Божко Віра Геннадіївна. Формування комбінаторних знань та вмінь у процесі вивчення математики в основній школі : Божко Вера Геннадьевна. Формирования комбинаторных знаний и умений в процессе изучения математики в основной школе Bozhko Vira Hennadiivna. Formation of combinatorial knowledge and skills in the process of studying mathematics in primary school

Краткое описание

ІНСТИТУТ ПЕДАГОГІКИ АКАДЕМІЇ ПЕДАГОГІЧНИХ НАУК УКРАЇНИ

На правах рукопису

Божко Віра Геннадіївна

УДК 372.851

ФОРМУВАННЯ КОМБІНАТОРНИХ ЗНАНЬ ТА ВМІНЬ У ПРОЦЕСІ ВИВЧЕННЯ МАТЕМАТИКИ В ОСНОВНІЙ ШКОЛІ
13.00.02 - теорія і методика навчання математики

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата педагогічних наук

Науковий керівник
Хмара Тамара Миколаївна
кандидат педагогічних наук,
старший науковий співробітник

Київ 2006

ЗМІСТ

ВСТУП ..................................................................................................................3
РОЗДІЛ 1. Досліджувана проблема в педагогічній теорії та практиці
1.1. Вітчизняний та зарубіжний досвід вивчення комбінаторики
в основній школі..................................................................................................13
1.2. Основні комбінаторні знання та вміння ..................................................26
1.3. Задачі як засіб формування основних комбінаторних знань та
вмінь..........................................................................................................39
1.4. Психолого-педагогічні передумови вивчення комбінаторики
в основній школі
1.4.1. Психологічні особливості учнів основної школи.......................51
1.4.2. Розвиток комбінаторного мислення.........................................59
1.4.3. Методи, засоби і організаційні форми ........................................69
Всновки до розділу 1.........................................................................................81
РОЗДІЛ 2. Методична система вивчення комбінаторики в основній школі
2.1. Пропедевтика вивчення комбінаторики
2.1.1. 1-4 класи......................................................................................83
2.1.2. 5-7 класи..........................................................................................94
2.2. Вивчення комбінаторики в класах з поглибленим навчанням математики
2.2.1. Особливості вивчення теоретичного матеріалу......................117
2.2.2. Розв’язування задач ......142
2.3. Комп’ютерна підтримка формування комбінаторних знань
та вмінь..........................................................................................................155
2.4. Організація, проведення і результати педагогічного
експерименту. ...............................................................................................168
Висновки до розділу 2 .........................................................................182
ЗАГАЛЬНІ ВИСНОВКИ...............................................................................185
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ ...................................189
ДОДАТКИ........................................................................................................207

ВСТУП

Актуальність дослідження. Навчання математики в середніх закладах освіти України є важливим компонентом загальноосвітньої і професійної підготовки молоді, неперервної освіти, що забезпечує широкі можливості для інтелектуального розвитку особистості, умінь установлювати причинно-наслідкові зв`язки між фактами, подіями та явищами.
У концепції математичної освіти 12-річної школи в Україні актуальним визначено відбір змісту навчання з урахуванням досягнень світового і вітчизняного досвіду, специфіки навчання математики в навчальних закладах, ідей та поглядів видатних математиків і методистів, сучасної психології та педагогіки. Традиційний зміст навчання математики, що складався десятиріччями, забезпечує досить високий рівень математичної підготовки учнів, проте зміни в галузі техніки, виробництва, освіти, комунікацій ставлять нові вимоги до математичної підготовки і спонукають до переосмислення традиційного змісту, з’ясування тенденцій подальшого його розвитку.
Сучасна шкільна реформа здійснюється з урахуванням Державного стандарту базової та повної середньої освіти, у якому визначені цілі розвитку освітньої галузі, що відповідають об’єктивним вимогам сучасного життя. Традиційні змістові лінії доповнено змістовими лініями Елементи теорії множин. Комбінаторика”, Початки теорії ймовірностей і елементи статистики”, визначено необхідний мінімум знань та вмінь для продовження навчання з цих тем та вимоги до його засвоєння. Це є реальним кроком до створення умов для розвитку одного зі спеціальних і соціально важливих типів мислення комбінаторного, необхідного сучасній людині як у загальнокультурному плані, так і для професійного становлення та нормальної соціалізації особистості в сучасному суспільстві.
Соціально-економічні зміни в нашому суспільстві обумовлюють потребу сформованості гнучкості, варіативності, критичності мислення, здатності висувати гіпотези перебігу подій та реальності їх підтвердження. Саме тому актуалізується необхідність включення комбінаторних знань і вмінь в інтелектуальний багаж кожної сучасної людини.
Проблеми комбінаторики привертали увагу видатних математиків на різних етапах розвитку цієї науки: Н.Тарталья, Г.Лейбніца, О.Блоха, Н.Віленкіна, Б.Гнєденка, К.Рибнікова, А.Скорохода, О.Халамайзера, О.Хінчіна, М. Ядренка, І. Яглома та інших [18; 43; 62; 63; 98; 121; 207; 219].
Питання комбінаторики активно досліджувалися відомими зарубіжними математиками: М.Айгнером, К.Бержем, О.Оре, Дж.Райзером, Дж.Ріорданом, Дж.-К.Ротом, Р.Стенлі, П. Халмош [1; 15; 148; 167; 168; 205].
В останні десятиріччя інтерес до комбінаторики значно посилився, оскільки виявилось, що багато проблем теорії інформації, складання та декодування шифрів, проблем, пов’язаних з розробкою оптимальних планів, тобто проблем багатьох галузей людської діяльності мають комбінаторний характер. У зв’язку з цим зараз, у період швидкого процесу комп’ютеризації суспільства, розвитку інформаційних мереж різного рівня та призначення, переходу до ринкових відносин в економіці, на виробництві, суспільство зацікавлене в тому, щоб рівень математичної освіти молоді відповідав вимогам часу.
Людина постійно потрапляє до ситуацій планування своєї діяльності, вибору та прийняття оптимального рішення, його зміни в залежності від зовнішніх обставин. Більш успішно це робитиме людина з розвиненим комбінаторним мисленням. Тому елементи комбінаторики включено в зміст освіти як важливу складову математичної культури кожного учня.
Наприкінці XIX початку XX століть в ряді підручників для школи з’явилися розділи, до яких було включено теми Теорія сполук”, Біном Ньютона” [16; 35; 66; 118].
Необхідність уведення комбінаторики до програм середньої школи обговорювалась після революції 1917 року. Так, у програму для фізико-технічних груп другого ступеня єдиної трудової школи-комуни, випущеної в 1919 році, було введено тему Сполуки ”.
У 40-50-і роки здійснювався відбір матеріалів і досліджувались методичні шляхи втілення ідеї вивчення комбінаторики в школі.
У 60-і роки почали переглядатися програми загальноосвітньої школи. У програму, діючу з 1968 року, увійшли теми Комбінаторика”, Біном Ньютона”. Для старших класів було введено перші навчальні посібники, що містили елементи комбінаторики. Дуже багато для вирішення проблем вивчення комбінаторики в школі зробили Н.Віленкін, Б.Гнєденко, А.Колмогоров, А.Маркушевич, А.Скороход, М.Ядренко та багато інших.
Протягом 1970-80 рр. комбінаториці було присвячено чимало досліджень. Розглядалися різні аспекти цієї проблеми: спільне вивчення комбінаторики та початків теорії ймовірностей, визначення в курсі математики наскрізної комбінаторно-імовірнісної лінії, вивчення елементів комбінаторики за допомогою графів, популяризація ідей комбінаторики, вивчення комбінаторики в початкових класах тощо [13; 14; 52; 78; 93].
У роботі І.Бєляєвої [14] робиться висновок про те, що навички комбінаторного характеру необхідні учням для вивчення багатьох питань програмного матеріалу. Автор ілюструє ефективність комбінаторного підходу на прикладі вивчення тем: Ознаки рівності трикутників”, Подільність чисел”, Квадратні рівняння”. Під комбінаторним підходом автор розуміє методичний прийом, що міститься в визначенні комбінацій, їх переборах та виборах, що відповідають логічному змісту поставленої задачі. Зрозуміло, використання певних комбінаторних операцій у процесі вивчення окремих тем сприяє формуванню комбінаторних навичок учнів. Однак, автор не ставить питання про цілеспрямовану та систематичну роботу по формуванню комбінаторного мислення учнів.
Дослідження А.Дограшвілі [78] присвячено проблемі формування у восьмирічній школі комбінаторних та імовірнісних понять. У роботі експериментальне розв’язування комбінаторних задач спрямовано на отримання теоретичних результатів (7 клас) у вигляді формул числа розміщень та комбінацій, необхідність яких на цьому етапі вивчення автором достатньо не доведено, не розкрито роль безформульних методів комбінаторики та їх зв’язок з формульними.
У дослідженні В.Волгіної [52] здійснено спробу дати систему навчання комбінаторики на основі графів. Необхідність використання графів як засобу унаочнення та способу розв’язування комбінаторних задач не викликає сумнівів. Але питання систематичного й послідовного формування комбінаторних знань та вмінь автором не досліджувались.
У дисертації Л.Кабехової [93] опрацьовано ідею про підпорядкування вивчення елементів комбінаторики в 9 класі обчисленню ймовірностей.
З проблемою оновлення змісту освіти, що належить до розряду вічних, вже не можуть не рахуватись і безпосередні учасники навчального процесу учителі і організатори шкільної освіти, суспільство в цілому. Гострота цієї проблеми викликана, як мінімум, такими обставинами:
- гуманізацією та демократизацією освіти, переводом її на культурно-творчу основу;
- рівневою та профільною диференціацією навчання математики;
- змінами, які відбулися в математиці в середині ХХ ст. і пов’язані з появою ЕОМ;
- поширенням різних типів загальноосвітніх закладів.
Тому відповідно проблема оновлення змісту математичної освіти на сучасному етапі розвитку суспільства набуває якісно нового аспекту.
Від належного розв’язання завдання чого навчати”, насамперед, залежить рівень підготовки вчителя. Проблема вдосконалення професійно-педагогічної підготовки сучасного вчителя математики, зокрема, з комбінаторики розглянута в роботі І.Войналович [45].
Аксіомою, яка перевірена всією історією людства, є твердження: людина головний цілісний орієнтир і міра всього в житті суспільства. Ця аксіома має безпосереднє відношення до життя будь-якого закладу освіти. Особистість учня головний ціннісний орієнтир у діяльності школи. Сьогодні, як ніколи, вчитель повинен навчитися бачити в учневі особистість, розуміти всю складність і багатогранність її структури, враховувати вікові особливості, виявляти в учня спадкові, набуті нахили, здібності й можливості, створювати максимально сприятливі умови для їх розвитку. Тільки за таких умов учитель може по-справжньому ефективно керувати процесом навчання, розвитку й виховання учня як особистості, контролювати цей процес, надавати йому відповідних стимулів й вносити корективи [72].
Як зазначається у Концепції 12-річної школи України [105], гуманістичні цінності освіти зумовлюють зміну авторитарно-дисциплінарної моделі навчання на особистісно орієнтовану.
Спрямованість вектора шкільної освіти у площину цінностей особистісного розвитку, варіативності й відкритості школи зумовлює принципову необхідність переосмислення всіх чинників, від яких залежить якість навчально-виховного процесу: змісту, методів, форм навчання і виховання, управлінських рішень, взаємовідповідальності учасників навчально-виховного процесу, системи контролю й оцінювання.
Сьогодні актуальність включення комбінаторики до змісту шкільного курсу математики визнана математиками, методистами, цей розділ увійшов до навчальних програм. Так, у програму з математики для 5 класу згідно з концепцією математичної освіти 12-річної школи включено розв’язування комбінаторних задач. Програмою для класів з поглибленим вивченням математики передбачено вивчення комбінаторики у 8 та 9 класах, але чинні підручники не містять відповідних розділів. Спостерігаються позитивні зміни для основної школи. Однак вітчизняного досвіду вивчення комбінаторики в основній школі, по суті, не існує. Не розроблено належною мірою методичне забезпечення в умовах рівневої та профільної диференціації. Комбінаторні знання можуть стати знаряддям математичного мислення тільки за умови послідовного й систематичного формування протягом усього часу вивчення математики.
Отже, методичний аспект проблем навчання комбінаторики в основній школі досліджений недостатньо. Саме тому наше дослідження присвячене цій актуальній проблемі Формування комбінаторних знань та вмінь у процесі вивчення математики в основній школі”.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження виконано відповідно до тематичного плану наукових досліджень лабораторії фізичної та математичної освіти Інституту педагогіки АПН України з теми Науково-методичні засади відбору та реалізації змісту математичної освіти в основній і старшій школі” (№ державної реєстрації 0102U000136). Тему дисертаційного дослідження затверджено Вченою радою Інституту педагогіки АПН України (протокол №2 від 14.03.02) та узгоджено Радою з координації наукових досліджень у галузі педагогіки і психології в Україні (протокол №1 від 25.01.05).
Реалізація прогресивних ідей, закладених у Концепції нової 12-річної базової математичної освіти та Державного стандарту шкільної математичної освіти в освітній галузі Математика”, можна сподіватись, відбудеться на час остаточного переходу школи до моделі нової 12-річної структури.
Об’єкт дослідження процес навчання математики учнів основної школи.
Предмет дослідження методика навчання комбінаторики в основній школі.
Мета дослідження - на основі вивчення та узагальнення вітчизняного і зарубіжного досвіду, психолого-педагогічної та методичної літератури, педагогічного експерименту вивчення комбінаторики в школі розробити методичну систему навчання комбінаторики у процесі вивчення математики в основній школі.
Гіпотеза дослідження: якщо систематично й послідовно формувати комбінаторні знання та вміння засобом спеціально дібраної системи теоретичних відомостей і відповідних вправ та задач, то це сприятиме:
- активізації навчальної діяльності учнів;
- розвитку логічного, зокрема комбінаторного мислення;
- підвищенню успішності та якості знань учнів.
Виходячи з предмета, мети і гіпотези, передбачалось вирішення таких завдань:
1. З’ясувати стан порушеної проблеми в педагогічній теорії та практиці шляхом аналізу психолого-педагогічної, методичної і навчальної літератури та педагогічної практики.
2. Визначити психолого-педагогічні та методичні передумови формування комбінаторних знань та вмінь в учнів основної школи.
3. Розробити методичну систему навчання комбінаторики в основній школі.
4. Експериментально перевірити ефективність розробленої методичної системи.
Методологічну основу дослідження становлять найважливіші положення теорії пізнання й розвитку мислення, діяльнісної концепції навчання, системного, комплексного та особистісно орієнтованого підходу до навчально-виховного процесу (Л.Виготський, П.Гальперін, В.Давидов, Н.Лернер, С.Рубінштейн та ін.), теорії проблемного та розвиваючого навчання (Д.Ельконін, Л.Занков, З.Калмикова, М.Махмутов, І.Якиманська та ін.), наукові здобутки з методики навчання комбінаторики (Я.Бродський, Н.Віленкін, Б.Гнєденко, А.Колмогоров, О.Маркушевич, З.Слєпкань, А.Столяр, М.Ядренко та ін.), з проблеми розвитку пізнавальної активності та управління процесом навчання (Д.Богоявленська, Є.Кабанова-Меллер, Н.Менчинська, Н.Тализіна та ін.), з методики навчання математики в школі (Г.Бевз, М.Бурда, Я.Грудьонов, Ю.Колягін, З.Слєпкань, М.Шкіль, В.Швець та ін.), сучасні концепції комп’ютерної підтримки навчального процесу (Ю.Горошко, М.Жалдак, Ю.Машбиць, Н.Морзе та інші).
Для з’ясування стану проблеми в педагогічній теорії, визначення психолого-педагогічних і методичних передумов формування комбінаторних знань та вмінь в учнів основної школи, розробки методичної системи навчання комбінаторики в основній школі застосовувались такі теоретичні методи: аналіз наукової, психолого-педагогічної, методичної та навчальної літератури з проблеми дослідження; змісту програм, підручників, що містять тему Елементи комбінаторики”; порівняння, узагальнення, систематизація теоретичного і практичного матеріалу.
У процесі впровадження розробленої методичної системи та перевірки її ефективності застосовувались такі емпіричні методи: бесіди з учителями, учнями; спостереження за процесом навчання; анкетування; систематизація та узагальнення педагогічного досвіду вчителів; аналіз ефективності дидактичних засобів та сучасних інформаційних технологій навчання; педагогічний експеримент; аналіз і опрацьовування отриманих у ході дослідження результатів.
Етапи дослідження.
Перший етап (1999 2001 рр.). Аналізувався навчально-виховний процес з метою з’ясування та уточнення його закономірностей, отримання загальної інформації з досліджуваної проблеми. На цьому етапі також вивчалися інтереси та мотиваційна сфера учнів основної школи, виявлялися особливості формування комбінаторних знань та вмінь.
Другий етап (2001-2003рр.). Було відібрано і систематизовано матеріал з комбінаторики для вивчення його в основній школі.
Здійснювалась розробка та експериментальна перевірка методики формування основних комбінаторних знань та вмінь, перевірялась доступність теоретичного і практичного матеріалу для учнів основної школи в контрольних та експериментальних класах. На цьому етапі було включено як дидактичний засіб навчання зошити з друкованою основою.
Третій етап (2003-2004рр.). Здійснювалося впровадження та коригування розробленої методики.
Наукова новизна дослідження:
- уперше розроблено методичну систему, за допомогою якої забезпечується формування основних комбінаторних знань та вмінь протягом усього часу навчання в основній школі;
- доведено педагогічну доцільність, доступність та можливість послідовного формування комбінаторних знань та вмінь в учнів протягом навчання в основній школі.
Теоретичне значення полягає в обґрунтуванні доступності та доцільності послідовної реалізації положення концепції змісту математичної освіти в 12-річній школі та Державного стандарту базової та повної середньої освіти в освітній галузі Математика” про включення до змісту шкільної освіти наскрізної комбінаторної змістової лінії, у визначенні теоретичних основ формування комбінаторних знань та вмінь в учнів основної школи, у розробці методичних вимог до системи навчальних завдань.
Практичне значення: розроблено та експериментально перевірено ефективність методичної системи, спрямованої на послідовне вивчення комбінаторики в основній школі, зокрема, системи теоретичних знань, вправ і задач комбінаторного характеру та методичних рекомендацій з їх використання. Результати дослідження можуть бути використані вчителями математики, методистами, авторами підручників та навчальних посібників.
Особистий внесок здобувача у роботах, опублікованих у співавторстві, полягає в укладанні системи вправ і задач комбінаторного характеру та методики її використання.
Апробація результатів дослідження. Результати дослідження доповідалися на двох міжнародних конференціях Ціннісні пріоритети освіти ХХІ століття” (Луганськ, 2003), Актуальні проблеми теорії та методики навчання математики” (Київ, 2004), двох Всеукраїнських конференціях Науково-методичний супровід модернізації початкової освіти” (Луганськ, 2002), Проблеми математичної освіти” (Черкаси, 2005), Всеукраїнському методичному семінарі з проблем навчання математики (Національний педагогічний університет ім. М.П.Драгоманова, 2004), на семінарах кафедри загальної математики (Луганський національний педагогічний університет імені Тараса Шевченка, 2001-2005).
Публікації. Основні положення і результати дисертації відображені в 13 роботах, серед них 6 у наукових фахових виданнях, 5 у тезах та матеріалах конференцій, 2 рекомендовано лабораторією фізичної і математичної освіти Інституту педагогіки АПН України як експериментальні навчальні посібники.

Список литературы

ВИСНОВКИ

1. Створення нової концепції математичної освіти 12-річної школи, Державного стандарту базової та повної середньої освіти в освітній галузі Математика” сприяє реалізації переконливо доведених вченими можливості, доцільності і доступності включення надзвичайно корисної для розвитку мислення та адаптивних якостей особистості комбінаторної змістової лінії в зміст шкільної математичної освіти.
2. Процес швидкої комп’ютеризації суспільства, розвиток інформаційних мереж різного рівня і призначення, перехід до ринкових відносин в економіці, на виробництві обумовлюють потребу сформованості гнучкості, варіативності, критичності мислення, здатності висувати гіпотези перебігу подій та реальності її підтвердження. Ці якості продуктивно розвиваються у процесі розв’язування комбінаторних задач. Саме тому виникає необхідність включення комбінаторних знань та вмінь в інтелектуальний багаж сучасної людини.
3. У 1-9 класах існує реальна можливість забезпечити органічний зв’язок комбінаторної пропедевтики з арифметичним, алгебраїчним і геометричним матеріалом. Задачний матеріал чинних підручників доцільно доповнити комбінаторними задачами. Основною особливістю формування комбінаторних знань та вмінь в учнів основної школи є те, що у процесі ознайомлення з ними домінують індуктивні міркування із залученням практичного досвіду учнів і прикладів довкілля. Це можливо завдяки спеціально дібраній системі вправ комбінаторного характеру, що за змістом пов’язані з навчальним матеріалом.
Доцільно дібрана система комбінаторних задач дає змогу активізувати розумову діяльність учнів, зрозуміти, які питання оточуючої дійсності, практики, життя приводять до постановки математичних задач. Учні набувають навичок і вмінь будувати та інтерпретувати математичні моделі різного типу, співвідносити математичні методи з практичними потребами на кожному з етапів навчання. Це переконує їх у необхідності й практичній користі навчального матеріалу; а також у тому, що математичні абстракції виникають із задач, поставлених реальною дійсністю.
4. Розвиток комбінаторного мислення відбувається в процесі активної розумової діяльності учнів у напрямку пошуку різних способів перелічування об’єктів дослідження. Основними його характеристиками є: організація цілеспрямованого перебору певним чином обмеженого кола можливостей; універсальність (незалежність від конкретного математичного матеріалу; гнучкість зміна внутрішнього плану дій як у процесі пошуку розв’язання задачі, так і в процесі розв’язування). Комбінаторне мислення спирається на критерії вибіркового пошуку, дає змогу вирішувати складні, невизначені проблемні ситуації; дозволяє перебирати різноманітні стратегії та обирати найкращий напрямок розв’язування проблеми. Спеціальний фактор, що відповідає здатності мислити в різних напрямках” називають дивергентним мисленням”. З дивергентністю в наш час пов’язуються буквально всі прояви творчості. Цей стиль мислення можна виховувати в школі, починаючи з молодшого шкільного віку.
5. Розвиткові комбінаторного мислення в учнів основної школи сприяють: забезпечення інтуїтивної основи курсу, яка передбачає збагачення досвіду учнів щодо математичних закономірностей за допомогою залучення їх до спостережень з використанням матеріальних і знакових моделей, комп’ютерних експериментів; формування в них потреби ознайомлюватись з додатковою літературою; орієнтації учнів на самостійну роботу; створення сприятливого мікроклімату для творчої співпраці; організація та забезпечення продуктивної роботи учнів в гомогенних і гетерогенних групах, парами, індивідуально і колективно; забезпечення математичного” спілкування не тільки на уроці, а і в позаурочний час, яке може відбуватися у формі взаємоконсультацій, поточних заліків, математичних вечорів, КВК, математичних боїв і т. ін.; систематичне проведення роботи з розв’язаною задачею для навчання ставити і вирішувати нові проблеми, повернення учнів до аналізу власних дій, що допомогли віднайти ідею розв’язання проблеми.
6. Процес вивчення комбінаторики характеризується етапністю: побудова та використання різних наочних комбінаторних моделей відповідно до змісту задачі; уведення основних понять комбінаторики, вивчення правил додавання і множення; вивчення основних формул комбінаторики та використання їх до розв’язування задач різних рівнів складності, а також наявним рівнем пізнавальних потреб. Відповідно до цих умов має моделюватись динаміка та методичні особливості формування комбінаторних знань та вмінь на кожному етапі. Для творчого самовираження і розвитку комбінаторного мислення потрібні не просто задачі з невідомим учню способом розв’язування, а саме ті, які відповідають його пізнавальним потребам.
7. Система задач комбінаторного характеру є основним дидактичним засобом навчання і будується на дидактичних принципах з урахуванням: особливостей процесу формування комбінаторних знань та вмінь на різних етапах, відповідності комбінаторних задач матеріалу шкільного курсу математики, що вивчається, наочності комбінаторних задач, диференційованого підходу в навчанні, прикладної спрямованості комбінаторних задач, здійснення порівняння та встановлення зв’язків між комбінаторними поняттями, розвитку в учнів самостійності та творчих здібностей, комплексного і доцільно виправданого залучення традиційних і сучасних засобів навчання. Систему задач слід будувати на базі так званої неформальної” комбінаторики, способи якої складають основні пошукові стратегії, а саме хаотичний перебір, систематичний перебір без застосування наочних засобів перебору та з їх допомогою, графи, комбінаторні правила множення і додавання.
8. Враховуючи ергономічні особливості комбінаторних задач, ефективність схематичних засобів їх розв’язування доцільно використовувати зошити з друкованою основою. Опрацьовування завдань такого робочого зошиту сприятиме засвоєнню математичної мови, її символічного і схематичного записів, розвитку мислення, ознайомленню з основними поняттями теорії множин і комбінаторики. Необхідний матеріал з теорії у вигляді схем доцільно включати до кожного з параграфів, задачі кожного типу подавати зі зразками розв’язання. Домашнє завдання й запитання для самоконтролю, подані після кожного параграфа, сприятимуть систематизації та узагальненню знань. Зошит можна використовувати як на уроках математики, так і дома для самостійного розв’язання. Недоцільно одразу розв’язувати велику кількість задач, слід це робити послідовно і систематично, протягом усього терміну навчання в 5-11 класах масової основної школи.
9. Робочий зошит для учнів 8-ого класу з поглибленим вивченням математики сприятиме засвоєнню основних понять комбінаторики, повторенню й систематизуванню знань учнів з цього розділу на початку 9 класу. Систему вправ і задач слід структурувати за рівнями складності. Вивчення основних понять комбінаторики розміщення” і комбінації” здійснювати з використанням методу паралельного зіставлення і протиставлення.
10. Використання у процесі розв’язування комбінаторних задач програмного забезпечення сприяє вихованню інтуїції, розвитку евристичного мислення, фантазії, елементарних дослідницьких навичок. Доцільними для використання під час формування комбінаторних знань та вмінь в основній школі виявилися програми серії GRAN.
11. Розроблена система вправ і задач комбінаторного характеру та експериментально перевірена ефективність методики її використання для формування основних комбінаторних знань та вмінь в учнів основної школи.
12. Подальшого дослідження вимагає розвиток методичної системи навчання учнів комбінаторики в напрямі більш повної реалізації цієї змістової лінії як наскрізної.