Моделирование спутникового эксперимента для определения вертикальных профилей температуры и влажности атмосферы в ИК-области спектра

Краткое описание

Оглавление.

Введение.

Глава 1. Обзор методов решения обратных задач спутниковой

метеорологии. _____________________________________ 7

1.1 Обратные задачи.________________________________ 7

1.2. Решение обратной задачи линеаризацией и обращением оператора. 13

1.3. Метод наименьших квадратов._______________________ 18

1.4. Априорная информация.__________________________ 19

1.5. Метод редукции [23,31].___________________________ 21

1.6. Наилучшая линейная несмещенная оценка [2]._____________ 24

1.7. Метод наименьших квадратов с учетом автоковариационной матрицы

ошибок [3]._____________________________________ 29

1.8 Источники нелинейности в задачах дистанционного зондирования. 30

1.9. Вариационный метод [2,3]._________________________31

1.10. Нелинейная множественная регрессия. _________________36

Выводы. ______________________________________41

Глава 2. Теория решения прямых и обратных задач дистанционного зондирования.____________________________________42

2.1. Решение задачи переноса ИК-излучения в атмосфере.________42

2.2. Полинейный расчет коэффициентов поглощения.___________50

2.3. Расчет континуального поглощения водяным паром._________53

2.4. Выбор спектральных частот (каналов) для восстановления профилей температуры и поглощающих субстанций атмосферы.__________55

2.5. Расчет производных коэффициентов поглощения.___________ 61

2.6. Расчет вариационных производных функционала прямой задачи. _ 63

2.7. Расчет вариации функционала прямой задачи при помощи метода сопряженных уравнений. _____________________________71

2.8. Построение линейных операторов прямой задачи.___________80

2.9. Учет взаимных и внутренних корреляционных связей профилей

температуры и влажности. Фильтрация предиктанта по ЭОФ.______82

Выводы. ______________________________________83

Глава 3. Численные эксперименты.______________________84

3.1. Используемые данные наблюдений.___________________84

3.2. Расчет ЭОФ совместного вектора._____________________84

3.3. Выбор частот измерений.___________________________88

3.4. Оценка нелинейности задачи._______________________90

3.5. Восстановление профилей температуры и влажности при использовании лианеризованной системы уравнений. Наилучшая несмещенная оценка с фильтрацией предиктанта по ЭОФ.________92

3.6. Решение обратной задачи методом редукции при неизвестном и известном операторе._______________________________93

3.7. Решение обратной задачи нелинейной множественной регрессией. _ 94

3.8. Решение обратной задачи вариационным методом.___________95

3.9. Исследование чувствительности различных методов решения обратных задач к ошибкам измеряемых сигналов.____________100

3.10. Чувствительность прямой модели AIRS к спектральной стабильности измерительных каналов.____________________________ 104

3.11. Чувствительности решения обратной задачи к спектральной стабильности измерительных каналов.___________________105

3.12. Учет возможности сдвига частот при решении обратной задачи. _ 107 Выводы. _______________________________________ 108

Заключение ПО

Список литературы________________________________112
Введение

Введение.

Невозможно представить себе современную метеорологию и моделирование климата без спутниковых систем, позволяющих измерять значительное количество параметров атмосферы и океана и имеющих глобальное пространственное покрытие. Спутниковая аппаратура постоянно

ч

совершенствуется, возрастают точность измерений, спектральное и пространственное разрешение.

Для эффективного использования современных многоканальных спутниковых систем необходимы новые методы решения обратных задач обработки полученной информации, учитывающие нелинейные связи между измерениями и восстанавливаемыми параметрами. Поэтому первая цель данной работы это построение высокоточных методов решения обратной задачи восстановления температуры поверхности океана, профилей температуры и влажности атмосферы по спутниковым измерениям в ИК-области спектра. Кроме того, представляет интерес проведение сравнительного анализа различных методов, изучение их чувствительности к ошибкам измерения, обусловленным несовершенством аппаратуры.

Чтобы эффективно решать обратную задачу восстановления характеристик атмосферы и подстилающей поверхности по измерениям современных многоканальных ИК-радиометров, необходима методика оптимального выбора измерительных каналов. В диссертации предлагаются подходы, позволяющие решить эту проблему.

Еще одной целью диссертационной работы является исследование и сведение к минимуму чувствительности решения прямой и обратной задачи для современных ИК-радиометров (например, AIRS) к ошибкам сдвига частоты измерительных каналов. Эта проблема обусловлена возросшим спектральным разрешением современных измерительных систем и, как следствие, значительно возросшей чувствительностью к сдвигу частот измерительных каналов.

В первой главе диссертации рассматриваются основные подходы, позволяющие решать обратные задачи дистанционного зондирования, содержится обзор теоретических работ по решению обратных задач.

Вторая глава содержит физические аспекты решения прямой и обратной задач, здесь приведены теория расчета коэффициентов поглощения, теория решения прямой и обратной задачи, а также рассчитываются линейные операторы, аппроксимирующие прямую задачу. Во второй главе предложена методика выбора измерительных частот.

Третья глава описывает проведенные численные эксперименты по решению обратной задачи восстановления температуры поверхности океана, а также профилей температуры и влажности атмосферы.

Глава 1. Обзор методов решения обратных задач спутниковой

метеорологии.

1.1 Обратные задачи.

Существует два метода проведения измерений: непосредственно (in situ) и дистанционно. Основное достоинство непосредственных измерений в том, что они производятся без каких-либо сложных промежуточных методов обработки данных. Примером прибора, непосредственно измеряющего характеристики атмосферы, является радиозонд - шар, обычно наполненный гелием, измеряющий вдоль траектории своего движения основные параметры атмосферы (температуру, газовый состав, давление). Основная проблема таких измерений возникает, когда измеряемый объект недоступен или труднодоступен, или имеет большие пространственные размеры. Например, верхняя стратосфера труднодоступна для непосредственных измерений. То есть прямые методы обычно имеют жесткие пространственные и временные ограничения.

Этого недостатка практически лишены методы другого типа -дистанционные. Например, спутниковые измерения параметров атмосферы. Основное достоинство дистанционных измерений, это гораздо лучшее временное и пространственное покрытие. К недостаткам можно отнести сложность их проведения и получения конечных параметров среды. Основная проблема таких методов состоит в том, что они не измеряют непосредственно значение физических величин, например, температуры, а измеряют значение другой физической величины, в случае спутников - интенсивности излучения. Эти две физические величины могут быть связаны сложной зависимостью, и восстановление одной величины по другой может быть непростой математической задачей. Обработка дистанционных измерений приводит к классу математических задач, называемому обратными задачами.

Пусть имеются среда и прибор, который измеряет некую физическую величину, характеризующую состояние среды. Тогда задачу определения

показаний прибора по известному состоянию среды называют прямой, а задачу восстановления состояния среды по показаниям прибора - обратной. Именно обратные физические задачи представляют наибольший интерес. Основной проблемой при их решении является их некорректность.

В математической физике хорошо известно, что подавляющее большинство обратных задач являются некорректно поставленными - малым возмущениям исходных данных (измерений) могут соответствовать сколь угодно большие возмущения решения (состояния системы) [5, 8]. Определение корректной задачи по Адамару [15, 16] следующее: задача называется корректно поставленной, если:

1) ее решение существует,

2) решение единственно и

3) решение непрерывно зависит от входных данных, то есть устойчиво по отношению к малым возмущениям (ошибкам) данных наблюдений.

Если хотя бы одно из этих трех условий не выполняется, задача называется некорректно поставленной.

Наиболее часто в случае обратных задач нарушается условие 3, то есть условие устойчивости решения. В этом случае возникает парадоксальная ситуация: несмотря на то, что задача математически поставлена, ее решение невозможно получить обычными методами. Решение, которое испытывает формально бесконечно большие возмущения при малых возмущениях результатов наблюдений, всегда получаемых с некоторой ошибкой, смысла не имеет. Проблема заключается в том, что по существу все задачи обработки и интерпретации данных дистанционного зондирования, астрономических наблюдений и результатов многих физических экспериментов, являются обратными и, как правило, некорректно поставленными.

До появления современных научно обоснованных методов решения обратных задач исследователь либо, используя детальную физическую модель изучаемого явления, сводил обратную задачу к нахождению небольшого числа параметров, либо, основываясь на физической интуиции, отбирал из множества

допустимых решений то, которое лучше всего соответствует здравому смыслу. Однако такие результаты решения обратной задачи можно подвергать критике: в первом случае часто бывает так, что физическая модель, допускающая жесткую параметризацию решения, не отвечает используемым данным наблюдений. Во втором случае выбор решения субъективен, что нехарактерно для научного метода исследований.

Математически под обратной задачей понимается задача отыскания функции z(s) по функции и(х), получаемой из эксперимента или наблюдений, из уравнения вида

u(x) = A[X,z(s)], (1.1.1)

где А есть некоторый оператор, устанавливающий причинно-следственную связь между z(s) и и(х). В уравнении (1.1.1) по наблюдаемым следствиям и(х) процесса мы должны судить о причинах z(s), породивших его.

Во многих случаях обратная задача может быть представлена интегральным уравнением Фредгольма 1-го рода

ъ u(x)=^K(x,s)z(s)ds (1-1.2)

а

где К(х, s) - ядро (непрерывное или квадратично суммируемое по переменным х, s), которое описывает конкретную модель исследуемого процесса.

Математические трудности решения обратных задач связаны с тем, что обратный оператор А'1 , определяемый уравнением (1.1.1), не является непрерывным. Поэтому если данные наблюдений и(х) получены с некоторой ошибкой д (обозначим приближенные данные символом щ(х)), то

соответствующее приближенное решение, полученное стандартным методом,

zs{s) = A-x[us(x)\ (1.1.3)

будет сколь угодно сильно отклоняться от решения, соответствующего идеально точным входным данным и(х).

Предлагаемые ранее методы решения обратных некорректных задач основывались прежде всего на интуиции авторов, и хотя в ряде случаев удавалось получить важную физическую информацию, необходимость в

9

строгой математической постановке и разработке численных методов решения этого важнейшего для современного естествознания круга проблем остро назрела к 60-м годам, особенно в связи с широким внедрением компьютеров в практику научных исследований.

Методы решения некорректных задач получили интенсивное развитие в 60-е годы. Определяющую роль здесь сыграли работы А.Н. Тихонова [17], М.М. Лаврентьева [18], В.К. Иванова [19] и других математиков. Сейчас можно говорить о научных школах, в частности А.Н. Тихонова, которые создали математическую теорию некорректно поставленных задач, разработали методы их решения (регуляризирующие алгоритмы).

Некорректно поставленные задачи рассматриваются как физически недоопределенные. Они плохо поставлены, множества их приближенных решений очень широки, даже неограниченны. Поэтому некорректные задачи нужно доопределить. Для этого необходима дополнительная информация об искомом решении z(s), вытекающая из обширного опыта всесторонних исследований данного процесса. Важно подчеркнуть, что эта дополнительная информация об искомом решении должна быть известна a priori, до решения соответствующей некорректной задачи. Априорная информация позволяет сформулировать критерий отбора приближенного решения из множества приближенных решений уравнения (1.1.1) и построить регуляризирующий алгоритм. Такой информацией могут служить априорные сведения о гладкости искомого решения z(s), его монотонности, выпуклости, неотрицательности, принадлежности к конечно-параметрическому семейству и т. п.

На рисунке 1 приведен пример точного (а) и приближенного (б) решения некорректной задачи - интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода (1.1.2) с ядром K(x,s)=V(l+lOO(x-s)2) [8].

Сплошной линией представлено точное решение z(s), которое было задано заранее. Это решение подставлялось под знак интеграла в уравнение (1.1.2) и вычислялась соответствующая ему функция и(х) - идеально точные "входные данные" обратной задачи (1.1.2). Затем в полученную функцию и(х)

10

вносилась погрешность S = 3% от максимального значения и решалась обратная задача: по возмущенной функции щ(х) находилось приближенное решение zs(s). Приближенное решение zs(s) (точки), представленное на рисунке 1а, получено с помощью регуляризирующего алгоритма, использующего априорную информацию о выпуклости искомого решения z(s). При попытке решить эту же задачу без регуляризации (рисунок 16) получаются сколь угодно большие отклонения "приближенного решения" (точки) от истинного. Так проявляется некорректность обратной задачи (1.1.2).

В настоящее время развитая теория решения некорректно поставленных задач успешно применяется для решения многих обратных задач оптики, спектроскопии, астрофизики, оптимального планирования и т.п.

Важно отметить, что регуляризирующие алгоритмы гарантируют сходимость последовательности приближенных решений к точному решению обратной задачи, то есть при стремлении ошибки наблюдений к нулю приближенное решение стремится к точному.

Исследованию задачи восстановления профиля температуры и состава атмосферы посвящено много работ (см., например, [1,4, 6, 7, 9]).

В работе [1] были введены сильные упрощения, что позволило аналитически исследовать задачу восстановления профиля температуры. В следующем разделе приведены результаты этого анализа.

11

О 0.2 0.4 0,6 0.8 1.0 s

Рисунок 1. Результаты решения обратной задачи, описываемой интегральным уравнением (2) с ядром ^x,^2

12

1.2. Решение обратной задачи линеаризацией и обращением оператора.

Наиболее простой подход к решению задачи восстановления профиля температуры это лианиризация уравнения переноса и нахождение прямого решения.

Предположим, согласно Роджерсу [1], что мы имеем измерения сигнала /„, представляющие собой интенсивности излучения атмосферы от уровня 0 до

°°, измеренные на разных частотах v. Путь измерения проводятся в надир, в этом случае отсутствует сигнал, отраженный от поверхности, и пусть известна температура поверхности, что позволяет вычесть из сигнала вклад излучения поверхности. Тогда, для равновесной нерассеивающей атмосферы, измеряемый сигнал может быть представлен в виде:

?л, (1.2.1)

здесь B(y,T{z)) - функция Планка, являющаяся простой функцией температуры и частоты v, r(v,z) - функция пропускания атмосферы от высоты z до бесконечности. Пусть, кроме того, функция пропускания не зависит от температуры и у нас имеется набор измерений на частотах v1,v2,...,vM, расположенных в окреснтости некоторой частоты г(это позволит нам установить однозначное соответствие между функцией Планка B(v,z) и T(z)). Таким образом, у нас имеется Мизмерений:

/,. = IVi = \В(Г,Т(2))К,{2)