Пишнограєв Іван Олександрович. Оптимальне керування та мінімаксне оцінювання для параболо-гіперболічних рівнянь з точковими нелокальними крайовими умовами

Краткое описание

Пишнограєв Іван Олександрович. Назва дисертаційної роботи: "Оптимальне керування та мінімаксне оцінювання для параболо-гіперболічних рівнянь з точковими нелокальними крайовими умовами"

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ "КИЇВСЬКИЙ
ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ"
На правах рукопису
ПИШНОГРАЄВ ІВАН ОЛЕКСАНДРОВИЧ
УДК 517. 977
ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ ТА МІНІМАКСНЕ ОЦІНЮВАННЯ
ДЛЯ ПАРАБОЛО-ГІПЕРБОЛІЧНИХ РІВНЯНЬ З ТОЧКОВИМИ
НЕЛОКАЛЬНИМИ КРАЙОВИМИ УМОВАМИ
01.05.04 - системний аналіз і теорія оптимальних рішень
Дисертація на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Науковий керівник
д.ф.-м.н.,професор,
Капустян Володимир Омелянович
Київ – 2016
2
ЗМІСТ
ВСТУП 5
1 РОЗДІЛ 1. ОГЛЯД ЛІТЕРАТУРИ І ДОПОМІЖНІ РЕЗУЛЬТАТИ 10
1.1 Огляд лiтератури 10
1.2 Позначення, простори та визначення 16
1.3 Рiвняння з додатньо визначеними операторами 18
1.4 Гладкiсть розв’язкiв iнтегральних рiвнянь Фредгольма другого роду 20
1.5 Опис фiзичного процесу 21
2 РОЗДIЛ 2. ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ ДЛЯ НАПIВВИЗНАЧЕНОГО
КРИТЕРIЯ ЯКОСТI 23
2.1 Розв’язання неоднорiдного параболо-гiперболiчного рiвняння 23
2.1.1 Формальне розв’язання 23
2.1.2 Умови iснування єдиного розв’язку крайової задачi 30
2.1.3 Альтернативнi початковi умови для крайової задачi 36
2.2 Постановка задачi. Формальне розв’язання задачi
оптимальногокерування 37
2.3 Обґрунтуванняформальногорозв’язку 45
2.4 Наближене керування 50
2.4.1 Теореми збiжностi керування 50
2.4.2 Обчислювальнi експерименти 55
2.5 Висновки до роздiлу 2 57
3 РОЗДIЛ 3. ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ З ЗАГАЛЬНИМ
КВАДРАТИЧНИМ КРИТЕРIЄМ ЯКОСТI 58
3
3.1 Розподілене керування 58
3.1.1 Постановка задачi. Умови оптимальностi 58
3.1.2 Обґрунтування результатiв 71
3.1.3 Наближене керування 73
3.1.4 Квазiоптимальне керування 74
3.1.5 Обчислювальний експеримент 81
3.2 Роздiлене керування 83
3.2.1 Постановка задачi. Умови оптимальностi 83
3.2.2 Обґрунтування результатiв 85
3.2.3 Наближене керування 92
3.2.4 Обчислювальний експеримент 99
3.3 Висновки до роздiлу 3 100
4 РОЗДIЛ 4. МIНIМАКСНЕ ОЦIНЮВАННЯ ЛIНIЙНИХ
ФУНКЦIОНАЛIВ, ВИЗНАЧЕНИХ НА РОЗВ’ЯЗКАХ
ПАРАБОЛО-ГIПЕРБОЛIЧНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ 102
4.1 Розподілене спостереження 102
4.1.1 Постановка задачi. Формальне розв’язання 102
4.1.2 Обґрунтування 113
4.2 Розділене спостереження 133
4.2.1 Постановка задачi. Формальне розв’язання 133
4.2.2 Обґрунтування 140
4.3 Висновки до роздiлу 4 144
ВИСНОВКИ 145
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ 147
4
ДОДАТКИ 158
Додаток 1. Позначення в умовах оптимальностi для квадратичного
критерiю 158
Додаток 2. Позначення в умовах оптимальностi для квазiоптимального
керування 166
5
ВСТУП
Актуальність теми. Теорія керування відвойовує для себе все більше
місця в сучасній науці. Результати досліджень в цьому напрямку можна
побачити в таких сферах, як економіка
Ошибка! Источник ссылки не найден., фізика
Ошибка! Источник ссылки не найден. тощо. Математичні моделі, для яких
досліджуються задачі керування стають все складнішими.
Дуже важливими в теорії оптимального керування для рівнянь
математичної фізики виявляються процеси, що описуються диференційними
рівняннями змішаного типу. Їх вивчення є складною задачею теорії рівнянь з
частинними похідними, а необхідність їх дослідження продиктована
численними практичними застосуваннями в газовій динаміці, теорії
нескінченно малих згинань поверхонь, в теорії оболонок, в магнітній
гідродинаміці, в теорії електронного розсіювання, в прогнозуванні рівня
ґрунтових вод, в математичній біології та інших областях. Такі задачі, як
довгострокове прогнозування та регулювання ґрунтових вод,
тепломасопереносу з кінцевою швидкістю, руху рідини, ща мало стискається і
оточена пористим середовищем, оптимального керування агроекосистемами,
призводять до крайових задач саме з частинними похідними. Дані задачі для
рівнянь параболо-гіперболічного типу вивчались багатьма авторами. Зокрема,
в Ошибка! Источник ссылки не найден. була розглянута задача про рух газу
по каналу з пористим навколишнім середовищем, при цьому в каналі рух
описувався хвильовим рівнянням, а ззовні – рівнянням дифузії.
Вивченням теорії задач для рівнянь змішаного типу займались А.В.
Біцадзе, Л. Берс, О.А. Ладиженська, Т.Д. Джураєв, К.Б. Сабітов, Ф.І. Франкль,
С.П. Пулькін, А.М. Нахушев, S. Agmon, L. Nirenberg, M.N. Protter, Хе Кан Чер
6
та ін.
З іншого боку нелокальні умови, що виникають при заміні класичних
крайових умов на умови зв'язку функції на межі області та усередині неї,
також активно вивчаються в наш час. Такі науковці, як О.А. Самарський, А.М.
Нахушевич, М.І. Іонкін, В.А. Ільїн, Є.І. Моісєєв, К.Б. Сабітов та ін.,
розглянули цілу низку задач з нелокальними умовами.
Дослідження задач оптимального керування для параболо-гіперболічних
рівнянь з нелокальними точковими крайовими умовами до сьогодення нам
невідомі. Це обумовлено складністю об’єкту дослідження. Наприклад,
наявність точки переключення унеможливлює пошук керування з оберненим
зв’язком.
Таким чином, актуальність теми дисертаційної роботи обґрунтована як
потребами теоретичного узагальнення класичних задач, так i прикладним
характером даного класу задач.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.
Обраний напрям досліджень пов'язаний з тематикою наукових досліджень
кафедри математичного моделювання економічних систем Національного
технічного університету України «КПІ» у межах наукової теми: «Розробка
нових алгоритмів теорії оптимального керування та їх застосування в
моделюванні економічних систем» (державний номер реєстрації –
0113U001985).
Мета дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка методів
розв’язання задач оптимального керування та мінімаксного оцінювання для
параболо-гіперболічних крайових задач з точковими нелокальними крайовими
умовами.
Ціль та задачі дослідження. Для досягнення поставленої мети в
роботі вирішувались наступні задачі:
7
1) знайти та дослідити розв'язки неоднорідного парабологіперболічного рівняння з точковими нелокальними крайовими умовами;
2) знайти та дослідити розв’язки задачі з напіввизначеним критерієм для
розділеного керування, використовуючи метод відокремлення змінних;
3) знайти та дослідити розв’язки задачі з загальним квадратичним
критерієм в спеціальній нормі для розподіленого та розділеного керувань;
4) довести збіжність наближених розв’язків задачі з напіввизначеним та
загальним квадратичним критерієм в спеціальній нормі для розділеного та
розподіленого керування;
5) розв’язати задачу мінімаксної оцінки лінійних функціоналів, що
задані на розв'язках параболо-гіперболічних крайових задач.
Об'єктом дослідження керовані процеси, які описуються
параболо-гіперболічними крайовими задачами з нелокальними крайовими
умовами.
Предметом дослідження аналітичні та чисельні методи побудови
алгоритмів оптимальної поведінки розв’язків параболо-гіперболічних рівнянь
з точковими нелокальними крайовими умовами.
Методи дослідження. Для розв’язання поставлених у роботі задач
використовується апарат теорії диференціальних рівнянь в частинних
похідних, методи функціонального аналізу, оптимального керування,
варіаційного аналізу та чисельного аналізу.
Наукова новизна отриманих результатів. Наукова новизна роботи
визначається наступними результатами:
вперше:
• для розділеного обмеженого керування розв’язано задачу
оптимального керування для параболо-гіперболічного рівняння з
нелокальними точковими крайовими умовами і напіввизначеним критерієм
8
якості, отримано умови існування та єдиності розв'язку;
• для розподіленого та розділеного керування розв’язано задачу
оптимального керування для параболо-гіперболічного рівняння з
нелокальними точковими крайовими умовами і загальним квадратичним
критерієм якості в спеціальній нормі, знайдені умови існування та єдиності
розв'язку.
набуло подальшого розвитку:
• розв’язано крайову задачу для неоднорідного параболо-гіперболічного
рівняння з точковими нелокальними умовами, знайдено умови на вихідні
функції, що гарантують існування і єдиність розв'язку крайової задачі;
• доведено збіжність наближених розв'язків для задач оптимального
керування з загальним квадратичним і напіввизначеними критеріями;
• розв'язано задачу мінімаксної оцінки лінійних функціоналів, що задані
на розв'язках параболо-гіперболічних крайових задач, для розподіленого і
розділеного спостережень.
Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації
були представлені та доповідалися на:
1. 2nd international scientific conference “The nonlinear analysis and
application 2012”, April 4-6, 2012, Kyiv, Ukraine.
2. Международная летняя математическая школа памяти В.А.
Плотникова, 15-22 июня 2013 г., Одесса, Украина.
3. П'ята наукова конференція магістрантів та аспірантів "Прикладна
математика та комп'ютинг", 20-23 квітня 2013 р., Київ, Україна.
4. Third international conference of students, postgraduates and young
scientists "Theoretical and applied aspects of cybernetics", November 25-29, 2013,
Kyiv, Ukraine.
5. 16-th International conference on System Analysis and Information
Technologies SAIT 2014, Institute for Applied System Analysis of National
9
Technical University of Ukraine “KPI”, Kyiv, Ukraine, May 26–30, 2014.
6. 3nd international scientific conference “The nonlinear analysis and
application 2015”, April 1-3, 2015, Kyiv, Ukraine.
7. XXV International Conference "Problems of decision making under
uncertainties" (PDMU-2015), Skhidnytsia, May 11-15, 2015.
Матеріали дисертації неодноразово обговорювалися на наукових
семінарах кафедри математичного моделювання економічних систем
(2012-2015 рр.), Світового центру даних з геоінформатики та сталого розвитку
(2014 р.).
Публікації. Основні положення, результати та висновки наукової
роботи автора висвітлено в 14 наукових працях (7 статей у збірниках наукових
праць та журналах, з яких 5 – у фахових виданнях України, 2 – у виданнях
іноземних держав, 2 - у виданнях, що входять до міжнародних
наукометричних баз, та 7 тез доповідей на конференціях). Загальний обсяг
публікацій становить 4,98 друк. арк. (з них особисто автору належить 4,1 друк.
арк.)
Структура та об'єм дисертації. Відповідно до поставленої мети та
визначених завдань дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох
розділів, висновків, списку використаних джерел із 82 найменувань (на 11
стор.), 2 додатків (на 13 стор.), 8 рисунків. Обсяг основного тексту дисертації
складає 157 стор.

Список литературы

ВИСНОВКИ
В дисертації розв'язані задачі оптимального керування та мінімаксного
оцінювання для параболо-гіперболічних рівнянь з точковими нелокальними
крайовими умовами. Даний клас крайових задач має певні особливості: їх
інтегральне представлення по базисам Рісса залежить від точкового значення
керування.
1) При фіксованому керуванні розв'язана неоднорідна крайова задача
методом відокремлення змінних за деякою біортогональною системою,
породженою диференційним оператором та нелокальними крайовими
умовами. Встановлено, що її розв’язок залежить від локального значення
керування, що приводить до необхідності пошуку керування по
“параболічній” частині з класу абсолютно неперервних функцій. Наведені
умови класичної розв'язності.
2) Задача оптимального керування з напіввизначеним критерієм зведена
до послідовності одновимірних та двовимірних задач методом відокремлення
змінних за базисом Рісса. Отримано умови оптимальності та визначено їх
формальний розв'язок. Розглянуті випадки обмежених і необмежених
керувань. Для задачі оптимального керування знайдені умови на вихідні дані,
які гарантують класичну розв'язність керованої задачі. Обґрунтовано вид
критерію якості.
3) Задача з розподіленим і розділеним керуваннями та загальним
квадратичним критерієм в спеціальній нормізведена до послідовності
скінченновимірних. Наведені умови оптимальності, розв’язність яких
встановлюється за допомогою того, що вони породжують додатньо
визначений оператор в деякому декартовому добутку гільбертових просторів.
Потрібна гладкість керувань досягається використанням самих умов
148
оптимальності та апріорних оцінок. Розглянуті прості випадки, в яких можна
отримати явний вид розв'язків. Для розподіленого керування отримано умови
оптимальності для квазіоптимального керування, коли двовимірні задачі
роглядаються послідновно спочатку для непарних коефіціентів розкладу, а
потім – для парних.
4) Для знаходження наближених розв’язків задач оптимального
керування для параболо-гіперболічних рівнянь з напіввизначеним та
загальним квадратичним критеріями якості обґрунтовано можливість заміни
нескінченних рядів скінченною кількістю їх членів. Чисельні експерименти
ілюструють релаксацію наближених розв'язків.
5) Для розподіленого та розділеного спостережень задача мінімаксного
оцінювання зведена до задач оптимального керування. Отримано умови
існування розв'язків даних задач та вихідної задачі мінімаксного оцінювання.
Наведені мінімаксні апріорні оцінки, представлені через розв’язки
спеціальних крайових задач.