Галушина Елена Николаевна. О многомерных аналогах эллиптических функций Вейерштрасса:

Короткий опис

Галушина Елена Николаевна. О многомерных аналогах эллиптических функций Вейерштрасса: диссертация ... кандидата Физико-математических наук: 01.01.01 / Галушина Елена Николаевна;[Место защиты: ФГАОУ ВО «Сибирский федеральный университет»], 2018

Введение к работе
Актуальность темы.Всем хорошо известны примеры периодических функций на комплексной плоскости: sinz, cosz,tgz, ctgzс периодами 2-7Г и 7г соответственно. Поднимая вопрос о существовании функций с большим количеством периодов, можно легко убедиться в том, что не существует более двух линейно независимых (над полем вещественных чисел) периодов, а функции, обладающие двумя такими периодами, называются двоякопериодическими.
Из теоремы Лиувилля следует, что аналитические двоякопериодиче-ские функции без особых точек являются константами. Среди аналитических двоякопериодических функций с особенностями выделяется классэллиптических функций— не имеющих никаких других особых точек, кроме полюсов в узлах решётки на плоскости.
Изучению эллиптических функций предшествовало накопление знаний об эллиптических интегралах, систематическое описание которых дал А. Лежандр. Развитие эллиптических функций шло двумя путями: К. Яко-би в основу теории положил эллиптические функции, которые позже были названы в его честь, и вспомогательные тэта-функции; К. Вейерштрассом был предложен другой подход, базирующийся на р-функции. С её помощью можно описать все эллиптические функции, так как они все представляются в виде алгебраических выражений отр-функции и её производной. В современной математике теория эллиптических функций занимает одно из центральных мест: объединяя алгебраические, аналитические и арифметические методы, она связывает различные её области.
В случае нескольких переменных хорошо известнымногомерные тэта-функции, заданные в виде экспоненциальных рядов, и построенные с их помощью многомерные элллиптические функции. В начале 1980-х годов итальянский математик П. Заппа дал иное многомерное обобщениер-и (^-функций Вейерштрасса в виде дифференциальных форм. Напомним, что для решётки Г изоморфной1? ^-функция Вейерштрассазадаётся в
Мамфорд, Д. Лекции о тэта-функциях: Пер. с англ. / Д. Мамфорд. — М.: Мир, 1988. — 448 с
Zappa, P. Sulle classi di Dolbeault di tipo (0,n — 1) con singolarita in un insieme discreto / P. Zappa // Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. — 1981. — V. 8. — № 70. — P. 87-95
виде ряда
1 ^-^1z
СZ)=~/1 1 o
z*-^z— 7 7 7^
7ЄГ{0} / / /
Слагаемые вида-1можно рассматривать как ядра Коши без дифферен-
y-—; циалаdz.Тогда, если теперь Г — решётка максимального ранга в С, и
Фвм (z— 7) — ядро Бохнера-Мартинелли с особенностью в 7 без голоморфных дифференциаловdz1А ... A dzn,тоQ-формаопределяется рядом
У U
:г{0} V
Е(дфвм,л. дфвм ,л-\п(1)ziН7Г1(7Jzi.
._1^Zi^Zi
С(z) = фвм (z) +фвм (z -7) +Фвм Ь) -
7ЄГ{0}
дфвм , , . дфвм
—т(7)zi+
Аналоги р-функции Вейерштрасса — это формырг(z),определённые равенством
д
Р Z)=~т—С(z)ozi
Свойства таким образом определённых дифференциальных форм напоминают свойства классическихр-и (^-функций Вейерштрасса. Кроме того, они сохраняют воспроизводящее свойство, присущее форме Бохнера-Мартинелли.
В 1995 году Р. Диаз и С. Робинсдали новое доказательство известной формулы Пика:
В
I+ — — 1 =S,2
связывающей число / целых точек целочисленного многоугольника внутри него, числоВцелых точек на границе многоугольника и площадьSэтого многоугольника, при помощи (^-функции Вейерштрасса. Оно основано на том, что интеграл от (^-функции по замкнутому контуру сводится к интегралам от ядра Коши. Так как вычет ядра Коши равен 0 либо 1 в зависимости от того, попадает ли его особенность внутрь контура или нет, этот факт можно использовать для подсчёта числа особых точек (^-функции внутри контура.
3Diaz, R. Pick’s Formula via the Weierstrass -Function / R. Diaz, S. Robins // The American Mathematical Monthly. — 1995. — V. 102. — № 5. — P. 431-437
Аналогичным образом воспроизводящее свойство С-формы можно использовать для исследования проблемы числа точек решётки в многомерной области.
Цельюданной работы является изучение свойств многомерных аналогов эллиптических функций Вейерштрасса и их применение к задаче оценки числа точек решётки в замыкании области.
Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующиезадачи:

Исследовать свойства многомерных аналогов эллиптических функций Вейерштрасса.

Доказать возможность почленного дифференцирования ряда для С-формы.

Вычислить такую формуг/,чтобы формаС ~ Vстала Г-инвариантной.

Получить интегральное представление для разности взвешенного числа точек решётки в замыкании области и её объёма:

У07lD —Vol(D).
7ЄГ
Научная новизна:Результаты работы являются новыми и состоят в следующем:

Впервые была исследована сходимость рядов для производных С-формы,

Вычислена дифференциальная формаг/с линейными коэффициентами такая, что формаС ~ Vявляется Г-инвариантной,

Доказано новое интегральное представление для разности взвешенного числа точек решётки в замыкании области и её объёма.

Практическая и теоретическая ценность.Результаты, полученные автором, являются теоретическими. Их ценность состоит в том, что они могут быть использованы в многомерном комплексном анализе, алгебраической геометрии, комбинаторике и теории чисел, а также в компьютерной алгебре.
Практическое применение полученных результатов состоит в их внедрении в учебный процесс в виде материала для проведения специальных курсов по современным проблемам многомерного комплексного анализа
кафедры теории функций Института математики и фундаментальной информатики Сибирского федерального университета.
Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ (гос. задание для Сибирского федерального университета № 1.2604.2017/ПЧ).
Mетодология и методы исследования. В работе используются методы многомерного комплексного анализа, в частности, техника теории интегрального представления Бохнера-Мартинелли, теория сходимости многомерных числовых и функциональных рядов.
При вычислении суммы двойного числового ряда использовались методы теории специальных функций и асимптотические оценки, а при исследовании сходимости функционального ряда оценивалась величина производной ядра Бохнера-Мартинелли на компакте.
Доказательство основного результата опирается на фундаментальные свойства интегрального представления Бохнера-Мартинелли. В исследованиях последнего раздела диссертации важную роль сыграла симметрия рассматриваемых множеств.
В процессе исследований для выполнения расчётов и верификации полученных результатов активно использовались методы численного моделирования, а также системы компьютерной алгебры.
Достоверность полученных результатов работы подтверждается строгими математическими доказательствами.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на:

Красноярском городском научном семинаре по комплексному анализу и алгебраической геометрии (СФУ, 2010-2017 гг);

50-ой международной научной конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2012 г.);

Четвёртом российско-армянском совещании по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам (Красноярск, 2012 г.);

Пятом российско-армянском совещании по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам (Ереван, 2014 г.);

Международной школе-конференции по многомерному комплексному анализу и дифференциальным уравнениям (Красноярск, 2014 г.);

6. Третьей российско-китайской научной конференции по комплексному анализу, алгебре, алгебраической геометрии и математической физике (Москва, 2016 г.).
Публикации.Основные результаты диссертации опубликованы в 3 статьях и 4 тезисах. Все статьи ([1—) опубликованы в журналах из перечня ВАК изданий, рекомендованных для публикации результатов диссертации. Одна статья () совместная, её результаты получены в нераздельном соавторстве с А.В. Щуплевым с равнозначным вкладом соавторов. Две другие ([1; ) подготовлены лично автором диссертации. Кроме того, для проведения компьютерных экспериментов была разработана программа «Tex2Cpp», зарегистрированная в Федеральной службе по интеллектуальной собственности[.
Объем и структура работы.Диссертация состоит из введения, трёх глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 65 страниц текста с 1 рисунком и 2 таблицами. Список литературы содержит 53 наименования.