Гребенюк Марина Федорівна. Інтерпретація трискладових розподілів та теорія геометричних перетворень

Краткое описание

Гребенюк Марина Федорівна. Інтерпретація трискладових розподілів та теорія геометричних перетворень: дисертація д-ра техн. наук: 05.01.01 / Київський національний ун-т будівництва і архітектури. - К., 2003

Гребенюк М.Ф. Інтерпретація трискладових розподілів та теорія геометричних перетворень. Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук за спеціальністю 05.01.01 Прикладна геометрія, інженерна графіка. Київський національний університет будівництва і архітектури. Київ, 2003.
Дисертацію присвячено розробці нових ефективних методів дослідження та конструювання багатовимірних багатовидів різної структури для розв’язання різноманітних практичних задач із застосуванням геометричного моделювання об’єктів, процесів і явищ. В роботі застосовується теоретикогруповий метод диференціальногеометричних досліджень, розроблений Г.Ф. Лаптєвим. Метод Лаптєва нині є одним із найефективніших методів диференціальногеометричних досліджень.
Розроблено теоретичні основи багатоскладових розподілів багатовимірних просторів, які представляють собою нові геометричні образи і дозволяють узагальнити теорію гіперсмугових розподілів, регулярних і вироджених гіперсмуг, смуг, поверхонь повного і неповного рангу, дотичнооснащених поверхонь. Досліджено випадки голономності багатоскладових розподілів та геометричні перетворення (афінні і проективні зв’язності), асоційовані з розподілами; виділено спеціальні класи афінних зв’язностей. Отримано двопараметричну низку стичних гіперквадрик, внутрішньо інваріантно приєднаних до гіперсмуги у диференціальному околі третього порядку; побудувано простори проективної зв’язності та двоїсті афінні зв’язності, які асоційовані з гіперсмугою. Продемонстровано застосування результатів дослідження трискладових розподілів до теорії тангенціальновироджених поверхонь проективного простору: побудовано інваріантну канонічну в’язку проективних нормалей тангенціальновиродженої поверхні в диференціальному околі третього порядку та неевклідові зв’язності, для яких знайдені форми кривини. Вказано різні способи побудови тензорів і квазітензорів другого і третього порядків утворюючих елементів образів, які розглядаються у прикладах використання отриманих результатів багатовимірних просторів до розв’язання деяких прикладних задач. Одержано геометричну інтерпретацію побудованих тензорів та квазітензорів.

В дисертаційній роботі наведені основні результати проведених наукових досліджень стосовно визначення нових геометричних моделей в багатовимірних просторах.
В роботі вперше:
1. Запропоновані, обгрунтовані та розроблені автором основи теоретичного дослідження теорії трискладових розподілів афінного простору, що дозволяють узагальнити теорію гіперсмугових розподілів, регулярних і вироджених гіперсмуг, смуг, поверхонь повного і неповного рангу, дотичнооснащених поверхонь. Побудовано поля фундаментальних геометричних об'єктів трискладового розподілу. Отримано ряд інваріантних двоїстих нормалізацій розподілу, у більшості випадків знайдено геометричний зміст отриманих нормалей. Знайдено тринадцять полів інваріантних стичних гіперквадрик.
2. Встановлено, що при інваріантній нормалізації гіперрозподілу внутрішнім чином самим Нрозподілом визначається афінна зв’язність, а будьяка інваріантна двоїста нормалізація трискладового розподілу індукує афінні зв’язності з кривиною і скрутом на розподілах, асоційованих з трискладовим розподілом. Отримано деякі геометричні результати щодо знайдених зв’язностей. Новизну містить прикладне застосування одержаних результатів в теорії гіперсмугового розподілу mвимірних лінійних елементів.
3. Вказано можливості і деякі шляхи застосування теорії трискладових розподілів до вивчення теорії регулярних гіперсмуг. Знайдено диференціальні рівняння гіперсмуг відносно рухливого автополярного нормованого репера багатовимірного простору. Визначено нормалізацію в сенсі А.П. Нордена. Знайдено аналог тензора Дарбу, визначено геометричний зміст цього тензора.
4. Досліджено фокальні багатовиди, асоційовані з H(M(L))розподілом, а також інваріантні підпростори, асоційовані з фокальними образами регулярних гіперсмуг. Введено нормалізацію базисного Lрозподілу і оснащувального Мрозподілу за А.П. Норденом. Вивчаються інваріантні оснащення гіперсмуг в сенсі Е. Картана і проективні зв'язності, індуковані побудованими інваріантними підпросторами.
5. Розроблено апарат застосування теорії трискладових розподілів до вивчення теорії тангенціальновиродженої поверхні багатовимірних просторів. Досліджено особливості одержаної у диференціальному околі третього порядку внутрішнім інваріантним чином в'язки проективних нормалей тангенціальновиродженої поверхні.
6. Встановлено бієкцію між нормалями першого і другого роду, що дозволяє одержати взаємнооднозначну відповідність однопараметричної канонічної в'язки проективних нормалей першого роду однопараметричній в'язці нормалей другого роду тангенціальновиродженої поверхні.
7. Досліджено одинадцять однозначно визначених роз-шарувань, асоційованих із тангенціальновиродженою поверхнею в неевклідовому просторі. Встановлено зв’язки між формами кривини неевклідових зв’язностей, які визначені на отриманих розшаруваннях.
8. Запропоновані та розроблені автором методи дослідження ступеня забруднення водозабору за допомогою побудованих градієнтів на прикладі розподілів, гіперсмуг та тангенціально-вироджених поверхонь багатовимірних просторів.
Отримані результати доповнюють загальну теорію розподілів однорідних просторів. Вони можуть бути використані в подальших дослідженнях в загальній теорії розподілів (розподілів mвимірних лінійних елементів, гіперсмугових розподілів і двоскладових розподілів) багатовимірних афінних і проективних просторів, а також в теорії нормальних підрозшарувань і підрозшарувань дотичного розшарування багатовидів, асоційованих з даними розподілами, при вивченні геометрії структур різних типів.