Ряды Загье для функции Грина Сахарова Нина Евгеньевна

Короткий опис

Сахарова, Нина Евгеньевна.
Ряды Загье для функции Грина : диссертация ... кандидата физико-математических наук : 01.01.06 / Сахарова Нина Евгеньевна; [Место защиты: Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»]. - Москва, 2019. - 77 с. : ил.
Оглавление диссертациикандидат наук Сахарова Нина Евгеньевна
N в параболической точке ¿то
5.2 Приложение 2. Вычисление коэффициентов Фурье функции Грина веса 2 модулярной кривой уровня N
Список литературы
Введение
Теория модулярных форм зародилась в работах классиков математики XIX века и последние полвека переживает новое возрождение. Модулярные формы и модулярные многообразия имеют ряд важных применений в алгебраической геометрии, теории чисел, теории представлений, математической физике. Модулярной функцией для группы Г = БЬ2(Ъ) или некоторой ее конгруэнц-подгруппы Г' называется меро-морфная функция на верхней комплексной полуплоскости Н = {г Е С : ^(г) > 0}, инвариантная относительно действия группы Г (или подгруппы Г'), то есть функция /(г), для которой верно, что /(72) = / = /(г), для любой матрицы 7 € Г'.
Модулярные функции впервые появились в работах Гаусса, Дирихле и Якоби, посвященных изучению эллиптических функций и бинарных квадратичных форм. Дальнейшее изучение модулярных функций связано с именами Кронекера, Эйзенштейна и Вейрштрасса, а в конце XIX века эта теория заняла важное место в работах Пуанкаре и Клейна. Модулярной формой веса к для группы Г' называется голоморфная функция на Н, удовлетворяющая условию / (72) = (сг + ¿)к/(г). Модулярные формы впервые возникли в виде тэта-функций в работах Якоби в 1820-х годах. В конце XIX века Гекке начал первое систематическое изучение модулярных форм относительно группы БЬ2(Ъ) и ее конгруэнц-подгрупп [22]. Гекке первым ввел операторы «усреднения» Т(п) на пространстве модулярных форм. Пусть имеется Гекке-собственная форма /(г) веса к относительно группы Г! (Ж), и ^п> 1 апдп - ее разложение Фурье, пусть а1 = 1. Гекке интерпретировал коэффициенты Фурье ап как собственные значения оператора Т(п), что позволило ему выразить ¿-функцию Дирихле, соответствующую модулярной форме /, Ь(/,в) = ^п> 1 ап/п5, в виде эйлерова произведения
П(1 - арр- + е(р)рк-1-2Т р
где е(р) : ^/Ж^)* ^ С* - характер. Немного позднее Петерсон определил скалярное произведение, относительно которого пространство операторов Гекке Т(п) является эрмитовым, тем самым доказав, что если п взаимно просто с уровнем, то существует базис из Гекке-собственных форм относительно оператора Т(п).
Коэффициенты модулярных форм, а вместе с ними и собственные значения операторов Гекке, имеют ряд важных и интересных приложений в теории чисел (например, число способов представить натуральное число в виде суммы четырех квадратов выражается через коэффициенты Фурье функции в(г, 4) = — Дз 02,4(г)). Однако зачастую на практике вычислить эти числа напрямую оказывается довольно трудно. Во многих случаях коэффициенты можно восстановить зная сумму собственных значений, то есть вычислив след операторов Гекке. Первая формула следа была получена независимо друг от друга Атле Сельбергом и Мартином Эйхлером. В 1956 году Сельберг нашел формулу следа для операторов Гекке относительно полной модулярной группы, а в 1957 году Эйхлер доказал формулу следа для операторов Гекке относительно группы Г в случае, когда п является квадратом целого числа.
В 1975 году Дон Загье получил точную формулу следа операторов Гекке, действующих на пространстве параболических форм, в терминах интеграла по фундаментальной области модулярной группы SL2(Z) [44, 27]. Для этого в работе [44, 27] Загье ввел ряд шт(z1,z2), который является бимодулярной формой от двух переменных и интегральным ядром преобразования Гекке, доказав, что скалярное произведение Петерсона параболической формы f (z2) и функции um(z1,z2), f * шт(г1, z2), можно отождествить с действием оператора Гекке T (m) на параболическую форму f с точностью до константы, зависящей только от веса формы k > 2 и индекса оператора m. Дон Загье доказал эту теорему используя метод Ранкина-Сельберга. Другой подход к доказательству, в случае когда вес k = 2, подразумевает построение модулярного ядра Коши, которое, в свою очередь, является первым примером дифференциальной формы на произведении двух модулярных кривых с логарифмической особенностью на кривой Гекке. В этой работе мы развиваем технику Загье, вводя новый объект: бимодулярные дифференциальные формы с заданными вычетами, и используем этот объект для изучения геометрии модулярных поверхностей, а именно для изучения дополнения к простейшему модулярному набору.
Понятие дифференциальной формы с особенностью на кривой впервые появилось в работе Пуанкаре [31], посвященной развитию теории комплексных интегралов и вычетов Коши на случай двойных интегралов. Известно, что интеграл от дифференциальной формы ш = f (z) dz по замкнутому пути y на плоскости C, не содержащему особых точек функции f, равен нулю, иначе значение интеграла будет зависеть от вычета дифференциальной формы в особых точках, заключенных внутри кривой. Пуанкаре ввел понятие вычета рациональной дифференциальной 2-формы на комплексной плоскости C2 с простым полюсом вдоль гладкой комплексной кривой и доказал, что значение комплексного интеграла по замкнутой кривой D С C2 зависит только от особых кривых на этой поверхности. В дальнейшем идеи Пуанкаре были развиты в работах Эмили Пикара (1901), и, с помощью концепций когомологий, в работах Жоржа де Рама (1932-1936) и Андре Вейля (1947), получивших аналогичные результаты о вычетах мероморфных форм степени 1 и 2 на комплексных многообразиях. Позднее, используя идею и технику когомологий, де Рам (1954) и Жан Лере (1959) определили вычеты d-замкнутой регулярной дифференциальной q-формы, q > 1, на D С X с полюсами первого порядка вдоль гладкой гиперповерхности D, где X - некоторое комплексное многообразие.
Пусть X - аналитическое многообразие и D = {f = 0} - гладкая гиперповерхность в X. Рассмотрим замкнутую дифференциальную р-форму ш на X D, имеющую простой полюс на D (форма, обладающая полюсом на дивизоре не выше первого порядка, называется логарифмической). Сопоставим форме ш замкнутую дифференциальную р — 1 форму на D, которая называется формой-вычетом, обозначается ResD[ш] и зависит только от класса когомологий ш в XD. Лере установил, что взятие вычета индуцирует морфизм групп когомологий, Res : Hp(XD) ^ Hp-1(D). Понятие дуального (кограничного) морфизма 5: Hp-1 (D, C) ^ Hp(XD, C) в свою