство освіти і науки України
Київський національний університет імені Тараса Шевченка
На правах рукопису
ЖУЧОК ЮЛІЯ ВОЛОДИМИРІВНА
УДК 512.579, 512.53
ВІДНОСНО ВІЛЬНІ ТРІОЇДИ
01.01.06 – алгебра і теорія чисел
Дисертація
на здобуття наукового ступеня кандидата
фізико-математичних наук
Науковий керівник –
Кириченко Володимир Васильович,
доктор фізико-математичних наук,
професор
Київ – 2016
2
ЗМІСТ
ВСТУП 4
РОЗДІЛ 1. МНОЖИНИ З БІНАРНИМИ АСОЦІАТИВНИМИ
ОПЕРАЦІЯМИ 26
1.1. Дуплекси та n -кратні напівгрупи 26
1.2. Інтерасоціативність напівгруп 30
1.3. Відносно вільні дімоноїди 35
1.4. Триалгебри 41
Висновки до розділу 1 48
РОЗДІЛ 2. ТРІОЇДИ 49
2.1. Декомпозиції вільних тріоїдів 50
2.2. Вільні n -нільпотентні тріоїди 68
2.3. Вільні прямокутні трисполуки 78
Висновки до розділу 2 90
РОЗДІЛ 3. ВІЛЬНІ ЛІВІ n -ДІНІЛЬПОТЕНТНІ
ДІМОНОЇДИ 92
3.1. Зв’язки дімоноїдів з іншими алгебраїчними
структурами 93
3.2. Будова вільних об’єктів 99
3.3. Найменша ліва n -дінільпотентна конгруенція
на вільному дімоноїді 112
Висновки до розділу 3 117
3
РОЗДІЛ 4. g -ДІМОНОЇДИ 118
4.1. Приклади g -дімоноїдів 119
4.2. Вільні g -дімоноїди 126
4.3. Вільні n -нільпотентні g -дімоноїди 130
4.4. Вільні комутативні g -дімоноїди 135
Висновки до розділу 4 139
ВИСНОВКИ 141
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ 143
4
ВСТУП
Однією з важливих мов для виразу властивостей алгебраїчних систем є
мова тотожностей. Проблематика, пов’язана з вивченням тотожностей,
обумовила формування широкого напряму в алгебрі, який називається теорією
многовидів. Термін ,,многовид” був введений Ф. Холом у 1949 році. Починаючи
з класичної роботи американського математика Г. Біркгофа [1], проводяться
інтенсивні дослідження многовидів алгебраїчних систем. У другій половині
20 ст. теорія многовидів перетворена в один із центральних напрямів сучасної
алгебри. Їй присвячено багато книг та наукових статей (див., наприклад, [2 – 5]).
Многовиди відіграють особливу роль в базах даних – вони пов’язані з важливою в теорії програмування ідеєю типу даних [6]. Сьогодні теорія многовидів
алгебраїчних систем має багату проблематику, розвивається активно й плідно.
Одним із напрямів досліджень теорії многовидів є дослідження вільних
систем у многовидах. Многовиди завжди володіють вільними системами, а
елементи заданого многовиду можна охарактеризувати як гомоморфні образи
вільних систем. Конструкції різних вільних систем можна знайти, наприклад, в
книгах [6 – 8]. Важливими прикладами многовидів є такі класи, як клас усіх
напівгруп, клас усіх груп, клас усіх кілець, клас усіх решіток, клас усіх алгебр
Буля.
Іншим змістовним класом алгебраїчних систем є клас тріоїдів. Тріоїдом
називається непорожня множина з трьома бінарними асоціативними операціями
 , та , які задовольняють вісім аксіом:
( ) = ( ), x y z x y z     ( 1) T
( ) = ( ), x y z x y z     ( 2) T
( ) = ( ), x y z x y z     ( 3) T
( ) = ( ), x y z x y z     ( 4) T
5
( ) = ( ), x y z x y z     ( 5) T
( ) = ( ), x y z x y z     ( 6) T
( ) = ( ), x y z x y z     ( 7) T
( ) = ( ). x y z x y z     ( 8) T
Теорія тріоїдів бере свій початок з основоположної праці Ж.-Л. Лоде та
М. О. Ронко [9] і має широке застосування в теорії триалгебр. Нагадаємо, що
триалгебра є лінійним аналогом тріоїда. Поняття триалгебри та тріоїда виникли
в контексті алгебраїчної топології під час дослідження планарних дерев.
Триалгебри та тріоїди мають зв’язки з алгебрами Хопфа [10], з алгебрами
Лейбніца [11] та з операторами Рота–Бакстера [12]. Триалгебри вивчалися в
роботах Ж.-С. Новеллі і Ж.-І. Тібона [10, 13], Ж. M. Касаса [14], K. Ібрахімі–
Фарда [12]. Першим результатом про тріоїди є опис вільного тріоїда рангу 1 [9].
У [15] вивчаються конгруенції на тріоїдах за допомогою методу напівретракцій.
Деякі найменші конгруенції на тріоїдах з обмеженнями на операції описано в
[16]. Вивчення ендоморфізмів однопороджених вільних тріоїдів здійснено у
роботі [17]. Тріоїди є предметом вивчення оглядової статті [18], вони також
вивчалися у роботах [19 – 23].
Якщо дві конкретні операції триалгебри (тріоїда) збігаються, то
отримуємо поняття діалгебри (дімоноїда) [24]. Нагадаємо, що діалгеброю
називається векторний простір над полем, наділений двома бінарними
білінійними асоціативними операціями  і , які задовольняють аксіоми ( 1) T –
( 3) T . Якщо у визначенні діалгебри замість векторного простору над полем
взяти множину та опустити білінійність операцій  , , то отримуємо поняття
дімоноїда. Поняття діалгебри та дімоноїда були введені Ж.-Л. Лоде під час
вивчення феномену періодичності в алгебраїчній K -теорії. Нагадаємо, що будьяка асоціативна алгебра дає алгебру Лі, якщо покласти [ , ] = x y xy yx  .
Діалгебри пов’язані з алгебрами Лейбніца аналогічно тому як пов’язані між
6
собою асоціативні алгебри і алгебри Лі. Вони є універсальними обгортуючими
для алгебр Лейбніца та вивчалися в роботах різних математиків. Так, в [25]
наведено базис Грьобнера–Ширшова для діалгебр. Многовиди діалгебр
вивчалися в [26, 27]. Діалгебрам та їх зв’язкам з потрійними системами
присвячено роботу [28]. Першим результатом про дімоноїди є опис Ж.-Л. Лоде
вільного дімоноїда [24]. Розвитку теорії дімоноїдних многовидів присвячено
роботи [29 – 37]. Декомпозиції дімоноїдів у дісполуки піддімоноїдів та деякі
найменші конгруенції на дімоноїдах з обмеженнями на операції
охарактеризовано в [29, 31 – 39]. У роботі [40] побудовано вільний добуток
дімоноїдів. У [40, 41] досліджено структурні властивості вільних добутків
дімоноїдів. Нещодавно в [42] було показано, що будь-який дімоноїд ізоморфно
занурюється в деякий дімоноїд, побудований із напівгрупи. Вивченню
властивостей дімоноїдів присвячено монографію [43]. Слід відзначити, що якщо
операції діалгебри (дімоноїда) збігаються, то вона (він) перетворюється в
асоціативну алгебру (напівгрупу). Таким чином, діалгебри (дімоноїди)
узагальнюють асоціативні алгебри (напівгрупи).
О. П. Пожидаєв [44] і П. С. Колесников [26] розглянули поняття 0-
діалгебри, тобто векторного простору над полем, наділеного двома бінарними
операціями  і , які задовольняють аксіоми: ( ) = ( ) , x y z x y z    
x y z x y z     ( ) = ( ) . Це поняття пов’язано з асоціативними діалгебрами [24]
та з алгебрами Рота–Бакстера [44]. Поняття асоціативної 0-діалгебри [44], тобто
0-діалгебри з двома бінарними асоціативними операціями  і , є лінійним
аналогом поняття узагальненого дімоноїда (або просто g -дімоноїда для
стислості), розглянутого в [45]. Для того, щоб отримати g -дімоноїд, необхідно
опустити аксіому ( 2) T внутрішньої асоціативності у визначенні дімоноїда. Клас
усіх g -дімоноїдів утворює многовид. Вільний g -дімоноїд нещодавно був
7
побудований в [45]. Зрозуміло, що всі результати, отримані для g -дімоноїдів,
можуть бути застосовані до асоціативних 0-діалгебр.
Теорія многовидів тріоїдів, дімоноїдів та g -дімоноїдів, з одного боку,
може бути розглянута як одна з природних та важливих частин загальної теорії
многовидів алгебраїчних систем та, з іншого боку, мова многовидів є потужним
засобом вивчення й класифікації тріоїдів, дімоноїдів та g -дімоноїдів.
Додатковий інтерес викликає зіставлення окремих питань про тріоїдні,
дімоноїдні ( g -дімоноїдні) многовиди з відповідними фактами для таких
алгебраїчних систем як напівгрупи.
Актуальність теми дисертаційної роботи обумовлена проблемами теорії
многовидів тріоїдів, дімоноїдів та g -дімоноїдів, до яких відносяться проблеми
класифікації підмноговидів в многовидах тріоїдів, дімоноїдів і g -дімоноїдів та
опису вільних об’єктів у заданих многовидах. Разом з тим принциповий інтерес
представляють питання дослідження структурних та факторизаційних
властивостей побудованих відносно вільних алгебр.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами.
Дисертаційні дослідження проводилися на кафедрі геометрії, топології і
динамічних систем механіко-математичного факультету Київського
національного університету імені Тараса Шевченка як частина науководослідної теми „Застосування алгебро-геометричних методів у теоріях груп,
напівгруп, кілець, зображень до задач прикладної алгебри та захисту
інформації” (номер державної реєстрації 0111U005264) та на кафедрі алгебри та
системного аналізу Навчально-наукового інституту фізики, математики та
інформаційних технологій Державного закладу «Луганський національний
університет імені Тараса Шевченка» в рамках науково-дослідної теми
„Напівгрупи та структурні властивості дімоноїдів” (номер державної реєстрації
0115U000199).
8
Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є побудова вільних
об’єктів в деяких многовидах тріоїдів, дімоноїдів і g -дімоноїдів та вивчення їх
структурних і факторизаційних властивостей. Основними задачами при цьому
є:
 класифікація декомпозицій вільних тріоїдів у трисполуки підтріоїдів
та характеризація деяких найменших конгруенцій на вільному
тріоїді;
 побудова вільного n -нільпотентного тріоїда, вільної прямокутної
трисполуки та дослідження їх структурних і факторизаційних
властивостей;
 характеризація найменшої лівої (правої) n -дінільпотентної
конгруенції на вільному дімоноїді;
 побудова g -дімоноїда, ізоморфного вільному g -дімоноїду,
вільного n -нільпотентного g -дімоноїда, вільного комутативного
g -дімоноїда, а також характеризація найменшої n -нільпотентної
конгруенції на вільному g -дімоноїді;
 побудова нових класів тріоїдів, дімоноїдів та g -дімоноїдів.
Об’єктом дослідження є тріоїди, дімоноїди та g -дімоноїди.
Предметом дослідження є структура та властивості тріоїдів, дімоноїдів і
g -дімоноїдів.
Методи дослідження – загальноалгебраїчні з використанням основних
методів теорії напівгруп, теорії дімоноїдів, метод декомпозиції.
Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації отримано такі
нові теоретичні результати:
1. Наведено декомпозиції вільних тріоїдів у трисполуки і сполуки
підтріоїдів, охарактеризовано найменшу ліву ідемпотентну, найменшу
9
праву ідемпотентну, найменшу прямокутну, найменшу n -нільпотентну
та найменшу трипрямокутну конгруенції на вільному тріоїді.
2. Побудовано вільний n -нільпотентний тріоїд та в термінах введеного
поняття 0-трисполуки підтріоїдів описано його структуру.
3. Побудовано вільну прямокутну трисполуку, описано її структурні
властивості та охарактеризовано деякі найменші конгруенції на ній.
4. Представлено найменшу ліву (праву) n -дінільпотентну конгруенцію на
вільному дімоноїді.
5. Побудовано g -дімоноїд, який є ізоморфним вільному g -дімоноїду,
вільний n -нільпотентний g -дімоноїд та охарактеризовано найменшу
n -нільпотентну конгруенцію на вільному g -дімоноїді.
6. Побудовано вільний комутативний g -дімоноїд та наведено численні
приклади g -дімоноїдів.
7. Наведено нові приклади нільпотентних тріоїдів, прямокутних
трисполук та дімоноїдів.
Отримані результати доповнюють результат Ж.-Л. Лоде та М. О. Ронко
про вільні тріоїди рангу 1, розвивають добре відомі результати теорії напівгруп
про будову вільної n -нільпотентної напівгрупи, вільної прямокутної сполуки,
вільної комутативної напівгрупи, а також роблять значний внесок у теорію
многовидів алгебраїчних систем.
Теоретичне та практичне значення одержаних результатів. Усі
результати дисертації є новими. Результати роботи мають теоретичне значення
як такі, що є внеском у подальший розвиток теорії многовидів триалгебр та
тріоїдів, теорії многовидів дімоноїдів та g -дімоноїдів. Вони можуть бути
застосовані до вивчення будови різних класів триалгебр, тріоїдів, діалгебр,
дімоноїдів, g -дімоноїдів і напівгруп.
10
Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації, які
виносяться на захист, отримані автором особисто. У роботах, опублікованих у
співавторстві, особистий внесок здобувача полягає в наступному: у роботі [46] –
характеризація найменшої лівої (правої) n -дінільпотентної конгруенції на
вільному дімоноїді; у роботі [47] – побудова вільного комутативного g -
дімоноїда та отримання нового прикладу g -дімоноїда.
Апробація результатів дисертації. Результати дисертації оприлюднено
на:
 Науково-практичній конференції викладачів і студентів кафедри
загальної математики Луганського національного університету імені
Тараса Шевченка (м. Луганськ, квітень, 2014);
 Міжнародній конференції «Алгебра и математическая логика: теория
и приложения» (м. Казань, Росія, червень, 2014);
 Міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій 100-річчю
Л. А. Калужніна (м. Київ, липень, 2014);
 Міжнародній конференції «Мальцевские чтения», присвяченій
75-річчю Ю. Л. Єршова (м. Новосибірськ, Росія, травень, 2015);
 XIII Міжнародній конференції «Алгебра, теория чисел и дискретная
геометрия: современные проблемы и приложения», присвяченій
85-річчю з дня народження професора С. С. Ришкова (м. Тула, Росія,
травень, 2015);
 X Міжнародній алгебраїчній конференції в Україні, присвяченій
70-річчю Ю. А. Дрозда (м. Одеса, серпень, 2015);
 Міжнародній науковій конференції «Дискретная математика, алгебра
и их приложения», присвяченій сторіччю з дня народження академіка
Д. А. Супруненка (м. Мінськ, Республіка Білорусь, вересень, 2015);
11
 Алгебраїчному семінарі Інституту математики факультету
природничих наук Університету Павла Йозефа Шафарика (м. Кошице,
Словацька Республіка, березень, 2016);
 Алгебраїчному семінарі факультету гуманітарних та природничих
наук Пряшівського університету в Пряшові (м. Пряшів, Словацька
Республіка, березень, 2016);
 Алгебраїчному семінарі Київського національного університету імені
Тараса Шевченка (м. Київ, вересень, 2016);
 Алгебраїчному семінарі Луганського національного університету імені
Тараса Шевченка (м. Старобільськ, 2014 – 2016 рр.).
Публікації. Публікацію основних результатів дисертації здійснено у 6
статтях у фахових наукових виданнях [46 – 51] (3 статті в наукових виданнях
України, з яких 2 входять до міжнародних наукометричних баз даних; 3 статті в
іноземних наукових виданнях, з яких 2 входять до міжнародних
наукометричних баз даних) та 7 тезах наукових конференцій [52 – 58].
Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу,
чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг
дисертації складає 151 сторінку, з яких основний зміст дисертації викладено на
142 сторінках, список використаних джерел містить 100 найменувань та займає
9 сторінок.
У першому розділі ,,Множини з бінарними асоціативними
операціями” подається огляд результатів за темою дисертації.
У підрозділі 1.1. ,,Дуплекси та n -кратні напівгрупи” містяться
визначення дуплексу, n -кратної напівгрупи та n -кратної алгебри асоціативного
типу. Побудовано вільний дуплекс за допомогою планарних дерев. Розглянуто
кілька дуплексів з додатковими умовами, а також наведено приклад n -кратної
12
алгебри асоціативного типу. Матеріал цього підрозділу базується на результатах
Т. Пірашвілі [59] та М. Корешкова [60].
У підрозділі 1.2. ,,Інтерасоціативність напівгруп” визначено поняття
інтерасоціативності, сильної інтерасоціативності, P-зв’язаних напівгруп.
Охарактеризовано всі інтерасоціативності моногенної напівгрупи та вільної
комутативної напівгрупи, вказано необхідні та достатні умови, за якими дві
інтерасоціативності моногенної напівгрупи (вільної комутативної напівгрупи) є
ізоморфними. Результати цього підрозділу базуються на результатах Б. Гівенса,
К. Лінтона, А. Росіна, Л. Дішмана [61], М. Гоулда, К. Лінтона, А. Нельсона [62],
О. Б. Горбаткова [63], Є. Хьюіта і Х. Цукермана [64].
У підрозділі 1.3. ,,Відносно вільні дімоноїди” введено поняття
дімоноїду, розглянуто вільний дімоноїд, введений Ж.-Л. Лоде та побудовано
дімоноїд, ізоморфний вільному дімоноїді. Крім того, побудовано вільний
комутативний дімоноїд, вільний прямокутний дімоноїд та наведено декілька
відносно вільних дімоноїдів з ідемпотентними операціями. Матеріал цього
підрозділу базується на результатах, отриманих у роботах Ж.-Л. Лоде [24] та
А. В. Жучка [29, 30, 35].
У підрозділі 1.4. ,,Триалгебри”, який базується на результатах,
отриманих у роботі Ж.-Л. Лоде та М. О. Ронко [9], наведено поняття
асоціативної діалгебри, асоціативної триалгебри, асоціативного тріоїду.
Побудовано конструкції вільної асоціативної триалгебри та вільного тріоїду
ранга 1 і розглянуто приклади асоціативних триалгебр.
Другий розділ ,,Тріоїди” присвячено вивченню структурних та
факторизаційних властивостей відносно вільних тріоїдів.
У підрозділі 2.1. ,,Декомпозиції вільних тріоїдів” розглянуто
конструкцію вільного тріоїду та наведено декомпозиції вільних тріоїдів у
трисполуки і сполуки підтріоїдів. Введено поняття прямокутної трисполуки та
13
наведено приклади прямокутних трисполук. Охарактеризовано найменшу
прямокутну конгруенцію, найменшу ліву ідемпотентну конгруенцію і
найменшу праву ідемпотентну конгруенцію на вільному тріоїді.
Нагадаємо, що непорожня множина T , наділена трьома бінарними
асоціативними операціями ,  і , які задовольняють аксіоми ( 1) T –( 8) T ,
називається тріоїдом. Тріоїд ( , , , ) T    називається ідемпотентним тріоїдом або
трисполукою [23], якщо напівгрупи ( , ) T  , ( , ) T  і ( , ) T  є ідемпотентними.
Тріоїд ( , , , ) T    називається прямокутною трисполукою, якщо напівгрупи
( , ) T  , ( , ) T  і ( , ) T  є прямокутними сполуками.
Побудуємо вільний тріоїд.
Нехай X – довільна непорожня множина, X x x X = { | }  , Y X X =  і
F Y[ ] – вільна напівгрупа на Y . Нехай далі P F Y  [ ] – піднапівгрупа, яка
містить слова w з елементами x ( ) x X  , які з’являються в w принаймні один
раз. Для кожного w P  через w позначимо слово, отримане з w шляхом заміни
всіх літер x ( ) x X  на x . Визначимо операції ,  і  на множині P за
правилами:
  w u wu w u wu w u wu   = , = , = 
для всіх w u P ,  . Алгебру ( , , , ) P    позначимо через Frt X( ). Згідно з
твердженням п. 2.1.1 Frt X( ) – вільний тріоїд.
Якщо 1 2 f T T :  – гомоморфізм тріоїдів, то відповідну конгруенцію на T1
будемо позначати через  f
.
Розглянемо поняття трисполуки підтріоїдів [23].
Нехай S – довільний тріоїд, J – деяка трисполука і нехай
  : : S J x x   – гомоморфізм. Тоді кожен клас конгруенції 
є підтріоїдом
тріоїда S, а сам тріоїд S є об’єднанням таких тріоїдів S J ,
   , що
14
= = = { | ( , ) } x
x x S t S x t          
,
S S S S S S ,
              ,
S S S S S      
, =         
.
У цьому випадку говорять, що S розкладається в трисполуку підтріоїдів (або S
є трисполукою J підтріоїдів S J ( ) 
  ). Якщо J – напівгрупа ідемпотентів
(сполука), то кажуть, що S є сполукою J підтріоїдів S J ( ) 
  . Якщо J є
комутативною сполукою, то говорять, що S – напіврешітка J підтріоїдів
S J ( ) 
  .
Через  позначатимемо множину всіх натуральних чисел.
Нехай = {1,2,..., } n
I n , n > 1, і нехай { }i i I
n
X 
– сім’я довільних непорожніх
множин , X i I i n  . Визначимо операції ,  і  на
2 k
i
i I
X  
, де k  , поклавши
1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 ( , ,..., ) ( , ,..., ) = ( , ,..., , ) k k k k x x x y y y x x x y  
,
1 2 2 1 2 2 1 2 2 ( , ,..., ) ( , ,..., ) = ( , ,..., ) k k k x x x y y y x y y  ,
1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 ( , ,..., ) ( , ,..., ) = ( , ,..., , ,..., ) k k k k k x x x y y y x x x y y  
для всіх
2
1 2 2 1 2 2 ( , ,..., ),( , ,..., )
k
k k i i I
x x x y y y X 
 . Згідно з лемою п. 2.1.5 алгебра
2
( , , , )
k
i
i I
X      є прямокутною трисполукою. Тріоїд 4
( , , , ) X    позначимо
через FRT X( ) .
Визначимо операції ,  і  на 3 X за правилами:
1 1 1 2 2 2 1 1 1 ( , , ) ( , , ) = ( , , ) a b c a b c a b c  ,
1 1 1 2 2 2 1 2 2 ( , , ) ( , , ) = ( , , ) a b c a b c a b c  ,
1 1 1 2 2 2 1 1 2 ( , , ,) ( , , ) = ( , , ) a b c a b c a b c 
для всіх 3
1 1 1 2 2 2 ( , , ),( , , ) a b c a b c X  . Згідно з лемою п. 2.1.2 алгебра 3
( , , , ) X    є
прямокутною трисполукою. Позначатимемо її через Xlz rd ,
.
Визначимо операції ,  і  на 3 X , поклавши
15
1 1 1 2 2 2 1 1 2 ( , , ) ( , , ) = ( , , ) a b c a b c a b c  ,
1 1 1 2 2 2 2 2 2 ( , , ) ( , , ) = ( , , ) a b c a b c a b c  ,
1 1 1 2 2 2 1 2 2 ( , , ,) ( , , ) = ( , , ) a b c a b c a b c 
для всіх 3
1 1 1 2 2 2 ( , , ),( , , ) a b c a b c X  . Згідно з лемою п. 2.1.3 алгебра 3
( , , , ) X    є
прямокутною трисполукою. Позначимо її через Xrd rz ,
.
Визначимо операції ,  і  на 2 X за правилами:
1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 ( , ) ( , ) = ( , ), ( , ) ( , ) = ( , ) a b a b a b a b a b a b   ,
1 1 2 2 1 2 ( , ) ( , ) = ( , ) a b a b a b 
для всіх 2
1 1 2 2 ( , ),( , ) a b a b X  . Згідно з лемою п. 2.1.4 алгебра 2
( , , , ) X    є
прямокутною трисполукою. Позначатимемо її через ,
rb Xlz rz .
Нехай   F Y[ ] і w Frt X  ( ). Позначимо першу (відповідно, останню)
літеру слова  через (0)  (відповідно,
(1)  ). Припустимо, що u – початкове
(відповідно, кінцеве) підслово слова w мінімальної довжини таке, що (1) u X 
(відповідно,
(0) u X  ). У цьому випадку (1)
u (відповідно, (0)
u ) будемо позначати
через [0] w (відповідно,
[1] w ). Для кожного  F Y[ ] множину всіх літер, що
входять в , будемо позначати через c( )  і для кожного w Frt X  ( ) покладемо
 c w c w ( ) = ( ) 
.
Візьмемо довільну непорожню скінченну підмножину C з X . Нехай
( ) C
B X – множина всіх скінченних підмножин A з X таких, що C A  , а
( ) B X C
– напіврешітка, визначена на ( ) C B X за допомогою операції теоретикомножинного об’єднання. Нехай далі i j k s X , , ,  ,
M i j k s i j k i j k i j = {( , , , ), ( , , ), [ , , ], [ , ]}
і
 
(0) (1) [0] [1]
( , , , ) = { ( ) | ( , , , ) = ( , , , )} U w Frt X w w w w i j k s i j k s  ,
16

(0) [0] [1]
( , , ) = { ( ) | ( , , ) = ( , , )} U w Frt X w w w i j k i j k  ,

(1) [0] [1]
[ , , ] = { ( ) | ( , , ) = ( , , )} U w Frt X w w w i j k i j k  ,
[0] [1]
[ , ] = { ( ) | ( , ) = ( , )} U w Frt X w w i j i j  .
Для будь-якого l M покладемо *
l – множина, що містить всі
компоненти l . Розглянемо множину = { | ( ) = }, A U w U c w A l l   де *
( )
l
A B X  і
l M .
Наступна структурна теорема дає декомпозиції вільного тріоїда Frt X( ) у
трисполуки підтріоїдів.
Теорема (п. 2.1.6). Нехай Frt X( ) – вільний тріоїд. Мають місце такі
твердження:
(i) Frt X( ) є трисполукою FRT X( ) підтріоїдів U( , , , ) i j k s , ( , , , ) ( ) i j k s FRT X  .
Кожен тріоїд U( , , , ) i j k s , ( , , , ) ( ) i j k s FRT X  , є напіврешіткою *
( , , , )
( )
i j k s
B X
підтріоїдів ( , , , )
A U i j k s , *
( , , , )
( )
i j k s
A B X  ;
(ii) Frt X( ) є трисполукою Xlz rd , підтріоїдів U( , , ) i j k ,
,
( , , ) lz rd i j k X  . Кожен
тріоїд U( , , ) i j k ,
,
( , , ) lz rd i j k X  , є напіврешіткою *
( , , )
( )
i j k
B X підтріоїдів ( , , )
A U i j k ,
*
( , , )
( )
i j k
A B X  ;
(iii) Frt X( ) є трисполукою Xrd rz , підтріоїдів U[ , , ] i j k ,
,
( , , ) rd rz i j k X  . Кожен
тріоїд U[ , , ] i j k ,
,
( , , ) rd rz i j k X  , є напіврешіткою *
[ , , ]
( )
i j k
B X підтріоїдів [ , , ]
A U i j k ,
*
[ , , ]
( )
i j k
A B X  ;
(iv) Frt X( ) є трисполукою ,
rb Xlz rz підтріоїдів U[ , ] i j ,
,
( , ) rb
lz rz i j X  . Кожен
тріоїд U[ , ] i j ,
,
( , ) rb
lz rz i j X  , є напіврешіткою *
[ , ]
( )
i j
B X підтріоїдів [ , ]
A U i j ,
*
[ , ]
( )
i j
A B X  .
17
У пунктах 2.1.7 та 2.1.8 описано інші декомпозиції вільного тріоїда у
трисполуки підтріоїдів. Теорема п. 2.1.9 описує декомпозиції вільного тріоїда у
сполуки підтріоїдів.
Результати підрозділу 2.2. ,,Вільні n -нільпотентні тріоїди” розвивають
теорію многовидів тріоїдів. У цьому підрозділі введено поняття n -
нільпотентного тріоїда, побудовано вільний n -нільпотентний тріоїд і описано
його структуру. Також охарактеризовано найменшу n -нільпотентну
конгруенцію на вільному тріоїді і наведено приклади нільпотентних тріоїдів
індексу нільпотентності 2 .
Елемент 0 тріоїда ( , , , ) T    називається нулем, якщо x x   0 = 0 = 0 для
всіх x T  і      { , , }. Тріоїд ( , , , ) T    з нулем називатимемо нільпотентним,
якщо для деякого n і будь-яких i
x T  , 1 1    i n , і { , , } j
     , 1 j n,
будь-яка розстановка дужок у 1 1 2 2 1 n n x x x     
дає 0T . Найменше серед
таких n будемо називати індексом нільпотентності тріоїда ( , , , ) T    . Для
k  нільпотентний тріоїд індексу нільпотентності  k будемо називати k -
нільпотентним.
Клас усіх n -нільпотентних тріоїдів є підмноговидом многовиду тріоїдів.
Тріоїд, який є вільним у многовиді n -нільпотентних тріоїдів, називатимемо
вільним n -нільпотентним тріоїдом.
Нехай A – довільна непорожня множина і нехай  – довільне слово в
алфавіті A. Довжину слова  позначимо через l
.
Нехай n і P P n  – множина, яка містить слова w з довжиною не
більше, ніж n (див. п. 2.1.1). Визначимо операції  ,  і  на множині {0} Pn 
за правилами:
  , , , ,
= =
0, > , 0, > ,
wu wu
wu wu
wu l n wu l n
w u w u
l n l n
           
 
18
, ,
= 0 = 0 = 0 0 = 0
0, > ,
wu
wu
wu l n
w u w w
l n
 
    

для всіх , w u P  n
і   { , , }   . Алгебру ( {0}, , , ) Pn     позначимо через
0
( ) P X n
.
Основним результатом підрозділу 2.2 є наступна теорема.
Теорема (п. 2.2.3). 0
( ) P X n
– вільний n -нільпотентний тріоїд.
У п. 2.2.4 введено поняття 0-трисполуки підтріоїдів, яке узагальнює
поняття 0-дісполуки піддімоноїдів і поняття 0-сполуки напівгруп. Теореми
п. 2.2.4 та пп. 2.2.5, 2.2.6 описують декомпозиції вільного n -нільпотентного
тріоїда в 0-сполуки підтріоїдів та, відповідно, в 0-трисполуки підтріоїдів.
У підрозділі 2.3. ,,Вільні прямокутні трисполуки” побудовано вільну
прямокутну трисполуку, описано її структуру і групу автоморфізмів, а також
охарактеризовано найменшу ліву ідемпотентну конгруенцію, найменшу праву
ідемпотентну конгруенцію, найменшу прямокутну конгруенцію і найменшу
напівструктурну конгруенцію на вільній прямокутній трисполуці. Крім цього,
представлено найменшу трипрямокутну конгруенцію на вільному тріоїді.
Клас усіх прямокутних трисполук є підмноговидом многовиду тріоїдів.
Тріоїд, який є вільним у многовиді прямокутних трисполук, називатимемо
вільною прямокутною трисполукою.
Основним результатом підрозділу 2.3 є наступна теорема.
Теорема (п. 2.3.1). FRT X( ) – вільна прямокутна трисполука.
Теореми пп. 2.3.4, 2.3.6, 2.3.7 дають декомпозиції тріоїда FRT X( ) в
сполуки підтріоїдів, відповідно, в трисполуки піднапівгруп та в трисполуки
підтріоїдів.
У третьому розділі ,,Вільні ліві n -дінільпотентні дімоноїди” введено
до розгляду ліві (праві) n -дінільпотентні дімоноїди, які є аналогами
нільпотентних зліва (справа) напівгруп рангу n , розглянутих Б. М. Шайном
19
[65]. Розв’язано проблему побудови вільного лівого (правого) n -
дінільпотентного дімоноїда та охарактеризовано найменшу ліву (праву) n -
дінільпотентну конгруенцію на вільному дімоноїді. Крім того,
охарактеризовано групу автоморфізмів вільного лівого (правого) n -
дінільпотентного дімоноїда.
У підрозділі 3.1. ,,Зв’язки дімоноїдів з іншими алгебраїчними
структурами” розглянуто зв’язки між дімоноїдами і рестриктивними
бінапівгрупами, між комутативними дімоноїдами і інтерасоціативністю та
сильною інтерасоціативністю напівгрупи. Введено поняття лівого (правого) n -
дінільпотентного дімоноїда.
Нагадаємо, що дімоноїдом називається непорожня множина з двома
бінарними асоціативними операціями  і , які задовольняють аксіоми ( 1) T –
( 3) T .
Через  позначимо сигнатуру дімоноїда, тобто   { , }  . Нехай
1
, , n
x x  – індивідуальні змінні. Через 1
( , , ) T x x  n
будемо позначати множину
термів алгебр сигнатури , які мають вигляд 1 1 1 n n x x 
   з розстановкою
дужок, де 1 1 , ,   n . Дімоноїд ( , , ) D   будемо називати лівим
дінільпотентним, якщо для деякого n, будь-якого x D та будь-якого
1 1 ( , , ) ( , , )
n n
t x x T x x    мають місце наступні тотожності:
1 1 ( , , ) = ( , , )
n n
t x x x t x x    ,
1 1 ( , , ) = n n
t x x x x x      .
Найменше серед таких n будемо називати індексом лівої дінільпотентності
дімоноїда ( , , ) D   . Для k  лівий дінільпотентний дімоноїд з індексом лівої
дінільпотентності  k будемо називати лівим k -дінільпотентним.
Двоїстим чином визначається правий k -дінільпотентний дімоноїд.
У підрозділі 3.2. ,,Будова вільних об’єктів” побудовано вільний лівий
n -дінільпотентний дімоноїд довільного рангу та окремо розглянуто вільні ліві

bibliography

ВИСНОВКИ
У роботі побудовано вільні об’єкти в деяких многовидах тріоїдів,
дімоноїдів і g -дімоноїдів та вивчено їх структурні та факторизаційні
властивості.
Наведено декомпозиції вільних тріоїдів у трисполуки і сполуки
підтріоїдів. Охарактеризовано найменшу прямокутну конгруенцію, найменшу
ліву ідемпотентну конгруенцію і найменшу праву ідемпотентну конгруенцію на
вільному тріоїді.
Введено поняття нільпотентного тріоїду, наведено приклади
нільпотентних тріоїдів індексу нільпотентності 2 і побудовано вільний n -
нільпотентний тріоїд. Введено поняття 0-трисполуки підтріоїдів і в термінах 0-
трисполук підтріоїдів описано структуру вільних n -нільпотентних тріоїдів.
Охарактеризовано найменшу n -нільпотентну конгруенцію на вільному тріоїді.
Введено поняття прямокутної трисполуки і наведено приклади
прямокутних трисполук. Побудовано вільну прямокутну трисполуку, описано її
структуру і групу автоморфізмів. Представлено деякі найменші конгруенції на
вільних прямокутних трисполуках, зокрема, найменшу трипрямокутну
конгруенцію на вільному тріоїді.
Введено ліві (праві) n -дінільпотентні дімоноїди. Для вказаних многовидів
побудовано вільні об’єкти та окремо розглянуто вільні ліві (праві) n -
дінільпотентні дімоноїди рангу 1. Встановлено, що група автоморфізмів
вільного лівого (правого) n -дінільпотентного дімоноїда ізоморфна симетричній
групі. Охарактеризовано найменшу ліву (праву) n -дінільпотентну конгруенцію
на вільному дімоноїді.
Розглянуто g -дімоноїди, які є множинами з двома бінарними
асоціативними операціями, що задовольняють дві додаткові аксіоми. Наведено
численні приклади g -дімоноїдів, побудовано g -дімоноїд, ізоморфний вільному
142
g -дімоноїду довільного рангу і, зокрема, розглянуто вільні g -дімоноїди рангу
1. Введено поняття n -нільпотентного g -дімоноїду, побудовано вільний n -
нільпотентний g -дімоноїд довільного рангу та окремо розглянуто вільні n -
нільпотентні g -дімоноїди рангу 1. Охарактеризовано найменшу n -
нільпотентну конгруенцію на вільному g -дімоноїді. Введено поняття
комутативного g -дімоноїда, побудовано вільний комутативний g -дімоноїд і
представлено найменшу комутативну конгруенцію на вільному g -дімоноїді.