Ряшко Лев Борисович. Нелинейные стохастические колебания : устойчивость, чувствительность, управление

Краткое описание

Ряшко Лев Борисович. Нелинейные стохастические колебания : устойчивость, чувствительность, управление : диссертация ... доктора физико-математических наук : 05.13.01.- Екатеринбург, 2006.- 271 с.: ил. РГБ ОД, 71 07-1/170

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. А.М.ГОРЬКОГО

*г
На правах рукописи РЯШКО Лев Борисович
НЕЛИНЕЙНЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ:
УСТОЙЧИВОСТЬ, ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ,
УПРАВЛЕНИЕ
05.13.01 - системный анализ, управление и обработка информации
Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Екатеринбург - 2006

Оглавление
Введение 4
1 Среднеквадратичная устойчивость 39
1.1 Инвариантные многообразия. Стохастическая устойчивость 39
1.2 Квадратичные функции Ляпунова. Критерий ЭСК-устойчивости . . 42
1.3 Стохастические линейные расширения. Р-устойчивость 45
1.4 Функции Ляпунова для стохастических линейных расширений. Крите¬рий Р-устойчивости 50
1.5 Теорема о стохастической устойчивости по первому приближению ... 55
1.6 Спектральный критерий 57
1.6.1 Системы с шумами второго типа. Оценки спектрального ради¬
уса оператора V 62
1.7 Устойчивость точки покоя 67
1.8 Устойчивость цикла 72
1.8.1 Случай цикла на плоскости 76
1.9 Устойчивость 2-тора 78
1.9.1 Случай 2-тора в трехмерном пространстве 84
1.10 Устойчивость линейных стохастических систем с периодическими ко¬
эффициентами 88
2 Стохастическая чувствительность 98
2.1 Функция стохастической чувствительности 98
2.1.1 Квазипотенциал и его аппроксимация 99
2.1.2 Параметризация функции стохастической чувствительности . . 101
2.1.3 Связь с системами первого приближения 103
2.2 Стохастическая чувствительность точки покоя 108
2.2.1 Системы с ненормальными матрицами 112
2.2.2 Индуцированный шумами переход к турбулентности 114
2.2.3 Стохастическая генерация магнитного поля галактик 120
2.3 Стохастическая чувствительность циклов 127
2.3.1 Итерационный метод 129
2.3.2 Чувствительность 2£>-циклов 132
2.3.3 Стохастический осциллятор Ван-дер-Поля 135
2

2.3.4 Брюсселятор с возмущениями: неравномерная чувствительность
и хаос 140
2.3.5 Чувствительность ЗЛ-циклов 150
2.3.6 Стохастическая модель Ресслера 155
2.3.7 Стохастическая модель Лоренца 165
2.3.8 Разложение функции стохастической чувствительности по ма-лому параметру 176
2.4 Стохастическая чувствительность 2-торов 182
2.4.1 Чувствительность 2-тора в трехмерном пространстве 185
3 Стабилизация 193
3.1 Стабилизация инвариантных многообразий 193
3.2 Стабилизация точки покоя 197
3.3 Стабилизация цикла 202
3.3.1 Случай цикла на плоскости 203
3.4 Стабилизация 2-тора 207
3.5 Стабилизация линейных стохастических систем с периодическими ко¬эффициентами 209
4 Управление стохастической чувствительностью 215
4.1 Управление чувствительностью инвариантных многообразий 215
4.2 Управление чувствительностью точки покоя 221
4.3 Управление чувствительностью циклов 231

4.3.1 Случай цикла на плоскости 233
4.3.2 Брюсселятор с возмущениями: управление чувствительностью
и подавление хаоса 237
Заключение 244
Литература 247
3

Введение
Диссертация посвящена анализу устойчивости, чувствительности и возможностей управления в стохастически возмущенных нелинейных ди-намических системах. Объектом исследования являются компактные ин-вариантные многообразия, связанные с точками покоя, периодическими и квазипериодическими решениями стохастических дифференциальных уравнений.
Исследования последних лет показали, что разнообразие, наблюда-емое в поведении нелинейных динамических систем, можно свести к анализу относительно простых инвариантных многообразий и их каче-ственных преобразований (бифуркаций). Так, например, одним из стан-дартных сценариев перехода от порядка к хаосу [19], [101] служит цепь последовательных бифуркаций: положение равновесия (точка покоя) -периодические колебания (цикл) - квазипериодические колебания (тор) -хаотические колебания (странный аттрактор). Каждый такой переход сопровождается потерей устойчивости простого многообразия и рожде-нием нового, более сложного устойчивого многообразия. Присутствие случайных возмущений, связанных как с внешними неконтролируемы¬ми воздействиями, так и внутренними параметрическими флуктуаци-ями, может существенно повлиять на тонкий механизм бифуркаций и вызвать неожиданные качественные изменения в поведении системы. Анализ стохастической устойчивости соответствующих колебательных режимов является здесь ключевым моментом в понимании механизма сложных явлений нелинейной динамики. Разработка методов управле¬ния даст возможность, придавая аттракторам те или иные желаемые вероятностные свойства, решать важные прикладные задачи синтеза си-стем с требуемыми наперед заданными характеристиками.
4

В современной теории случайных процессов имеется большое количе-ство различных динамических моделей, отражающих те или иные веро-ятностные особенности исследуемых реальных систем. В данной работе рассматривается классическая модель - система стохастических диффе-ренциальных уравнений Ито. Первым примером стохастического диффе-ренциального уравнения в физике было уравнение Ланжевена [67],[230], которое оказалось идейно связано с предложенной Эйнштейном и Смо-луховским [131] конструкцией броуновского движения. Развитие мате¬матической теории броуновского движения, начатое в работах Винера [279] и Леви [68], привело к разработке его формальных моделей - вине-ровского процесса и мартингала.
Построение теории стохастических дифференциальных уравнений с использованием соответствующих разностных уравнений дано в работах С.Н. Бернштейна [20] и И.И. Гихмана [31]. Другой подход, опирающийся на конструкцию стохастического интеграла но винеровскому процессу, использовал Ито [45],[213]. Его простое и удобное построение решения стохастического уравнения и соответствующее стохастическое исчисле¬ние (формула Ито) является общепринятым и хорошо представлено в научно-методической литературе (см. [33],[41],[78],[79],[107],[140]). Систе¬ма стохастических уравнений Ито служит базовой моделью в современ¬ной теории стохастической устойчивости и управления [13],[28],[61],[65], [124],[127],[129],[141],[286]. Дальнейшая разработка стохастического ана¬лиза привела к появлению новых конструкций и более общих схем (ин¬теграл Стратоновича [120], интегралы по мартингалам и точечным про¬цессам [27]), позволяющих существенно расширить класс стохастических дифференциальных уравнений. В настоящее время стохастические диф¬ференциальные уравнения имеют хорошо разработанную формальную математическую теорию и разнообразные приложения.
Современная математическая теория устойчивости и управления сто-хастическими системами охватывает широкий круг актуальных задач, включает большое число разнообразных методов, имеет прочные свя¬зи с другими разделами математики и многочисленные приложения. Ее становление относится к шестидесятым годам ХХ-го столетия и свя¬зано с именами Н.Н. Красовского, Р.З. Хасьминского, Г.Дж. Кушнера
5

(Y.J. Kushner), У.Флеминга (W.H. Fleming). Существенный вклад в ее дальнейшее развитие внесли В.Н. Афанасьев, И.И. Гихман, Л.Г. Евла-нов, И.Я. Кац, В.Б. Колмановский, В.М. Константинов, Д.Г. Корепев-ский, Н.В. Крылов, А.Б. Куржанский, М.Б. Левит, Э.А. Лидский, Г.Н. Милынтейн, М.Б. Невельсон, П.В. Пакшин, А.В. Скороход, Е.Ф. Царь¬ков, Ф.Л. Черноусько, Л.Е. Шайхет, М. Aoki, L. Arnold, K.J. Astrom, J.E. Bertram, R.S. Bucy, M.H.A. Davis, U.J. Haussman, D.L. Kleinman, F. Kozin, X. Mao, P.J. McLane, J.S. Meditch, T. Morozan, RE. Sarachik, T. Sasagava, E. Tse, J.L. Willems, W.M. Wonham и многие другие ученые.
Теория стохастической устойчивости отличается разнообразием задач и методов их решения. Это связано с двумя обстоятельствами: существо-ванием большого количества типов вероятностных динамических моде-лей и наличием нескольких различных видов стохастической устойчи-вости. Тематика диссертации примыкает к той части этой теории, в ко-торой для инвариантных многообразий стохастических дифференциаль-ных уравнений Ито исследуется экспоненциальная устойчивость в сред-нем квадратичном методом стохастических функций Ляпунова.
Метод стохастических функций Ляпунова, начиная с основополагаю-щих работ [48],[59], является теоретическим фундаментом анализа устой-чивости и стабилизации стохастических систем. Этот метод позволил не только распространить на стохастические уравнения базовые конструк-ции классической теории детерминированной устойчивости, но и полу-чить новые интересные результаты, отражающие особенности, присущие только вероятностным системам.
Случай, когда инвариантное многообразие есть точка покоя, рассмат-ривается давно, достаточно хорошо исследован и имеющиеся здесь ре-зультаты уже составляют глубоко разработанную часть общей теории стохастической устойчивости нелинейных динамических систем.
Следующим за точкой покоя в цепи бифуркаций инвариантных мно-гообразий является предельный цикл. Предельный цикл является ма-тематической моделью автоколебаний, наблюдаемых в системах самой различной природы - электронных генераторах, механических конструк-циях, химических реакциях, сообществах живых организмов. Исследова-ние детерминированной устойчивости периодических решений на плос-
б

кости началось с работ Ляпунова и Пуанкаре. Для предельных цик¬лов многомерных систем основные результаты детерминированного ва¬рианта теории устойчивости (теорема Андронова-Витта и ее аналоги [7],[38],[50],[126]) были получены с помощью теории Флоке в русле пер¬вого метода Ляпунова еще в 30-х годах. Соответствующие конструкции функций Ляпунова необходимые для анализа устойчивости стохастиче¬ски возмущенных предельных циклов долгое время отсутствовали.
Исследование воздействий случайных возмущений на поведение авто-колебаний нелинейных систем было начато в классической работе Л.С. Понтрягина, А.А. Андронова, А.А. Витта [109]. В дальнейшем эти иссле-дования были продолжены в большом числе работ и отражены в моно-графиях [8],[10],[23],[40],[90],[111],[119],[212],[269], посвященных флуктуа-циям в радиофизических и механических системах.
Под воздействием стохастических возмущений случайные траектории системы покидают замкнутую орбиту детерминированного предельного цикла и формируют вокруг него некоторый пучок. Благодаря устойчиво-сти цикла плотность распределения вероятности случайных состояний в этом пучке стабилизируется. Установившееся вокруг цикла стационарное вероятностное распределение определяет соответствующий стохастиче-ский аттрактор - стохастический предельный цикл. Для теории случай¬ных нелинейных колебаний несомненный интерес представляют исследо¬вания стохастических предельных циклов как вблизи точки бифуркации Андронова-Хопфа (квазигармонические колебания), так и в зоне пара-метров, удаленной от этой точки (релаксационные колебания). Стохасти-чески возмущенные предельные циклы изучались в [66],[95],[96],[150],[177], [182],[198],[199],[225],[237],[248],[268],[274].
Связанные с шумами качественные эффекты, наблюдаемые в зоне рождения цикла, исследовались в работах [99],[142],[160],[173],[194],[232], [233],[234],[245],[247]. Существенная неравномерность стохастических пуч¬ков вдали от точки бифуркации исследовалась в [134],[179],[228],[249].
Развитие теории нелинейных систем, вызванное открытием хаотиче-ских осцилляции, разработка общих сценариев разрушения регулярных колебаний, связанных с последовательными бифуркациями удвоения пе-риода, поставили новые актуальные задачи исследования стохастиче-
7

ских возмущений сложных пространственных многооборотных предель¬ных циклов.
Сложности аналитического описания вероятностных характеристик стохастических аттракторов размерности три и выше заставили исследо-вателей обратиться к методам прямого численного моделирования слу-чайных траекторий. Это стимулировало разработку численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений. Полученные в этом направлении теоретические результаты представлены в моногра-фиях [63], [94], [223], [224], [242].
Численному исследованию классических моделей Ресслера и Лоренца в присутствии случайных возмущений посвящены работы [9],[10],[53],[135], [218],[290].
Следующее по сложности за циклом инвариантное многообразие -тор. Этот объект, ставший классическим после работ Пуанкаре, Данжуа и Арнольда [12], достаточно подробно исследовался с точки зрения его структурной устойчивости (КАМ-теория). Анализу детерминированной устойчивости тороидальных движений к возмущению начальных данных посвящены работы [37],[51],[52],[100],[118].
Бифуркации тороидальных многообразий исследовались в [89],[139], [215],[219].
Поведение стохастически возмущенной системы исчерпывающим об-разом (в терминах переходной плотности распределения) описывается уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова. Непосредственное использо-вание этого уравнения даже в простейших ситуациях (например, ко¬гда рассматривается стационарно-распределенное состояние автоколе-бательной системы с одной степенью свободы) весьма затруднительно. Важный для практики случай - воздействия малых помех - приводит к известным проблемам анализа уравнений с малыми коэффициентами при старших производных.
В настоящее время известны различные подходы, позволяющие для искомых вероятностных характеристик найти соответствующие прибли-жения. Разработан метод, основанный на замене исследуемого процес¬са на эквивалентный гауссовский. Аналитически этот метод сводится к обрыву бесконечномерной последовательности уравнений для моментов
8

высших порядков, когда ограничиваются лишь первыми двумя момента¬ми. Для случая квазигармонических колебаний данный прием использо¬вался в [269]. Подход, связанный со стохастическим усреднением в русле метода малого параметра теории возмущений, рассмотрен в работах [40] и [119].
Для систем с малыми случайными возмущениями в работе А.Д. Вент-целя и М.И. Фрейдлина [28] предложен подход, использующий некото¬рую специально конструируемую функцию Ляпунова - квазипотенци¬ал, с помощью которой можно находить асимптотики ряда важных ве¬роятностных характеристик выхода случайных траекторий из области (задача о выбросах), содержащей устойчивое предельное множество ис¬ходной детерминированной системы. Применительно к точке покоя дан¬ный подход в рамках теории больших уклонений развивался в работах [166],[180]. Метод квазипотенциала для предельного цикла рассматри¬вался в работах [96],[176],[177],[178],[198],[199],[237],[248],[268], а для более сложных фрактальных аттракторов в [181],[200]. Теории больших укло¬нений в анализе стохастических дифференциальных уравнений на торе посвящена работа [29].
Разнообразие форм аттракторов, наблюдаемых в нелинейных дина-мических системах, заставляет искать общие подходы, которые позволи-ли бы охватить единой теорией как уже исследованные, так и потенци-ально возможные случаи. Таким направлением является качественная теория динамических систем с произвольными инвариантными много-образиями. В детерминированном случае теория общих инвариантных многообразий развивалась в работах [24[,[105[,[106[,[136],[165],[191],[207], [220],[280].
Общие вопросы, касающиеся многообразий и аттракторов стохастиче¬ских систем, рассматривались в [21],[138],[141],[159],[164],[183],[244],[262], [263],[264].
Одним из актуальных разделов естествознания, где находит примене-ние современная теория устойчивости вероятностных нелинейных про-цессов, является стохастический анализ динамических систем при пере-ходе от ламинарного режима к турбулентному. В последние годы и осо-бенно после оригинальной работы L. N. Trefethen, А. Е. Trefethen, S. С.
9

Reddy, T.A. Driscol [275] активно развивается теория такого перехода, ос-нованная на свойстве ненормальности оператора динамической системы. Ненормальность линеаризованного уравнения Навье-Стокса приводит к всплеску возмущений даже в случае устойчивости равновесного состоя-ния. Нелинейность системы приводит к дальнейшему усилению малых начальных возмущений. В результате переход к турбулентности происхо¬дит не вследствие линейной неустойчивости стационарного ламинарно¬го потока, а в результате сочетания ненормальности, порождающей вы¬сокую чувствительность к возмущениям, и нелинейности, переводящей систему в бассейн притяжения турбулентного режима. Обзоры исследо¬ваний этого явления имеются в работах [148],[167],[201],[265].
Некоторые теоретические исследования, посвященные стохастически возмущенным динамическим системам с ненормальным оператором, пред¬ставлены работами [156],[184],[185].
Свойство ненормальности играет важную роль и в понимании приро-ды генерации больших магнитных полей в астрофизических объектах. Хорошо известно, что магнитное поле генерируется турбулентным по-током электропроводящей жидкости. Результаты исследования целого ряда моделей, описывающих динамику возникающих магнитных полей, представлены в обзоре [278].
Традиционно явление генерации магнитного поля связывают с пе-реходом системы из зоны устойчивости (субкритический случай) в зо¬ну неустойчивости (суперкритический случай). С точки зрения класси¬ческой теории детерминированной устойчивости генерация магнитного поля должна наблюдаться лишь в суперкритическом случае. Однако в работах [186],[187] было показано, что вследствие ненормальности воз-можна генерация поля и в зоне параметров, относящихся к субкрити-ческому случаю. Такой субкритический переход из нулевого равновесия в области, где действуют уже значительные но величине магнитные но¬ля, невозможно удовлетворительно объяснить, оставаясь в рамках чисто детерминированной теории. Важность влияния шума в проблеме генера-ции магнитного поля сейчас общепризнанна. Стохастическая динамика магнитных полей рассматривалась в работах [187],[209],[210].
Таким образом, понимание природы генерации магнитного поля пред-
10

полагает учет трех факторов: нелинейности, стохастичности и ненор¬мальности.
Задачи управления колебаниями в нелинейных динамических систе-мах исследуются достаточно давно. Необходимость в стабилизации не-устойчивых периодических решений (орбит) возникает при устранении вибраций механических конструкций, подавлении шумов и нежелатель-ных гармоник в системах связи и электронных устройствах, локализации возможных отклонений от требуемых характеристик в формируемых пе-риодических режимах. Наряду с задачей стабилизации, связанной с по-давлением нежелательных колебаний, рассматривается задача возбуж-дения заданного колебательного режима. Подобная задача встречается при разработке вибрационных механизмов, акустических и электронных генераторов. Необходимость согласования во времени состояний взаи-модействующих колебательных систем привела к задачам управления синхронизацией.
В настоящее время результаты исследований но управлению колеба-ниями составляют глубоко разработанную теорию, основное содержание которой представлено работами [1J,[2],[4],[36] ,l43j, 149],[60j,[72J,[73],[74j,[93j, [122],[123],[125],[130],[133],[147],[157],[162],[192],[193],[195],[251],[276],[287].
В последнее время в теории управления нелинейными колебательны-ми системами появилось и активно разрабатывается новое научное на-правление - управление хаосом. Всплеск интереса к задачам управле¬ния хаотическими аттракторами связывают с выходом в 1990г. работы Т. Ott, С. Grebogi, G. Jorke [250]. Здесь наряду с традиционными за¬дачами подавления хаоса, когда целью управления является преобра¬зование хаотического аттрактора в регулярный (предельный цикл или точку покоя), рассматриваются задачи возбуждения в управляемой си¬стеме хаотических колебаний, построения генераторов хаоса. Генераторы хаоса активно используются в области защиты информации. Соответ¬ствующее научное направление (controlling chaos) представлено работа-ми [31,151,(61,1801,(81),185),186),187),188),11371,11631,11681,(169),1170),1171),11721, [204],[211],[217],[236],(252],[267],[288].
Вопросы управления колебаниями в системах со случайными возму-
11

щениями рассматривались в работах [49],[95].

Список литературы

Заключение
В диссертации представлены результаты широкого круга исследова-ний, связанных с анализом устойчивости, чувствительности и управле¬ния для стохастически возмущенных нелинейных динамических систем. Ниже приводится перечень основных положений, выносимых на защиту.
1. Разработан общий вариант метода функций Ляпунова для ана¬лиза экспоненциальной среднеквадратичной устойчивости компактных инвариантных многообразий нелинейных стохастических дифференци¬альных уравнений. Для исследования поведения случайных траекторий вблизи инвариантного многообразия введена конструкция системы сто¬хастического линейного расширения и понятие Р-устойчивости, что поз¬волило доказать соответствующую теорему о стохастической устойчиво¬сти по первому приближению. На основе теории положительных опера¬торов получен общий критерий, сводящий исследование стохастической устойчивости к оценкам спектрального радиуса некоторого положитель¬ного оператора.
2. Как следствие этих результатов, получены конструктивные пара-метрические критерии стохастической устойчивости как для точки по¬коя, так и для основных колебательных режимов - предельного цикла и тороидального инвариантного многообразия; решена задача об устойчи¬вости линейных стохастических систем с периодическими коэффициен¬тами.
3. Для случая малых шумов, не вырождающихся на многообразии, разработан общий подход, направленный на анализ стохастической чув-ствительности исследуемого аттрактора. Основной конструкцией пред-
244

лагаемого подхода является задаваемая на многообразии функция сто-хастической чувствительности. Данная функция в достаточно сжатой форме позволяет описать основные пространственные вероятностные ха-рактеристики пучка случайных траекторий системы локализованного в окрестности исследуемого инвариантного множества. Выведены необхо-димые уравнения и разработаны численные методы, позволяющие нахо-дить данную функцию для сложных пространственных многооборотных стохастических предельных циклов и двумерных тороидальных много-образий. Получены рекуррентные формулы разложения функции стоха-стической чувствительности по степеням малого параметра нелинейно-сти.
4. Новые возможности разработанной теории стохастической чувстви-тельности нашли свое применение в ряде приложений. В работе пред-ставлены результаты анализа чувствительности нелинейных динамиче-ских моделей, позволяющего прояснить вероятностный механизм суб-критического перехода ламинарного потока в турбулентный и генера¬ции магнитного поля галактик; исследована стохастическая чувствитель¬ность предельных циклов в классических моделях Ван-дер-Поля, брюс-селятора, Ресслера и Лоренца; для брюсселятора обнаружена зона па-раметров, в которой наблюдается сверхвысокая чувствительность и ге-нерация хаоса; для циклов моделей Ресслера и Лоренца выявлены зако-номерности в изменении чувствительности в цепи бифуркаций удвоения периода при переходе к хаосу.
5. На основе построенной теории стохастической устойчивости ис-следована задача стабилизации. Получены необходимые и достаточные условия стабилизируемое™ и предложены конструкции стабилизирую-щих регуляторов как для общих инвариантных многообразий, так и для их наиболее важных случаев - точек покоя, циклов, торов.
6. Конструктивные возможности разработанной теории стохастиче-ской чувствительности демонстрируются в решении задачи управления вероятностными характеристиками стохастических аттракторов. Для рас-сматриваемой задачи управления введены понятия и получены крите-
245

рий достижимости и полной управляемости. Детально исследована за¬дача управления стохастической чувствительностью точки покоя и цик¬ла. Возможности предложенной теории продемонстрированы в задаче управления хаосом. Разработана конструкция регулятора, позволяюще¬го подавить хаос, ранее обнаруженный в модели брюсселятора.