Лаврова Ольга Євгенівна Оптимальне керування системами дифе­ренціальних рівнянь на часових шкалах

Короткий опис

Лаврова Ольга Євгенівна, асистент кафедри загальної математики Київського національного університету імені Тараса Шевченка: «Оптимальне керування системами дифе­ренціальних рівнянь на часових шкалах» (01.01.02 - дифе­ренціальні рівняння). Спецрада Д 26.001.37 у Київському на­ціональному університеті імені Тараса Шевченка

Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка
Мiнiстерство освiти i науки України
Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка
Мiнiстерство освiти i науки України
Квалiфiкацiйна наукова
праця на правах рукопису
Лаврова Ольга Євгенiвна
УДК 517.9
ДИСЕРТАЦIЯ
Оптимальне керування системами диференцiальних рiвнянь
на часових шкалах
01.01.02 – диференцiальнi рiвняння
Подається на здобуття наукового ступеня
кандидата фiзико-математичних наук
Дисертацiя мiстить результати власних дослiджень. Використання iдей,
результатiв i текстiв iнших авторiв мають посилання на вiдповiдне джерело.
О. Є. Лаврова
Науковий керiвник: Станжицький Олександр Миколайович
доктор фiз.-мат. наук, професор
Київ – 2017

Змiст
ВСТУП 9
1 ОГЛЯД ЛIТЕРАТУРИ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦIЇ 20
2 ДОСТАТНI УМОВИ IСНУВАННЯ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ ДЛЯ ДЕЯКИХ КЛАСIВ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ НА ЧАСОВИХ
ШКАЛАХ 28
2.1 Лiнiйна за керуванням задача оптимального керування на скiнченному вiдрiзку часової шкали . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Лiнiйна за керуванням задача оптимального керування на нескiнченному iнтервалi часової шкали . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Опукла за керуванням задача оптимального керування на скiнченному iнтервалi часової шкали. . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3 ПРИНЦИП МАКСИМУМУ ПОНТРЯГIНА ДЛЯ
РIВНЯНЬ НА ЧАСОВИХ ШКАЛАХ 57
3.1 Постановка задачi та основнi результати . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Лема про пакет голок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3 Допомiжнi твердження про лiнiйнi системи i екстремум у конусi 80
3.4 Доведення теореми 3.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.5 Доведення теореми 3.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4 ДИНАМIЧНЕ ПРОГРАМУВАННЯ ТА В’ЯЗКI
РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯННЯ ГАМIЛЬТОНА – ЯКОБI – БЕЛЛМАНА НА ЧАСОВИХ ШКАЛАХ 89
9
4.1 Рiвняння Беллмана на часових шкалах . . . . . . . . . . . . . . 89
4.1.1 Лiнiйно-квадратична задача на часових шкалах . . . . . 93
4.2 В’язкi розв’язки рiвняння Гамiльтона-Якобi-Беллмана на часових шкалах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2.1 Властивостi функцiї Беллмана задачi (4.16)–(4.17) . . . . 96
4.2.2 Генератор напiвгрупи {Tt,r} i означення в’язкого розв’язку 99
4.3 Умови єдиностi в’язкого розв’язку
рiвняння Гамiльтона – Якобi – Беллмана . . . . . . . . . . . . . 113
4.4 Апроксимацiя задачi оптимального
керування на вiдрiзку сiм’єю
оптимiзацiйних задач на часових шкалах . . . . . . . . . . . . . 119
4.4.1 Iнтерпритацiя теореми 4.4.1 з точки зору
мiнiмiзуючих послiдовностей . . . . . . . . . . . . . . . . 137
ВИСНОВКИ 141
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ 142
ДОДАТОК 1 153
ДОДАТОК 2 163
10
ВСТУП
Актуальнiсть теми.
Пошук методiв керування рiзноманiтними процесами в повсякденному
життi є дуже важливим завданням сучасностi. Як правильно розпорядитися матерiальними ресурсами, природними багатствами та своєю працею – це
питання є дуже актуальним в наш час. Саме тому такий роздiл математики
як теорiя оптимального керування швидко розвивається.
Основними методами дослiдження задач оптимального керування є принцип максимуму Понтрягiна (1958–1962 рр.) та метод динамiчного програмування Беллмана (1953–1957 рр.). Принцип максимуму дав можливiсть знайти оптимальне керування для багатьох важливих прикладних задач. Метод
динамiчного програмування зводить задачу оптимiзацiї до розв’язання для
функцiї Беллмана рiвняння в частинних похiдних – рiвняння Гамiльтона –
Якобi – Беллмана. Якщо це рiвняння має гладкий розв’язок, то оптимальне керування тодi легко знаходиться у формi оберненого зв’язку. Однак, в
реальних задачах рiвняння Гамiльтона – Якобi – Беллмана, внаслiдок його
нелiнiйностi, досить рiдко має гладкий розв’язок. Останнє привело до пошуку бiльш загального поняття розв’язку рiвняння Гамiльтона – Якобi – Беллмана. В 1983 р. М. Крандал i П. Лiонс ввели поняття в’язкого розв’язку.
При цьому виявилось, що при досить загальних умовах функцiя Беллмана
є єдиним в’язким розв’язком вiдповiдної крайової задачi для рiвняння Гамiльтона – Якобi – Беллмана. На даний час концепцiя в’язких розв’язкiв є
загальноприйнятою i використовується в багатьох областях математики.
Окрiм методiв пошуку оптимальних керувань не менш важливим є питання
їх iснування. Для задач оптимального керування звичайними диференцiальними рiвняннями основнi результати тут належать О. Ф. Фiлiпову у випадку
компактностi множини керувань та Л. Чезарi у випадку некомпактностi з
умовами степеневого росту правих частин системи. Отриманi ними теореми
11
дають достатнi умови iснування оптимальних керувань у термiнах правих
частин та критерiїв якостi.
На практицi часто зустрiчаються задачi оптимального керування об’єктами, час еволюцiї яких носить мiнливий характер. Вiн може бути то неперервним, то дискретним або взагалi носити фрактальний характер. Математичними моделями таких об’єктiв є диференцiальнi рiвняння на часових
шкалах. Теорiя таких рiвнянь виникла у 1988 р., коли С. Хiлгер ввiв поняття ∆-похiдної на часовiй шкалi. Виявилось, що у випадку неперервного
часу ∆-похiдна спiвпадає зi звичайною похiдною, а у випадку дискретного –
iз рiзницевим вiдношенням. Це дало змогу з єдиної точки зору розглядати
неперервний i дискретний аналiз.
Пiсля вказаної роботи почалося iнтенсивне вивчення рiвнянь на часових
шкалах. Вкажемо на монографiю А. Петерсона i М. Бохнера [49], де є широка
бiблiографiя i пiдведено деякий пiдсумок результатiв з даної тематики. Що
стосується перенесення результатiв зi звичайних рiвнянь на часовi шкали, то
деякi з них переносяться без особливих змiн i не викликають принципових
труднощiв. Однак, отримання iнших є далеко не тривiальними. Це стосується
тих випадкiв, коли принципову роль починає вiдiгравати структура часової
шкали, а саме тi її властивостi, що є вiдмiнними вiд властивостей дiйсної осi
(наприклад, незв’язнiсть, неопуклiсть).
Теорiя оптимального керування на часових шкалах також набула певного
розвитку. Так Ж. Жан, В. Вей i Н. Ху в роботi [112] отримали для деяких
класiв таких задач рiвняння Гамiльтона – Якобi – Беллмана, однак, питання
його розв’язностi (хоча б у в’язкому сенсi) залишалось вiдкритим.
Декiлька спроб було зроблено по розповсюдженню принципу максимуму
на часовi шкали. У 2009 р. Р. Хiлшер i В. Зейдан в [82] отримали слабку
версiю принципу максимуму, а у 2012 р. Ж. Жан, С. Чен i В. Вей в [111] –
сильну. Але у 2013 роцi Л. Боурдин i Е. Трелат вказали на певнi неточностi
роботи Ж. Жан, С. Чен i В. Вей [111]. Використовуючи варiацiйний принцип
Екланда, вони виправили цi неточностi i отримали загальний принцип максимуму. Однак, одержанi там необхiднi умови не є зручними в застосуваннi,
а, по-друге, на задачу накладаються певнi припущення, якi звужують клас
дослiджуваних задач.
Що стосується достатнiх умов оптимальностi, то окремi результати тут
отримано лише для лiнiйно-квадратичних задач.
12
У дисертацiйнiй роботi дослiджуються задачi оптимального керування рiвняннями на часових шкалах у тих випадках, коли часова шкала вiдiграє
суттєву роль. При цьому отримано загальнi достатнi умови iснування оптимальних керувань, отримано принцип максимуму в зручнiй для застосувань
формi, розвинуто концепцiю в’язких розв’язкiв рiвнянь Гамiльтона – Якобi –
Беллмана на часових шкалах та дослiджено зв’язок мiж задачами керування
на часових шкалах i на дiйснiй осi. Останнє дало змогу отримати новий спосiб
побудови мiнiмiзуючої послiдовностi для класичних задач оптимiзацiї.
Зв’язок з науковими програмами, планами, темами. Дисертацiйна робота виконана в рамках дослiджень кафедри загальної математики
механiко-математичного факультету Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка, тема №11БФ038-01 "Розроблення нових математичних методiв моделювання, аналiзу та побудови керувань для нелiнiйних еволюцiйних систем зi складною динамiкою" (номер державної реєстрацiї 0111U006677), тема №16БФ038-01 "Якiсний аналiз та керування
еволюцiйними системами складної структури" (номер державної реєстрацiї
0116U004752).
Мета та задачi дослiдження. Метою дисертацiйної роботи є подальший
розвиток теорiї оптимального керування для диференцiальних рiвнянь на
часових шкалах.
В роботi дослiджуються наступнi задачi:
• знаходження достатнiх умов iснування оптимального керування системи диференцiальних рiвнянь на скiнченному та нескiнченному iнтервалi
часової шкали до моменту виходу розв’язку з деякої областi;
• встановлення аналогу принципу максимуму Понтрягiна для задач оптимального керування на часових шкалах;
• дослiдження умов єдиностi в’язкого розв’язку рiвняння Гамiльтона – Якобi – Беллмана на часових шкалах;
• вивчення взаємозв’язку мiж задачею оптимального керування на часовiй
шкалi та такою ж задачею для звичайних диференцiальних рiвнянь.
Об’єкт дослiдження – керованi системи диференцiальних рiвнянь на
часових шкалах.
13
Предметом дослiдження є оптимальнi керування системами диференцiальних рiвнянь на часових шкалах та критерiї якостi.
Методи дослiдження. У роботi використовуються прямi методи розв’язання екстремальних задач, методи теорiї диференцiальних рiвнянь на часових шкалах, теорiя в’язких розв’язкiв, методи нелiнiйного аналiзу.
Наукова новизна отриманих результатiв. В дисертацiйнiй роботi
отримано наступнi основнi результати:
1) знайдено достатнi умови iснування оптимального керування в термiнах
правих частин системи та функцiї, що входять в критерiй якостi для
систем диференцiальних рiвнянь на скiнченному та нескiнченному iнтервалах часової шкали;
2) отримано аналог принципу максимуму Понтрягiна для задач оптимального керування на часових шкалах у зручнiй для застосування формi;
3) для лiнiйних керованих задач одержано достатнi умови оптимальностi в
термiнах принципу максимуму;
4) виведено загальне рiвняння Беллмана на часових шкалах (рiвняння
Гамiльтона – Якобi – Беллмана), для якого введена концепцiя в’язкого розв’язку, i встановлено умови єдиностi в’язкого розв’язку вiдповiдної
крайової задачi;
5) дослiджено взаємозв’язок мiж задачею оптимального керування на часовiй шкалi та такою ж задачею для звичайних диференцiальних рiвнянь;
6) отримано умови збiжностi мiнiмiзуючих послiдовностей керувань до послабленого оптимального керування.
Теоретичне та практичне значення отриманих результатiв. Одержанi результати носять як практичний, так i теоретичний характер. Вони можуть бути застосованi до дослiдження оптимального керування реальними
процесами, час еволюцiї яких змiнює свiй характер (неперервний, дискретний, має фрактальну структуру).
Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану напрямку дослiджень дисертацiї i постановка задач належать науковому керiвнику
О. М. Станжицькому. Всi результати дисертацiйної роботи отриманi автором
самостiйно i опублiкованi в шести роботах, з них чотири у спiвавторствi [7],
14
[18], [20], [48]. В роботi [48] О. М. Станжицькому належить введення поняття
щiльностi часової шкали, M. Бохнеру належить огляд лiтератури. У рештi
спiльних праць спiвавторам належить перевiрка технiчних викладок та обговорення отриманих результатiв.
Апробацiя результатiв. Результати дисертацiйного дослiдження доповiдалися та обговорювалися на наукових конференцiях та наукових семiнарах, а саме:
1) IV Мiжнароднiй Ганськiй конференцiї (Чернiвцi, 2014);
2) Мiжнароднiй математичнiї конференцiї «Диференцiальнi рiвняння,
обчислювальна математика, теорiя функцiй та математичнi методи механiки» (Київ, 2014);
3) III Мiжнароднiй науковiй конференцiї «Нелiнiйний аналiз i застосування» (Київ, 2015);
4) Мiжнароднiй науковiй конференцiї «Диференцiальнi рiвняння та їх застосування» (Ужгород, 2016);
5) Международной летней математической школе памяти В. А. Плотникова
(Одесса, 2016);
6) засiданнi наукового семiнару кафедри загальної математики Київського
нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка пiд керiвництвом д.
ф.-м. н., проф. Г. Л. Кулiнiча та д. ф.-м. н., проф. О. М. Станжицького
(Київ, 2017);
7) засiданнi наукового семiнару кафедри математичного моделювання економiчних систем Київського полiтехнiчного iнституту пiд керiвництвом
д. ф.-м. н., проф. В. О. Капустяна (Київ, 2017);
8) засiданнi спiльного наукового семiнару кафедри диференцiальних рiвнянь i кафедри оптимального керування та економiчної кiбернетики
Одеського нацiонального унiверситету iменi I. I. Мечникова пiд керiвництвом д. ф.-м. н., проф. В. М. Євтухова (Одеса, 2017);
9) засiданнi наукового семiнару з фрактального аналiзу НПУ iм. М. П. Драгоманова пiд керiвництвом д. ф.-м. н., проф. М. В. Працьовитого (Київ,
2017);
15
10) засiданнi наукового семiнару кафедри iнтегральних та диференцiальних
рiвнянь Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка
пiд керiвництвом д. ф.-м. н., проф., академiка НАН України М. О. Перестюка (Київ, 2017).
Публiкацiї. Основнi результати дисертацiї опублiкованi в 15 наукових працях, з них шiсть статей в наукових фахових виданнях [7], [15], [17], [18], [20],
[48], 3 статтi – [7], [17], [48] – опублiкованi у виданнях, що включенi до наукометричної бази Scopus та дев’ять тез у матерiалах мiжнародних конференцiй
[8], [11–14] [16], [89–91].
Структура i обсяг роботи. Дисертацiя складається з анотацiї, вступу,
чотирьох роздiлiв, загальних висновкiв, списку використаних джерел та додаткiв. Повний обсяг роботи мiстить 167 сторiнок друкованого тексту, список
використаних джерел мiстить 112 найменувань.
У вступi обґрунтовано актуальнiсть теми, вказано зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами, встановлено мету i завдання, об’єкт,
предмет та методи дослiдження, наведено наукову новизну та практичне значення отриманих результатiв, особистий внесок здобувача та короткий змiст
роботи.
Перший роздiл мiстить огляд лiтератури за тематикою дисертацiйної
роботи, висвiтлює деякi результати щодо спорiднених проблем, отриманих
iншими авторами. Також мiстить порiвняльний аналiз iз деякими роботами,
що мiстять подiбнi результати.
У другому роздiлi дослiджуються умови iснування оптимального керування системами диференцiальних рiвнянь на часових шкалах.
У першiй частинi роздiлу розглянуто задачу оптимального керування на
скiченному вiдрiзку часової шкали наступною системою диференцiальних
рiвнянь



x
∆ = f1(t, x) + f2(t, x)u(t),
x(0) = x0
(0.1)
з критерiєм якостi
J(u) = Z
[0,σ(τ ))T
L(t, x(t), u(t))∆t → inf, (0.2)
на вiдрiзку t ∈ [0, T0]T, 0 ∈ T, T0 ∈ T, x ∈ D – фазовий вектор, x0 ∈ D –
16
фiксований вектор, D – область в R
d
, ∂D – її межа, D = D ∪ ∂D, σ(τ ) –
момент виходу розв’язку x(t) на границю областi D, u ∈ U ⊂ R
m – вектор
керування, U – опукла, замкнена множина.
Для задачi (0.1) – (0.2) отримано достатнi умови iснування оптимального
керування.
У другому пiдроздiлi розглянута задача оптимального керування на нескiнченному iнтервалi часової шкали системою диференцiальних рiвнянь
(0.1) з критерiєм якостi
J(u) = Z
[0,σ(τ ))T
g(t)L(t, x(t), u(t))∆t → inf, (0.3)
де t ∈ [0, +∞)T, 0 ∈ T, x ∈ D – фазовий вектор, x0 ∈ D – фiксований вектор,
D – обмежена область з R
d
, σ(τ ) – момент виходу розв’язку x(t) на границю
областi D, u ∈ U ⊂ R
m – вектор керування, U – опукла, замкнена множина,
g(t) ∈ L1([0, +∞]T), 0 ≤ g(t) ≤ 1. Для такої задачi отримано результат про
iснування оптимальних керувань.
Третiй пiдроздiл присвячений нелiнiйному за керуванням випадку, при цьому умова лiнiйностi за керуванням замiнюється умовою опуклостi. Розглянуто задачу оптимального керування на скiнченному вiдрiзку часової шкали



x
∆ = f(t, x(t), u(t)),
e = (t1, x(0), x(t1)) ∈ S
(0.4)
з критерiєм якостi типу Майєра:
J(x(0), u) = Φ1(e) → inf, (0.5)
де t ∈ [0, T0]T, 0 ∈ T, T0 ∈ T, x ∈ D – фазовий вектор, D – область в R
d
, x(0) ∈
K ⊂ D, K – компакт, t1 – момент виходу розв’язку x(t) на границю областi
D, u ∈ U ⊂ R
m – вектор керування, U – замкнена множина, вектор-функцiя
Φ : [0, T0]T × D × U → R
d
– неперервна на S, а S визначається рiвняннями
Φj (e) = 0 при j = 2, k, Φ = {Φj}
k
j=1. Для задачi (0.4) – (0.5) отримано достатнi
умови iснування оптимального керування в термiнах правих частин системи
та функцiї, що входить в критерiй якостi.
Третiй роздiл присвячений отриманню аналогу принципу максимуму
17
Понтрягiна для рiвнянь на часових шкалах. Для цього узагальнюються вiдомi результати неперервного i дискретного випадку, коли множина допустимих значень керування не обов’язково замкнена (але опукла) i множина
досяжностi не обов’язково опукла. При цьому з’являється додаткова умова
накладена на зернистiсть часової шкали.
В першому пiдроздiлi на часовiй шкалi розглянуто задачу оптимального
керування
Φ0(x(t0), x(t1)) → inf,
x
∆(t) = f(t, x(t), u(t)),
Φi(x(t0), x(t1)) = 0, i = 1, k,
Φi(x(t0), x(t1)) ≤ 0, i = k + 1, n,
(0.6)
де t ∈ [t0, t1]T, t0, t1 – фiксованi точки з T, t0 < t1, x ∈ D – фазовий вектор, D –
область в R
d
, u ∈ U ⊂ R
m, U – опукла множина. Функцiї f, f
0
x
, f
0
u
визначенi
при t ∈ [t0, t1]T, x ∈ D, u ∈ U i неперервнi за сукупнiстю аргументiв, функцiї
Φi
, i = 0, n визначенi в деякiй областi W ⊂ R
d × R
d
i гладкi за своїми аргументами. Керування u(·) : [t0, t1]T → U вважаються кусково-неперервними
функцiями.
В другому пiдроздiлi для задачi (0.6) отримано аналог леми про пакет голок.
В третьому пiдроздiлi розглянуто лiнiйну систему на часовiй шкалi
x
∆(t) = A(t)x(t), (0.7)
i спряжену до неї систему
y
∆(t) = −A
∗
(t)y(σ(t)), (0.8)
де d × d-мiрна матрица A(t) – ∆-вимiрна на [t0, t1]T, а ∗ – транспонування.
Для (0.7) – (0.8) встановлено зв’язок мiж матрицантами прямої та спряженої
задачi.
В четвертому пiдроздiлi для задачi (0.6), з використанням аналогу леми
про пакет голок на часових шкалах, отримано принцип максимуму Понтрягiна для таких задач, що дає необхiднi умови оптимальностi в термiнах функцiї
Понтрягiна i вiдповiдних множникiв Лагранжа.
В п’ятому пiдроздiлi розглянуто лiнiйно-опуклу задачу оптимального керування
18
Φ0(x(t0), x(t1)) → inf,
x
∆ = A(t)x + B(t)u(t),
Φi(x(t0), x(t1)) = 0, i = 1, k,
Φi(x(t0), x(t1)) 6 0, i = k + 1, n,
(0.9)
де t ∈ [t0, t1]T, u ∈ U, U – опукла множина в R
m. Матрицi A(t), B(t) –
неперервнi, Φi – опуклi i гладкi функцiї в R
d × R
d
.
Для лiнiйних керованих задач типу (0.9) отримано достатнi умови оптимальностi в термiнах принципу максимума.
В четвертому роздiлi метод динамiчного програмування розповсюджено
на рiвняння на часових шкалах, введена концепцiя в’язкого розв’язку рiвняння Гамiльтона – Якобi – Беллмана та встановлено умови єдиностi в’язкого
розв’язку вiдповiдної крайової задачi. А також дослiдженно взаємозв’язок
мiж задачею оптимального керування на часовiй шкалi та такою ж задачею
для звичайних диференцiальних рiвнянь.
В першому пiдроздiлi розглянуто задачу оптимального керування на скiнченному вiдрiзку часової шкали



x
∆ = f(t, x(t), u(t)),
x(T0) = x0
(0.10)
з критерiєм якостi
ϕ(T1, x(T1)) → inf, (0.11)
де t ∈ [T0, T1]T, T0 ∈ T – фiксований момент часу, T1 ∈ T – нефiксований,
визначається моментом першого попадання точки (T1, x(T1)) в замкнену множину M ⊆ T×R
n
, x ∈ R
n
– фазовий вектор, u ∈ U ⊂ R
m – вектор керування,
функцiя f : T × R
n → R
n
.
Для розв’язання задачi (0.10) – (0.11) застосовано метод динамiчного
програмування Беллмана. Для цього встановлено деякi властивостi функцiї
Беллмана, з використанням яких отримано загальне рiвняння Беллмана.
В другому пiдроздiлi розглядається сiм’я задач оптимального керування



x
∆ = f(s, x, u),
x(t) = x
(0.12)
19
з критерiєм якостi
J(t, x, u) = Z
[t,t1)T
L(s, x(s), u(s))∆s + Ψ(x(t1)) → inf, (0.13)
на вiдрiзку [t, t1]T, t ∈ [t0, t1)T, x ∈ R
d
– фазовий вектор, u = u(t) – вектор
керування, U ⊂ R
m – компактна множина. Для кожного t ∈ [t0, t1)T нехай
U(t) = L
∞ ([t, t1]T, U). В задачi (0.12) вважаються допустимими керування
u(·) ∈ U(t).
Для задачi (0.12) – (0.13) введено поняття генератору напiвгрупи {Tt,r} i
означення в’язкого розв’язку на часових шкалах.
Третiй пiдроздiл присвячений встановленню умов єдиностi в’язкого
розв’язку рiвняння динамiчного програмування на часових шкалах.
В четвертому пiдроздiлi розглянуто сiм’ю оптимiзацiйних задач, заданих
на довiльних часових шкалах Tλ, що залежать вiд параметра λ



x
∆ = f(t, x(t), u(t)),
x(t0) = x,
Jλ(u) = R
[t0,t1)Tλ
L(t, x(t), u(t))∆t → inf,
(0.14)
де t ∈ [t0, t1)T, x ∈ R
d
– фазовий вектор, u = u(t) – вектор керування, U ⊂ R
m
– компактна множина. Дослiджено умови збiжностi сiм’ї функцiї Беллмана
задачi (0.14) до функцiї Беллмана вiдповiдної неперервної задачi



dx
dt = f(t, x(t), u(t)),
x(t0) = x,
J(u) = R t1
t0
L(t, x(t), u(t))dt → inf .
(0.15)
Запропоновано новий метод побудови мiнiмiзуючої послiдовностi керувань
для задачi (0.15), отримано умови збiжностi мiнiмiзуючих послiдовностей керувань до послабленого оптимального керування.

Список літератури

ВИСНОВКИ
В дисертацiйнiй роботi отримано наступнi основнi результати:
• знайденi достатнi умови iснування оптимального керування системою диференцiальних рiвнянь на скiнченному вiдрiзку часової шкали до моменту виходу розв’язку з деякої областi;
• знайденi достатнi умови iснування оптимального керування для систем
диференцiальних рiвнянь на нескiнченному iнтервалi часової шкали до
моменту виходу розв’язку з деякої областi;
• розповсюджено принцип максимуму Понтрягiна на задачi оптимального
керування на часових шкалах;
• для лiнiйно-опуклих керованих задач отримано достатнi умови оптимальностi в термiнах принципу максимуму;
• отримано загальне рiвняння Беллмана на часових шкалах (рiвняння
Гамiльтона – Якобi – Беллмана), для якого введена концепцiя в’язкого
розв’язку;
• встановлено умови єдиностi в’язкого розв’язку вiдповiдної крайової задачi на часових шкалах;
• дослiджено взаємозв’язок мiж задачею оптимального керування на часовiй шкалi та такою ж задачею для звичайних диференцiальних рiвнянь;
• отримано умови збiжностi мiнiмiзуючих послiдовностей керувань до послабленого оптимального керування.