Клевцовський Арсен Володимирович Асимптотичний аналіз крайових задач в тонких областях з локальною нерегулярніс­тю

Краткое описание

Клевцовський Арсен Володимирович, молодший на­уковий співробітник відділу організації наукових дослі­джень Національного педагогічного університету імені М. П. Драгоманова: «Асимптотичний аналіз крайових задач в тонких областях з локальною нерегулярніс­тю» (01.01.02 - диференціальні рівняння). Спецрада Д
у Київському національному університеті іме­ні Тараса Шевченка

Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка
Мiнiстерство освiти i науки України
Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка
Мiнiстерство освiти i науки України
Квалiфiкацiйна наукова
праця на правах рукопису
Клевцовський Арсен Володимирович
УДК 517.956
ДИСЕРТАЦIЯ
Асимптотичний аналiз крайових задач в
тонких областях з локальною нерегулярнiстю
01.01.02 — диференцiальнi рiвняння
фiзико-математичнi науки
Подається на здобуття наукового ступеня
кандидата фiзико-математичних наук
Дисертацiя мiстить результати власних дослiджень. Використання iдей,
результатiв i текстiв iнших авторiв мають посилання на вiдповiдне
джерело А. В. Клевцовський
Науковий керiвник
Мельник Тарас Анатолiйович
доктор фiзико-математичних наук, професор
Київ – 2019

ЗМIСТ
Ст.
Вступ 10
РОЗДIЛ 1. Огляд лiтератури та методика проведення дисертацiйних
дослiджень 17
РОЗДIЛ 2. Асимптотичнi розвинення розв’язкiв лiнiйних елiптичних
крайових задач в тонких областях з локальною нерегулярнiстю 30
2.1 Асимптотичне розвинення розв’язку елiптичної крайової задачi
в двовимiрнiй тонкiй каскаднiй областi. . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.1 Постановка задачi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.2 Формальна побудова асимптотичного ряду. . . . . . . . . . . . 32
2.1.3 Повний асимптотичний розклад та обґрунтування. . . . . . . 41
2.2 Асимптотичне розвинення розв’язку елiптичної задачi в двовимiрнiй тонкiй каскаднiй областi з локальною нерегулярнiстю. . 48
2.2.1 Постановка задачi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.2 Формальнi асимптотичнi розклади. . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.3 Повний асимптотичний розклад та обґрунтування. . . . . . . 56
2.3 Асимптотичне розвинення розв’язку елiптичної крайової задачi
в тривимiрному тонкому зiркоподiбному з’єднаннi. . . . . . . . . 63
2.3.1 Постановка задачi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3.2 Формальнi асимптотичнi розклади. . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.3.3 Повний асимптотичний розклад та обґрунтування. . . . . . . 78
Висновки до роздiлу 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
РОЗДIЛ 3. Асимптотичнi розвинення розв’язкiв лiнiйних параболiчних
крайових задач в тонких областях з локальною нерегулярнiстю 89
3.1 Асимптотичне розвинення розв’язку параболiчної крайової задачi в тривимiрному тонкому зiркоподiбному з’єднаннi. . . . . . 89
9
3.1.1 Опис тонкої областi i постановка задачi. . . . . . . . . . . . . 89
3.1.2 Формальнi асимптотичнi розклади. . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.1.3 Повний асимптотичний розклад та обґрунтування. . . . . . . 107
Висновки до роздiлу 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
РОЗДIЛ 4. Асимптотичнi наближення розв’язкiв напiвлiнiйних елiптичних i параболiчних крайових задач в тонких областях з локальною нерегулярнiстю 117
4.1 Асимптотичне наближення розв’язку напiвлiнiйної елiптичної
крайової задачi в тривимiрному тонкому зiркоподiбному з’єднаннi.117
4.1.1 Постановка задачi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.1.2 Iснування i єдинiсть розв’язку. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.1.3 Формальне асимптотичне наближення. . . . . . . . . . . . . . 121
4.1.4 Обґрунтування. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.2 Асимптотичне наближення розв’язку напiвлiнiйної параболiчної
крайової задачi в тривимiрному тонкому зiркоподiбному з’єднаннi.133
4.2.1 Постановка задачi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.2.2 Iснування i єдинiсть розв’язку. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.2.3 Формальне наближення. Випадок

Список литературы

ЗАГАЛЬНI ВИСНОВКИ
В дисертацiйнiй роботi побудованi асимптотичнi наближення розв’язкiв лiнiйних i напiвлiнiйних елiптичних та параболiчних крайових задач в
тонких зiркоподiбних областях з локальною нерегулярнiстю, коли товщина
складових цих областей прямує до нуля.
Пiдсумки дисертацiйної роботи є наступними:
1. Побудовано i обґрунтовано асимптотичне розвинення розв’язку крайової задачi для рiвняння Пуассона в двовимiрнiй тонкiй каскаднiй
областi з неоднорiдними крайовими умовами Неймана на бiчних сторонах тонкої структури.
2. Побудовано i обґрунтовано асимптотичне розвинення розв’язку крайової задачi для рiвняння Пуассона в двовимiрнiй тонкiй каскаднiй
областi з локальною нерегулярнiстю та з неоднорiдними крайовими
умовами Неймана на бiчних сторонах тонкої структури.
3. Побудовано i обґрунтовано асимптотичне розвинення розв’язку крайової задачi для рiвняння Пуассона в тривимiрнiй тонкiй зiркоподiбнiй областi з локальною нерегулярнiстю та з неоднорiдними крайовими умовами Неймана на бiчних поверхнях тонких цилiндрiв.
4. Побудовано i обґрунтовано асимптотичне розвинення розв’язку лiнiйної параболiчної крайової задачi з неоднорiдними крайовими умовами Неймана в тривимiрнiй тонкiй зiркоподiбнiй областi з локальною
нерегулярнiстю.
5. Побудовано i обґрунтовано асимптотичне наближення розв’язку напiвлiнiйної елiптичної крайової задачi в тривимiрнiй тонкiй зiркоподiбнiй областi з локальною нерегулярнiстю та з нелiнiйними неоднорiдними умовами Робiна на бiчних поверхнях тонких цилiндрiв.
6. Побудовано i обґрунтовано асимптотичне наближення розв’язку напiвлiнiйної параболiчної крайової задачi з нелiнiйними неоднорiдни-
169
ми сингулярно збуреними крайовими умовами Робiна в тривимiрнiй
тонкiй зiркоподiбнiй областi з локальною нерегулярнiстю.
Таким чином, з точки зору практичного застосування, отриманi результати дозволяють замiнити складнi задачi ((2.1), (2.47), (2.93), (3.1), (4.1),
(4.35)) вiдповiдними адекватними задачами ((2.29), (2.59), (2.120), (3.25),
(4.16), (4.61), (4.92)) на графах з достатньою точнiстю, що вимiрюється
параметром