Рефлективные гиперболические решётки Богачев, Николай Владимирович

Короткий опис

Богачев, Николай Владимирович.
Рефлективные гиперболические решётки : диссертация ... кандидата физико-математические наук : 01.01.06 / Богачев Николай Владимирович; [Место защиты: Нац. исслед. ун-т "Высш. шк. экономики"]. - Москва, 2019. - 79 с.
Оглавление диссертациикандидат наук Богачев, Николай Владимирович
Оглавление
1 Введение 5
1.1 Основные понятия и предварительные сведения ........................5
1.1.1 Дискретные группы отражений....................................5
1.1.2 Арифметические группы отражений и рефлективные гиперболические решётки....................................................6
1.1.3 Открытые проблемы..................................................9
1.2 Результаты работы............................................................10
1.2.1 Результаты главы 3 ....................................................10
1.2.2 Результаты главы 4....................................................14
1.2.3 Результаты главы 5 ....................................................15
1.3 Апробация работы............................................................16
1.4 Основные обозначения ......................................................16
2 Дискретные группы отражений 18
2.1 Три главные геометрии......................................................18
2.1.1 Евклидово пространство Еп ........................................18
2.1.2 Сферическое пространство §п......................................18
2.1.3 Пространство Лобачевского Ип ....................................19
2.2 Многогранники в Хп ........................................................19
2.2.1 Гиперплоскости и полупространства, выпуклые и остроугольные многогранники ..................................................20
2.2.2 Комбинаторное строение и матрица Грама остроугольных многогранников ..........................................................21
2.3 Дискретные группы движений и фундаментальные многогранники . 22
2.4 Группы отражений и многогранники Кокстера ..........................23
2.4.1 Определения..........................................................23
2.4.2 Абстрактные группы Кокстера и схемы Кокстера................24
2.4.3 Группы отражений в Еп и §п........................................25
2.4.4 Группы отражений в Ип..............................................25
2.5 Квадратичные решётки......................................................28
2.6 Арифметические дискретные группы простейшего типа................30
2.7 Арифметические группы отражений и рефлективные гиперболические решётки........................................................................32
2.8 Известные методы классификации ........................................33
2.8.1 Метод Винберга......................................................33
2.8.2 Методы Никулина и Аллкока........................................35
2.8.3 Метод Шарлау........................................................35
2.9 Известные результаты........................................................36
3 Алгоритм Винберга и проект VinAl 39
3.1 Общее описание алгоритма Винберга ......................................39
3.2 Компьютерные реализации алгоритма Винберга........................40
3.3 Основные шаги программы VinAl и вспомогательные результаты ... 40
3.3.1 Выбор базисной точки ..............................................40
3.3.2 Построение фундаментального конуса ............................41
3.3.3 Разложение корней решётки ........................................41
3.3.4 Вывод корней ........................................................42
3.3.5 Подпрограмма решения квадратичных диофантовых уравнений 42
3.4 Программа для решеток над /[¡2]..........................................42
3.5 Исследование на устойчивую рефлективность ............................43
3.5.1 Алгоритм Винберга ..................................................43
3.5.2 Метод "плохих" отражений..........................................43
3.6 Доказательство нерефлективности ........................................44
3.6.1 Метод Бугаенко понижения размерности ..........................44
3.6.2 Метод бесконечной симметрии....................................44
3.7 Результаты работы программы ..............................................44
4 Устойчиво рефлективные гиперболические /-решётки ранга 4 48
4.1 Метод наиболее удаленного ребра..........................................48
4.1.1 Ограничения на длину ребра Е для О-арифметических компактных многогранников Кокстера в Н3................................50
4.1.2 Доказательство теоремы 1.2.1 и ограничения на |(м3,м4)| . ... 52
4.2 Короткий список решёток-кандидатов ....................................54
4.2.1 План нахождения короткого списка решёток-кандидатов ... 54
4.2.2 Короткий список решёток-кандидатов ............................56
4.3 Исследование на (1,2)-рефлективность и доказательство теоремы 1.2.2 58
5 Устойчиво рефлективные гиперболические решётки ранга 4 над /(¡2) 60
5.1 Метод наиболее удалённого ребра ..........................................60
5.2 Короткий список решёток-кандидатов ....................................61
5.2.1 План нахождения короткого списка решёток-кандидатов ... 61
5.2.2 Короткий список решёток-кандидатов ............................61
5.3 Исследование на устойчивую рефлективность............................64
5.3.1 Решётки с ортогональным базисом ................................64
5.3.2 Решетки с неортогональным базисом ..............................69
Литература 74