Емельянова, Юлия Павловна. Синхронизация и сложная динамика связанных автоколебательных осцилляторов с неидентичными параметрами

brief description

Емельянова, Юлия Павловна. Синхронизация и сложная динамика связанных автоколебательных осцилляторов с неидентичными параметрами : диссертация ... кандидата физико-математических наук : 01.04.03 / Емельянова Юлия Павловна; [Место защиты: Сарат. гос. ун-т им. Н.Г. Чернышевского].- Саратов, 2012.- 200 с.: ил. РГБ ОД, 61 12-1/676

Министерство образования и науки Российской Федерации
ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет
имени Н.Г. Чернышевского»
На правах рукописи

ЕМЕЛЬЯНОВА Юлия Павловна
СИНХРОНИЗАЦИЯ И СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА
СВЯЗАННЫХ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ
С НЕИДЕНТИЧНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
ОЕ04.03 — Радиофизика
Диссертация на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Кузнецов А.П.
Саратов — 2012
ВВЕДЕНИЕ 5
ГЛАВА 1. СВЯЗАННЫЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ ВАН ДЕР ПОЛЯ
С НЕИДЕНТИЧНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 20
1Л. Исследование динамики связанных осцилляторов ван дер Поля в случае неидентичности по управляющим параметрам. Возможность широкополосной синхронизации 20
1.2. Исследование влияния неидентичности по параметру
нелинейной диссипации на синхронизацию связанных осцилляторов ван дер Поля с неидентичными управляющими параметрами 32
1.2.1. Анализ укороченных уравнений 33
1.2.2. Карты динамических режимов 40
1.2.3. Бифуркационный анализ 44
1.3. Экспериментальное исследование диссипативно связанных
радиофизических автогенераторов ван дер Поля 48
1.3.1. Одинаковый уровень нелинейной диссипации 48
1.3.2. Разный уровень нелинейной диссипации 53
1.4. Широкополосная синхронизация в системе связанных
осцилляторов с неквадратичным потенциалом 57
Выводы 60
ГЛАВА 2. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЭФФЕКТЫ В СИСТЕМЕ
РАЗНОТИПНЫХ СВЯЗАННЫХ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ 63
2.1. О введении связи между разнотипными осцилляторами 63
2.2. Колебательные режимы связанных осциллятора ван дер
Поля и брюсселятора 66
2.3. Связанные автоколебательные осцилляторы с разными
временными масштабами 75
2.4. Динамика связанных осциллятора ван дер Поля и
генератора Кислова—Дмитриева 84
Выводы 100
ГЛАВА 3. ДИНАМИКА СВЯЗАННЫХ НЕФРОНОВ. РЕЖИМ
ШИРОКОПОЛОСНОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ 103
3.1. Модель индивидуального нефрона. Основные уравнения.... 103
3.2. Результаты численного исследования синхронизации
в модели отдельного нефрона 113
3.3. Модель парных нефронов 120
Выводы 134
ГЛАВА 4. СИНХРОНИЗАЦИЯ В ЦЕПОЧКЕ ТРЕХ НЕИДЕНТИЧНЫХ ПО УПРАВЛЯЮЩИМ ПАРАМЕТРАМ
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ 137
4.1. Особенности системы трех связанных неидентичных
автоколебательных осцилляторов 137
4.2. Компьютерное моделирование. Случай малых
управляющих параметров 141
4.2.1. Режимы с наиболее продемпфированным центральным осциллятором. Случай близких
частот первого и третьего осцилляторов 141
4.2.2. Режимы с наиболее продемпфированным
центральным осциллятором. Случай большой частотной расстойки первого и третьего осцилляторов 146
4.2.3. Режимы с наиболее продемпфированным
крайним осциллятором 148
4.2.4. Режимы с сильно возбужденными крайними
осцилляторами 153
4.3. Укороченные уравнения в системе трех неидентичных
связанных осцилляторов 155
4.4. Режим полной широкополосной синхронизации трех
осцилляторов в рамках укороченных уравнений 156
4.5. Фазовые уравнения для неидентичных осцилляторов 159
4.5.1. Область полной синхронизации и бифуркации
состояний равновесия в фазовых уравнениях 161
4.5.2. Карты ляпуновских показателей и фазовые
портреты в фазовом приближении 167
4.6. Случай идентичных осцилляторов 172
4.7. Случай больших значений управляющих параметров 174
4.8. Цепочка связанных осцилляторов ван дер Поля-
Дуффинга 176
Выводы 178
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 182
ЛИТЕРАТУРА 187
СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 196
Актуальность темы диссертации. Задача о динамике связанных автоколебательных осцилляторов (автогенераторов) является фундаментальной в теории колебаний и нелинейной динамике [1-14]. Описание различных систем в терминах взаимодействующих осцилляторов используется в радиофизике [12-15], микроволновой электронике [16,17], биофизике [5,9-11,17-21], химии [8,22-24]. Простейшей такой системой, имеющей универсальный для теории колебаний характер, являются связанные осцилляторы ван дер Поля [1-5]. Популярны также модели типа классического брюсселятора [23-25], разнообразных радиофизических генераторов: Анищенко-Астахова [12-14,26] и его модификаций [27,28], Кислова-Дмитриева [15], других оригинальных конструкций генераторов [28] и т.д. Особый интерес проявляется к исследованию различных биофизических систем: нефронов [18-20,29-31], нейронов [32-34] и т.д.
Оказывается, что даже два связанных автоколебательных элемента демонстрируют весьма разнообразную картину возможных эффектов, которая продолжает выясняться и дополняться. Прежде всего, это такие классические эффекты, как биения (квазипериодические колебания) и взаимный захват осцилляторов с различным соотношением частот. В случае диссипативной связи также возможен эффект гашения («гибели») колебаний, который состоит в том, что диссипативная связь подавляет автоколебания осцилляторов так, что состояние равновесия в начале координат из неустойчивого становится устойчивым. При этом осцилляторы должны быть достаточно отстроены друг от друга по частоте, так как в противном случае диссипация не может скомпенсировать воздействие одного осциллятора на другой, и возникает режим синхронизации [1,35]. Эффект гибели колебаний обнаружен экспериментально в системах связанных осцилляторов разной природы: электронных [36], термо-оптических [37], химических [38,39], электробиологических [40]. С другой стороны, в случае реактивной связи
этот эффект невозможен, однако, для этого типа связи уже в фазовом приближении наблюдается бистабильность (синфазная и противофазная синхронизация) [5,41,42]. Комбинированное действие нескольких факторов, а именно, диссипативной и реактивной связи в фазовом и квазигармоническом приближениях рассматривалось в [43], с учетом небольшой неидентичности по управляющим параметрам - в [44], а с учетом неизохронности малых колебаний - в [41,42]. Некоторые аспекты картины, такие как мультистабильность, возможность хаоса и роль неизохронности в терминах исходной системы обсуждались в [45-51]. В ряде работ установлено влияние различных факторов на характер динамики, таких как нелинейный тип связи [52,53], действие «запаздывающей» связи [54,55], связь через дополнительную третью переменную («via a bath») [56] и т.д. В частности, показано, что эффект гибели колебаний возможен и в идентичных по частотам осцилляторах за счет запаздывающей связи [57] или за счет ее нелинейности [58]. Бифуркационные механизмы различных режимов связанных осцилляторов исследованы достаточно подробно в [5,59].
Недавно были обнаружены новые интересные эффекты для задач о синхронизации двух осцилляторов внешней силой, а также для задач о трех связанных осцилляторах [14, 60-67]. Так в [60] в фазовом приближении исследована задача о возбуждении двух диссипативно связанных осцилляторов, в [61] представлен соответствующий эксперимент, а в [62] для анализа пространства параметров использован метод ляпуновских карт, выявляющий области двух- и трехчастотной квазипериодичности. В [63,64] в терминах исходных уравнений исследуется случай реактивной связи, а в [65] - параметрического возбуждения осцилляторов. Три реактивно связанных осциллятора ван дер Поля в контексте приложения к анализу биологических циркадных (суточных) ритмов исследуются в [66]. В [16] три связанных осциллятора ван дер Поля исследуются в контексте задачи микроволновой электроники о синхронной генерации трех связанных виркаторов - генераторов СВЧ излучения. В [67] для анализа трех и четырех диссипативно связанных в цепочку фазовых осцилляторов применяется метод ляпуновских карт. Следует отметить также, что для задач о динамике связанных автоколебательных осцилляторов в рамках фазового приближения возникают определенные аналогии с системами фазовой автоподстройки, см. [68] и цитированную там литературу.
Столь широкое поле для исследований обусловлено как многообразием физических эффектов и механизмов, так и тем, что динамика системы связанных осцилляторов может обсуждаться на разных уровнях: в терминах исходной системы, в рамках квазигармонического приближения для медленных комплексных амплитуд и в рамках фазового приближения. В то же время в подавляющем большинстве работ исследуются случаи идентичных взаимодействующих подсистем, которые отличаются лишь значением собственных частот осцилляторов . Однако осцилляторы могут отличаться и по параметрам, отвечающим за степень возбуждения (отрицательное трение), а также по параметрам, ответственным за нелинейное насыщение автоколебаний. Важность такого случая обусловлена рядом причин. Во-первых, в реальных условиях создать две идентичные копии системы практически невозможно. Это особенно заметно при экспериментальной схемной радиофизической реализации связанных автогенераторов. Во-вторых, введение нейдентичности указанных типов приводит к появлению новых эффектов, таких как доминирование того или иного осциллятора, что существенно сказывается на устройстве пространства параметров. Еще более многоплановой становится задача в случае трех (и более) осцилляторов. Действительно, увеличение диссипативной связи в этом случае будет последовательно выводить из автоколебательного режима разные осцилляторы, которые, к тому же, могут занимать различное положение в цепочке, что, как мы увидим, является существенным.
В то же время возможен случай связи разнотипных автоколебательных систем. Такие системы могут быть сконструированы искусственно, например, когда связываются два разнотипных автогенератора. С другой стороны, если говорить о синхронизации в природе, например, в биофизических процессах, важность случая взаимодействия разнотипных систем вполне понятна. Пусть две такие системы слабо возбуждены, так что порог бифуркации Андронова-Хопфа превышен незначительно. В этом случае поведение систем будет описываться универсальными для такой бифуркации моделями, однако параметры таких автоколебаний будут, скорее всего, различными в силу разного типа подсистем. Поэтому в случае связи разнотипных систем можно ожидать проявление эффектов и особенностей устройства пространства параметров, характерных для неидентичных подсистем. Таким образом, исследование связанных неидентичных и разнотипных автоколебательных осцилляторов является важной задачей радиофизики.
Цель диссертационной работы состоит в исследовании особенностей колебаний связанных автоколебательных осцилляторов с неидентичными управляющими параметрами и параметрами нелинейной диссипации, а также связанных однотипных и разнотипных автоколебательных систем. Для достижения поставленных целей в работе решаются следующие основные задачи:
1. Теоретическое и экспериментальное исследование двух связанных осцилляторов ван дер Поля с неидентичными управляющими параметрами и параметрами нелинейной диссипации, выявление особенностей устройства пространства параметров таких систем и их физическое объяснение.
2. Выявление аналогичных особенностей для связанных разнотипных автоколебательных систем на примере связанных с осциллятором ван дер Поля брюсселятора и генератора Кислова-Дмитриева.
3. Выявление особенностей устройства пространства параметров для связанных однотипных автоколебательных осцилляторов на примере модели парных нефронов.
4. Исследование условий доминирования различных осцилляторов и особенностей устройства пространства параметров трех связанных в цепочку неидентичных по параметрам возбуждения осцилляторов ван дер Поля.
Методы исследования. В ходе выполнения диссертационной работы был использован спектр различных аналитических и численных методов. Так, при теоретическом исследовании систем связанных осцилляторов, а также при построении модели трех фазовых осцилляторов применялось аналитическое решение дифференциальных уравнений в квазигармони¬ческом приближении методом медленно меняющихся амплитуд [1-5, 69]. При численном исследовании для получения информации об устройстве пространства параметров использовался метод построения карт динамических режимов и карт ляпуновских показателей [70]. Для анализа динамики систем связанных осцилляторов в фазовом пространстве использовался метод построения фазовых портретов и сечений Пуанкаре [ТО- 72]. Для идентификации областей хаотической динамики среди наблюдаемых областей непериодических режимов использовался метод вычисления старшего ляпуновского показателя [70, 72]. Для демонстрации сценария перехода к хаосу при изменении одного из управляющих параметров использовался метод построения бифуркационных деревьев [70-73]. При проведении численного анализа бифуркаций в исследуемых системах использовалась программа Matcont. Решение нелинейных дифферен¬циальных уравнений проводилось с помощью метода Рунге-Кутта 4 порядка и метода Рунге-Кутта 4 порядка с переменным шагом [74-76]. Программирование осуществлялось на языках Delphi и С#.
Аргументированность, обоснованность и достоверность результатов диссертации. Достоверность полученных результатов численного исследования обеспечивается использованием при расчетах апробированных и широко используемых численных методов, а также соответствием результатов, полученных различными методами (карты динамических режимов, карты ляпуновских показателей, фазовые портреты и др.). Результаты теоретического анализа полностью согласуются с численными экспериментами. Численные результаты находятся в хорошем качественном соответствии с экспериментальными. Кроме того, результаты исследования совпадают с известными для предельных случаев.
Научная новизна работы. В диссертационной работе получены новые результаты, в частности, впервые:
1. Установлено, что для двух диссипативно связанных осцилляторов ван дер Поля с неидентичными параметрами нелинейной диссипации и отрицательного трения возможны ситуации доминирования как одного, так и второго осцилляторов, а также смена доминирующего осциллятора. Это приводит к определенным качественным перестройкам плоскости параметров «частотная расстройка - величина связи». В частности, возможна синхронизация в сколь угодно большом интервале частот - широкополосная синхронизация - и возникновение дополнительной полосы области основной синхронизации, образующей S-образный «выступ» в сторону больших частотных расстроек.
2. На основе фазового приближения и представления о доминировании того или иного осциллятора получены теоретические оценки для границ областей основной и широкополосной синхронизации в случае неидентичных управляющих параметров и разного уровня нелинейной диссипации, согласующиеся с результатами численного моделирования.
3. Проведено экспериментальное исследование особенностей синхронизации в системе связанных радиофизических автогенераторов с неидентичными управляющими параметрами и параметрами нелинейной диссипации, обнаружено качественное соответствие результатов эксперимента результатам численного моделирования, теоретического исследования и бифуркационного анализа.
4. Выявлена возможность широкополосной синхронизации для диссипативно связанных осцилляторов с неквадратичным потенциалом даже в случае идентичных управляющих параметров.
5. Для связанных осциллятора ван дер Поля и брюсселятора подробно изучена картина колебательных режимов в зависимости от соотношения управляющих параметров взаимодействующих подсистем. Обнаружены режимы широкополосной синхронизации, «пульсирующей генерации» и «слабого хаоса».
6. Проведено исследование трансформации картины колебательных режимов для системы связанных осциллятора ван дер Поля и генератора Кислова-Дмитриева при вариации управляющих параметров, отвечающих за режим колебаний в автономных подсистемах. На примере такой системы показано, что взаимодействие разнотипных осцилляторов может не только стабилизировать хаос, но и наоборот, инициировать его за счет возникновения сложной динамики в ведомом осцилляторе.
7. На картах динамических режимов, построенных для модели парных нефронов на плоскости параметров «общее время задержки реакции во втором нефроне — параметр васкулярной связи», выявлена область широкополосной синхронизации. Установлен механизм возникновения широкополосной синхронизации в такой системе, даны соответствующие иллюстрации.
8. Для системы трех диссипативно связанных в цепочку неидентичных осцилляторов ван дер Поля изучена зависимость картины режимов от положения осцилляторов с большим (меньшим) управляющим параметром в цепочке. Обнаружено, что режимы широкополосной синхронизации могут отвечать как полной синхронизации осцилляторов, так и двухчастотным колебаниям, связанным с подавлением связью одного осциллятора.
9. Проведены аналитические оценки радиусов орбит осцилляторов внутри области полной широкополосной синхронизации, которые хорошо согласуются с численным исследованием.
10. Получены фазовые уравнения для системы трех осцилляторов с неидентичными управляющим параметрами. В рамках фазового приближения установлены границы области полной синхронизации в зависимости от положения наиболее подавленного связью осциллятора, в частности, выявлена возможность ее исчезновения.
11. Исследовано устройство плоскости параметров «частотная расстройка - величина связи» в цепочке трех неидентичных по управляющим параметрам диссипативно связанных осцилляторов ван дер Поля-Дуффинга, выявлены области полной и двухчастотной широкополосной синхронизации, а также режимы, отвечающие резонансам высоких порядков.
Научно-практическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы для широкого круга задач радиофизики, биофизики, нейродинамики и т.д. Научно-практическая значимость результатов первой главы состоит в установлении принципиальной роли даже малой неидентичности по управляющим параметрам в устройстве плоскости параметров «частотная расстройка - величина связи» взаимодействующих подсистем. С другой стороны, варьируя управляющие параметры подсистем и параметры нелинейной диссипации, можно в определенной мере изменять характеристики синхронных режимов взаимодействующих автогенераторов. Ансамбли связанных генераторов находят широкое практическое применение в радиофизике и электронике, например, в случае, когда нужно обеспечить сложение мощностей нескольких генераторов, работающих на общую нагрузку (в системах радиолокации). В этом случае важно обеспечить синхронную работу этих генераторов, для чего может быть полезен обнаруженный эффект широкополосной синхронизации. Возможность биофизических приложений обусловлена широким распространением ситуаций синхронизации разнотипных подсистем (включая классические известные примеры). Для изучения динамики нефронов важным является выяснение ситуаций, когда возможна, а когда невозможна широкополосная синхронизация. Результаты четвертой главы выявляют широкий спектр возможных колебательных режимов трех взаимодействующих автоколебательных осцилляторов, которые могут управляться за счет, например, выбора позиции наиболее (наименее) продемпфированного связью осциллятора в цепочке. Развитая в этой главе методология анализа и подходы могут быть распространены на ансамбли с большим числом неидентичных элементов, включая цепочки, кольца и сети.
Результаты, полученные в работе, использованы в учебном процессе на факультете нелинейных процессов СГУ в рамках курса «Теория синхронизации» и в учебном пособии [109]. Результаты могут быть также использованы в учебном процессе в рамках курсов по радиофизике и теории колебаний в других вузах.
Личный вклад. Все основные результаты, представленные в диссертации и вошедшие в работы [100-127], получены лично автором. Автором разработаны математические модели и выполнены все численные эксперименты с помощью им же разработанного комплекса программ. Постановка задач, обсуждение и интерпретация результатов проводились совместно с научным руководителем и соавторами совместных работ. Радиофизический эксперимент (п. 1.3) был выполнен совместно с Е.П. Селезневым [105,117].
Апробация работы и публикации. Результаты, представленные в диссертационной работе, докладывались на следующих школах, семинарах и конференциях:
• школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (Саратов, 2005 - 2008, 2010, 2011 гг.);
• I - VI конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов, 2006 - 2011 гг.);
• конференция молодых ученых «Фундаментальные и прикладные задачи нелинейной физики» в рамках XIV всероссийской школы «Нелинейные волны» (Нижний Новгород, 2008 г.);
• VIII и IX международные школы «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, 2007, 2010 гг.);
• XIV международная школа-конференция «Foundations and advances in nonlinear science» (Беларусь, Минск, 2008 г.);
• XIV зимняя школа-семинар по СВЧ электронике и радиофизике (Саратов, 2009 г.);
• международная школа-семинар «Статистическая физика и информационные технологии (StatInfo-2009)» (Саратов, 2009 г.);
• международная конференция «Exploring Complex Dynamics in High¬Dimensional Chaotic Systems: From Weather Forecasting to Oceanic Flows» (Германия, Дрезден, 2010 г.);
• международная 36-я конференция центрально-европейского сотрудничества в области статистической физики «МЕСО 36» (Украина, Львов, 2011 г.);
• XXXI международная конференция «Dynamics Days Europe 2011» (Германия, Ольденбург, 2011 г.);
а также на семинарах базовой кафедры динамических систем СГУ и лаборатории теоретической нелинейной динамики Саратовского филиала Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН и на семинаре группы биологических систем и теории сложных систем физического факультета Датского технического университета (Дания, Лингби).
Результаты диссертации были использованы при выполнении НИР, поддержанных аналитической ведомственной целевой программой Министерства образования и науки Российской Федерации «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект № 2.1.1/1738), проектами РФФИ (гранты №№ 06-02-16773-а, 09-02-00707-а, 11-02-91334-ННИО_а), стипендиальной программой Фонда некоммерческих программ «Династия» (2008 - 2009 гг.), программой «Лучшие аспиранты РАН» Фонда содействия отечественной науке за 2010 г. по направлению «Инженерные и технические науки». Результаты диссертации, представленные в третьей главе, получены в ходе визита автора в группу профессора Э. Мозекилде в Датском техническом университете.
По результатам диссертации опубликовано 28 работ, из них 1 учебное пособие [109], 8 статей в российских и международных журналах, входящих в список журналов, рекомендованных ВАК РФ для публикации материалов кандидатских и докторских диссертаций [100-102,104-108], а также 1 статья в рецензируемом журнале [103] и 18 публикаций в тезисах докладов и материалах конференций [110-127] (из них 2 в электронном виде [114,123]).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитированной литературы, включающего 127 наименований, изложена на 200 страницах, содержит 70 рисунков и 1 таблицу.
Положения и результаты, выносимые на защиту:
1. Для двух диссипативно связанных осцилляторов ван дер Поля с неидентичными параметрами нелинейной диссипации и отрицательного трения возможны ситуации доминирования как одного, так и второго осцилляторов, а также смена доминирующего осциллятора. Это приводит, во-первых, к возникновению на плоскости параметров «частотная расстройка - величина связи» характерной области широкополосной синхронизации и, во-вторых, дополнительной полосы области основной синхронизации, образующей S-образный «выступ» в сторону больших частотных расстроек. Указанные эффекты обнаружены в рамках аналитического рассмотрения, численного моделирования и радиофизического эксперимента.
2. Эффекты, связанные с широкополосной синхронизацией, доминированием одного осциллятора над другим и сменой доминирующего осциллятора, являются типичными для разнотипных автоколебательных систем, например, для связанных осцилляторов ван дер Поля - брюсселятора и осциллятора ван дер Поля - генератора Кислова-Дмитриева..
3. Широкополосная синхронизация наблюдается в модели парных нефронов (структурные элементы почки), что связано с неидентичностыо размахов колебаний нормированных радиусов артериол взаимодействующих нефронов, а также с затухающим характером зависимости размаха колебаний отдельного нефрона от общего времени задержки реакции.
4. Для системы трех диссипативно связанных в цепочку неидентичных осцилляторов ван дер Поля картина синхронизации зависит от соотношения управляющих параметров, а также от того, на краю или в центре цепочки оказывается наиболее продемпфированный связью осциллятор. В такой системе возможен режим полной широкополосной синхронизации, когда захват всех трех осцилляторов наблюдается в сколь угодно широком диапазоне частотных расстроек первого и второго осцилляторов. При этом режим полной широкополосной синхронизации возникает в ситуации, когда за счет диссипативной связи оказываются продемпфированными два осциллятора. Кроме того, возможен режим широкополосной двухчастотной синхронизации, при котором сильно продемпфированным связью оказывается только один осциллятор.
Краткое содержание работы. Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы ее цели и задачи, научная новизна, практическая значимость и положения, выносимые на защиту.
В Главе 1 рассмотрена динамика системы двух связанных осцилляторов ван дер Поля с неидентичными параметрами. В и. 1.1 проведено численное исследование динамики в случае неидентичных параметров, отвечающих за бифуркацию Андронова-Хопфа в каждом осцилляторе. Показано, что этот вид неидентичности приводит к возникновению режима «широкополосной синхронизации».
В и. 1.2 рассмотрен случай неидентичности по параметрам нелинейной диссипации, отвечающим за ограничение неустойчивости в системе. Показано, что данный вид неидентичности приводит к существенному изменению формы и структуры системы языков синхронизации. Физические механизмы влияния неидентичности параметров на картину синхронизации состоят в доминировании того или иного осциллятора, а также в возможности смены доминирующего осциллятора. Соответствующие особенности поведения связанных осцилляторов проиллюстрированы в рамках теоретической модели при анализе укороченных уравнений исследуемой системы связанных осцилляторов ван дер Поля (п. 1.2.1), в ходе численного исследования путем построения карт динамических режимов (и. 1.2.2), а также при проведении бифуркационного анализа (п. 1.2.3).
В п. 1.3 представлены результаты экспериментального исследования особенностей синхронизации двух резистивно связанных генераторов ван дер Поля с неидентичными управляющими параметрами в случае одинакового (п. 1.3.1) и разного (п. 1.3.2) уровня нелинейной диссипации.
В п. 1.4 рассмотрен эффект широкополосной синхронизации в системе связанных осцилляторов, характеризующихся неквадратичным потенциалом.
В Главе 2 рассмотрена задача о взаимодействии автоколебательных элементов разной природы на примере связанных осциллятора ван дер Поля и брюсселятора, а также связанных осциллятора ван дер Поля и генератора Кислова-Дмитриева. П. 2.1 посвящен обсуждению вопроса о введении связи в системе связанных разнотипных автоколебательных осцилляторов, в частности, о наличии диссипативной компоненты.
В п. 2.2 проведено численное исследование системы связанных осциллятора ван дер Поля и брюсселятора в случае, когда их собственные частоты отличаются не очень сильно. Выявлена картина смены доминирующего осциллятора при увеличении параметра связи. Указаны области различных типов динамики в пространстве параметров, включая область гибели колебаний и возможность широкополосной синхронизации систем.
П. 2.3 посвящен рассмотрению случая существенно разных собственных частот осциллятора ван дер Поля и брюсселятора. Обнаружено, что области гибели колебаний и синхронных режимов периода один разделены областью долгопериодических и хаотических режимов. Выявлен режим «пульсирующей генерации».
В и. 2.4 представлены результаты численного исследования связанных осциллятора ван дер Поля и генератора Кислова-Дмитриева. Выявлены режимы широкополосной синхронизации и гибели колебаний. Обнаружены эффект стабилизации хаоса и противоположный эффект - инициированного хаоса.
С целью обнаружения эффектов широкополосной синхронизации в системе однотипных автоколебательных осцилляторов более сложной по сравнению с осциллятором ван дер Поля природы, в Главе 3 рассмотрена динамика нефронов.
Вывод основных уравнений традиционной модели индивидуального нефрона представлен в и. 3.1.
П. 3.2 посвящен численному исследованию режимов колебаний отдельного нефрона. На картах динамических режимов обнаружены парные структуры типа «crossroad area», выявлен затухающий характер зависимости размаха колебаний нормированного радиуса артериолы от общего времени задержки реакции в канальцево-клубочковой обратной связи.
Динамика парных нефронов исследована в и. 3.3. На картах динамических режимов обнаружены области гибели колебаний и широкополосной синхронизации. Наличие режима широкополосной синхронизации оказывается обусловлено неидентичностью размахов колебаний нормированных радиусов артериол связанных нефронов, а также их затуханием в индивидуальном нефроне. Наличие широкополосной синхронизации выявлено также при проведении бифуркационного анализа.
В Главе 4 проведено исследование синхронизации в цепочке грех неидентичных связанных осцилляторов ван дер Поля. Обсуждение различных ситуаций доминирования того или иного осциллятора проведено в п. 4.1. В п. 4.2 представлены результаты компьютерного моделирования в случае малых значений управляющих параметров осцилляторов.
Продемонстрировано существенное влияние на картину синхронизации положения в цепочке наиболее продемпфированного осциллятора (в центре или на краю цепочки). Обнаружены две разновидности режима широкополосной синхронизации: полная широкополосная синхронизация и двухчастотная широкополосная синхронизация.
В п. 4.3 проведено аналитическое исследование в рамках квазигармонического приближения. В п. 4.4 найдено приближенное аналитическое решение для режима полной широкополосной синхронизации. В рамках фазовых уравнений в и. 4.5 установлен вид области полной синхронизации в ситуации, когда наиболее продемпфированный осциллятор находится с краю цепочки. Обосновано исчезновение этой области в ситуации, когда такой осциллятор находится в центре цепочки. Проведено обсуждение основных бифуркаций. Выявлены режимы частичного захвата центрального осциллятора с одним из крайних.
В п. 4.6 рассмотрен случай трех идентичных связанных в цепочку осцилляторов. Продемонстрировано отсутствие режима полной широкополосной синхронизации и наличие режима двухчастотной широкополосной синхронизации.
В п. 4.7 представлены результаты численного исследования синхронизации в цепочке трех неидентичных осцилляторов с большими значениями управляющих параметров, когда квазигармоническое приближение уже несправедливо. Выявлено возникновение языков двухчастотных торов внутри областей трехчастотной квазипериодичности на плоскости параметров.
В п. 4.8 проведено численное исследование влияния дополнительной нелинейности по типу осциллятора Дуффинга на наблюдаемую картину синхронизации в цепочке трех осцилляторов. Обнаружено возникновение структур crossroad area и областей хаоса.
В Заключении приведены основные результаты, полученные в диссертационной работе.

bibliography

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящей диссертационной работе последовательно и с единых позиций изучены особенности синхронизации связанных автоколебательных осцилляторов с неидентичными управляющими параметрами и параметрами нелинейной диссипации, а также связанных разнотипных автоколебательных систем. Можно выделить следующие основные результаты:
1. Для двух диссипативно связанных осцилляторов ван дер Поля с неидентичными параметрами, управляющими бифуркацией Андронова- Хопфа и величиной нелинейной диссипации, возможны ситуации доминирования как одного, так и второго осцилляторов, а также смена доминирующего осциллятора с ростом параметра диссипативной связи. Это существенным образом проявляется в устройстве плоскости параметров «частотная расстройка - величина связи». Неидентичность по управляющим параметрам приводит к возникновению широкополосной синхронизации, которой отвечает возникновение полосы конечной ширины по параметру связи в сколь угодно большом интервале частотных расстроек, разделяющей область гибели колебаний и квазипериодических режимов. Внутри этой области наименее продемпфированный связью осциллятор доминирует над вторым. Неидентичность по параметрам нелинейной диссипации приводит к возникновению дополнительной полосы области основной синхронизации, образующей S-образный «выступ» в сторону больших частотных расстроек. Внутри этого выступа доминирует осциллятор с наименьшим управляющим параметром и уровнем нелинейной диссипации.
2. На основе фазового приближения и представления о доминировании того или иного осциллятора получены аналитические оценки для границ областей основной и широкополосной синхронизации в случае неидентичных управляющих параметров и разного уровня нелинейной диссипации, согласующиеся с результатами численного моделирования.
3. Особенности картины синхронизации, выявленные в рамках теоретической модели, в ходе численного и бифуркационного анализа, хорошо согласуются с результатами экспериментального исследования особенностей синхронизации в системе связанных радиофизических автогенераторов с неидентичными управляющими параметрами и параметрами нелинейной диссипации.
4. Выявлена возможность широкополосной синхронизации для диссипативно связанных осцилляторов с неквадратичным потенциалом даже в случае идентичных управляющих параметров. При этом наблюдается система языков синхронизации на плоскости «параметр, управляющий относительной крутизной потенциальных ям осцилляторов, - параметр связи», а также происходит исчезновение эффекта гибели колебаний.
5. Продемонстрирована типичность эффектов, связанных с доминированием одного осциллятора над другим и сменой доминирующего осциллятора, при взаимодействии разнотипных автоколебательных систем на примере связанных осциллятора ван дер Поля и брюсселятора, связанных осциллятора ван дер Поля и генератора Кислова-Дмитриева.
6. Для связанных осциллятора ван дер Поля и брюсселятора в случае, когда их собственные частоты существенно различаются, область гибели колебаний оказывается отделена от области широкополосной синхронизации дополнительной полосой долгопериодических и хаотических режимов. Для последних характерны стадии медленной и быстрой эволюции. При этом возникает характерный режим «пульсирующей генерации», а вид аттрактора ван дер Поля качественно отвечает ситуации разрушения гомоклинической петли. С ростом уровня связи наблюдаются режимы «слабого хаоса» с малыми значениями ляпуновского показателя.
7. На примере связанных осциллятора ван дер Поля и генератора Кислова-Дмитриева показано, что взаимодействие разнотипных осцилляторов может не только стабилизировать хаос, но и наоборот, инициировать его за счет возникновения сложной динамики в ведомом осцилляторе, если управляющие параметры систем существенно отличаются. При этом вид хаотического аттрактора отличается от автономного, что связано с неизохронностью и релаксационным характером колебаний осциллятора ван дер Поля в области больших значений управляющего параметра. Порог возникновения такого хаоса по коэффициенту усиления заметно меньше, чем порог хаоса в автономном генераторе Кислова- Дмитриева.
8. На картах динамических режимов, построенных для модели парных нефронов на плоскости параметров «общее время задержки реакции во втором нефроне - параметр васкулярной связи», выявлена область широкополосной синхронизации. Результаты, полученные в ходе численного исследования методом карт динамических режимов, хорошо согласуются с результатами бифуркационного анализа. Возникновение области широкополосной синхронизации в модели парных нефронов связано с неидентичностью размахов колебаний нормированных радиусов артериол взаимодействующих нефронов, а также с затухающим характером зависимости размаха колебаний нормированного радиуса артериолы отдельного нефрона от общего времени задержки реакции. Такой характер зависимости приводит к установлению постоянной разницы размеров предельных циклов связанных нефронов в широком диапазоне значений по параметру, отвечающему за общее время задержки реакции в одном из нефронов. Если размах колебаний нормированного радиуса артериолы одного из нефронов при выбранном наборе параметров сравним с установившимся размахом колебаний нормированного радиуса артериолы второго нефрона, область широкополосной синхронизации отсутствует.
9. Для системы трех диссипативно связанных в цепочку неидентичных осцилляторов ван дер Поля картина синхронизации зависит от соотношения управляющих параметров осцилляторов, находящихся по краям и в центре цепочки. В такой системе возможен режим полной широкополосной синхронизации, когда за счет диссипативной связи оказываются продемпфированными два осциллятора. Кроме того, возможен режим, который можно назвать широкополосной двухчастотной синхронизацией и который отвечает ситуации, когда сильно продемпфированным является только один из осцилляторов. Ниже (по величине параметра связи) этой области располагаются режимы трехчастотных квазипериодических колебаний. В этой области ни один осциллятор не продемпфирован, и соотношение размеров их предельных циклов определяется соотношением управляющих параметров осцилляторов.
10. В случае большой частотной расстройки крайних осцилляторов происходит возникновение дополнительной области гибели колебаний, что связано с «парным» характером взаимодействия осцилляторов и с выполнением резонансных частотных условий.
11. В рамках квазигармонического приближения получены оценки для радиусов орбит осцилляторов, а также значения сдвигов фаз между осцилляторами. При этом результаты численного и аналитического исследования находятся в хорошем соответствии.
12. В рамках фазовых уравнений установлены границы области полной синхронизации в зависимости от положения наиболее подавленного связью осциллятора, также обосновано исчезновение этой области в ситуации, когда такой осциллятор находится в центре цепочки. Выявлены режимы частичного захвата различных пар осцилляторов.
13. Для трех идентичных связанных в цепочку осцилляторов ван дер
Поля режим полной широкополосной синхронизации отсутствует, но при этом возникает режим двухчастотной широкополосной синхронизации, что обусловлено выделенной ролью центрального осциллятора, который даже в случае равенства управляющих параметров оказывается более
продемпфированным за счет связи.
14. В системе трех диссипативно связанных в цепочку неидентичных осцилляторов ван дер Поля-Дуффинга на плоскости параметров «частотная расстройка пары осцилляторов - величина связи» помимо областей полной и двухчастотной широкополосной синхронизации возникают режимы, отвечающие резонансам более высокого порядка, а также области хаоса.
В заключение хочу выразить искреннюю глубокую благодарность и признательность моему научному руководителю, доктору физико¬математических наук, профессору А.П. Кузнецову за многолетнее научное руководство, всестороннюю поддержку и внимание. Особую благодарность хочу выразить моим соавторам, результаты совместных исследований с которыми вошли в настоящую диссертацию: кандидатам физико¬математических наук Л.В. Тюрюкиной, И.Р. Сатаеву, В.И. Паксютову и Н.В. Станкевич. Я благодарю доктора физико-математических наук Е.П. Селезнева за помощь в реализации экспериментов, а также доктора физико-математических наук, профессора С.П. Кузнецова за возможность обсулсдения результатов, получаемых в ходе работы над диссертацией, и за полезные советы. Хочу выразить благодарность профессору Эрику Мозекилде за предоставленную возможность прохождения стажировки в его научной группе в Датском техническом университете (Дания, Лингби) и за продуктивное обсуждение научных результатов. Отдельную благодарность хочу выразить доктору физико-математических наук Н.М. Рыскину, доценту А.Г. Рожневу, кандидатам физико-математических наук А.В. Савину, Д.В. Савину, О.Б. Исаевой и Ю.В. Седовой за оказанные внимание и помощь. Не могу не выразить благодарность моему мужу и родителям за неизменную поддержку и понимание.