Арифметические свойства рядов некоторых классов Крупицын Евгений Станиславович

Короткий опис

Крупицын, Евгений Станиславович.
Арифметические свойства рядов некоторых классов : диссертация ... кандидата физико-математических наук : 01.01.06 / Крупицын Евгений Станиславович; [Место защиты: ФГБОУ ВО «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова»]. - Москва, 2020. - 72 с. : ил.
Оглавление диссертациикандидат наук Крупицын Евгений Станиславович
ВВЕДЕНИЕ
§1. Актуальность темы и степень её разработанности
§2. Общая характеристика работы
§3. Основные результаты диссертации
ГЛАВА 1 Лиувиллевы р-адические числа
§1. р-адические числа
§2. Оценки многочленов от некоторых р-адических чисел
ГЛАВА 2 Лиувиллевы д-адические числа
§1. д-адические числа
§2. Алгебраические и трансцендентные числа в прямых произведениях полей
§3. Оценки многочленов от некоторых д-адических чисел
ГЛАВА 3 Лиувиллевы полиадические числа
§1. Полиадичесике числа
§2. Арифметические свойства некоторых полиадических рядов
§3. Оценки многочленов от некоторых полиадических чисел
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
§1. Актуальность темы и степень её разработанности
В диссертации рассматриваются задачи теории трансцендентных чисел в неархимедовски нормированных областях. Начнём с краткого изложения основ теории трансцендентных чисел в комплексной области.
Определение. Комплексное число а называется алгебраическим, если существует многочлен Р(х) ^ 0 с рациональными коэффициентами, такой что Р(а) =
Степенью алгебраического числа а называется степень неприводимого многочлена с рациональными коэффициентами, имеющего а своим корнем.
Определение. Комплексное число (, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным.
Определение. Комплексные числа (.....(п называются алгебраически независимыми, если для любого многочлена, отличного от тождественного нуля, Р(х.... ,хп) от п переменных с рациональными коэффициентами выполнено неравенство Р((.... .(п) = 0. В противном случае эти числа называются алгебраически зависимыми.
Теорема (Лиувилля). Если а — алгебраическое число, степени п ^ 2, то существует такая постоянная с = с(а), что для любых целых рациональных р и д, д > 0, справедливо неравенство
с(а)
Р
а--
Я

дп
Следствие (Достаточное условие трансцендентности). Пусть а — иррациональное число. Если для любой константы с > 0 и любого натураль-
Р
ного числа п существует рациональное число -, такое что
Я
Р
а--
Я
то а — трансцендентное число.
с
< —.
При помощи этого признака были построены первые примеры трансцендентных чисел.
В более общем случае подход Лиувилля позволяет конструировать ал-гебрачески независимые числа.
Лиувиллевы числа являются и-числами по классификации Малера [1].
Лиувиллевым числам посвящены многие работы. Упомянем, Э. Малле [2-12], К. Малера [13], Кабаннэ [14], П. Эрдёша [15], В.Г. Чирского [16-29]. В работах Дж. фон Неймана [30], X. Кнезера [31], Ф. Куйпера и Я. Попкена [32], В. Шмидта [33, 34] и А. Френкеля [35, 36] строятся примеры множеств алгебраически независимых чисел Лиувилля.
Лиувиллевы числа до сих пор представляют собой объект исследований многих математиков.
Вопросам алгебраической независимости лиувиллевых чисел посвящена работа В. Адамса [37]. Основными результатами работы Адамса являются доказательство следующих теорем.
то то то
Теорема. Пусть а1 = ^ р- у ,а2 = ^ Р2 ^ и = ^ Рз ^ лиувиллевы
^=1 ^=1 ^=1 числа, р1 = р2, Р > 2 — простое число такое что
Р | Рз, Р Р1, и Р - 1 | К
для любого достаточно большого числа V.
Пусть также последовательность натуральных чисел строго возрастает и последовательность имеет конечное число предельных точек в р-адических целых числах ^р и такая что
о^р км. < о^р кю для всех V > N1
3 -'
км,-1
№|/Л иС-иА V ^ 1 У1
и
^ то ^ то). отйр kмj
Тогда числа а1,а2,аз алгебраически независимы.
то
.-к
Теорема. Пусть а{ = р- — лиувиллево число (1 ^ г ^ п), где
=1
,р2,... ,рп мультипликативно независимые целые числа большие 1. Тогда а1,... ,ап алгебраически независимы.
В 1935 году К. Малер [38] опубликовал первую работу про р-адические трансцендентные числа, в которой был доказан р-адический аналог теоремы Гельфонда-Шнайдера.