Некоторые вопросы теории показателей Ляпунова Быков, Владимир Владиславович

Короткий опис

Быков, Владимир Владиславович.
Некоторые вопросы теории показателей Ляпунова : диссертация ... кандидата физико-математических наук : 01.01.02. - Москва, 1998. - 77 с.
Введение диссертации (часть автореферата)на тему «Некоторые вопросы теории показателей Ляпунова»
Для заданного натурального числа п рассмотрим множество Sn уравнений х = A{t)x, х £ Rn, te R+, (1) с кусочно-непрерывными по £ £ R+ = [0, оо) оператор-функциями А.
Пользуясь вольностью речи, всюду в дальнейшем будем отождествлять уравнение (1) с функцией A: R+ —»• EndRn, фигурирующей в записи этого уравнения. Множество Sn наделим структурой линейного пространства с естественными для функций операциями сложения и умножения на действительные числа.
Через Л4п обозначим подпространство тех уравнений из Sn, для которых соответствующая оператор-функция А ограничена на полупрямой R+.
Определение 1. Будем обозначать через S^ топологическое пространство, получаемое введением в Sn равномерной топологии при помощи нормы
А\= sup A(t)I, te R+ где обозначено
A(t) = sup A(t)x, x = l x — J ~t~ • ■ • ~Ь i 3C — . . 7 xn^.
Через S^ будем обозначать топологическое пространство, получаемое введением в Sn компактно-открытой топологии, задаваемой счетным набором полунорм pk(A)= sup |A(f)|, fc = 0,l,. te[k,k+1]
Кроме того, теми же символами U и С условимся отмечать топологические пространства, получаемые из подпространства Л4п заданием в нем соответствующей индуцированной топологии.
Определение 2 [26, 17]. Показателями Ляпунова уравнения (1) называются числа k(A)= inf ÏÏmilnl* |L(i,0)|,
L£Gк t-+oo t где к G {1,., /г}, Gk —множество ^-мерных подпространств пространства Rn, а X L — сужение оператора Коши уравнения (1) на подпространство L с Rn.
Определение 3. Для всякого функционала (pSn —»• R обозначим через Тр минимальную полунепрерывную сверху мажоранту этого функционала в смысле равномерной топологии, т.е. функционал, определяемый в каждой точке A G Sn равенством
Тр(А) = lim sup (р(А + С).
В докладе В. М. Миллионщикова [27] был поставлен вопрос об одновременной достижимости всеми показателями Ляпунова своих минимальных полунепрерывных сверху мажорант во всякой окрестности данного уравнения A G ■
На данный вопрос получен положительный ответ, а именно, доказана следующая
Теорема I (следствие 25). Для всякого уравнения A G Sn и всякого s > 0 найдется уравнение В G Sn, обладающее свойствами:
1) \А — В\ < е;
2) Ак(В) = Хк(А) при всех к G {1,. ., п}.
Данный вопрос в случае пространства Л4п решен ранее И. Н. Сергеевым [36] с использованием полученного в [35] выражения для величины

Xk{A) через семейство операторов Коши уравнения А. 3