Суммы характеров: оценки и приложения Габдуллин Михаил Рашидович

Короткий опис

Габдуллин, Михаил Рашидович.
Суммы характеров : оценки и приложения : диссертация ... кандидата физико-математических наук : 01.01.06 / Габдуллин Михаил Рашидович; [Место защиты: Математический институт им. В.А. Стеклова]. - Москва, 2019. - 84 с.
Оглавление диссертациикандидат наук Габдуллин Михаил Рашидович
Введение
Краткое содержание
Глава 1. Оценки сумм характеров в конечных полях порядка р2 и р3
Глава 2. Нижние оценки винеровской нормы в Zp
Глава 3. Пропущенные цифры в конечных полях
Глава 4. Множества, разность которых не содержит квадратов
Заключение
Литература
Введение
Общая характеристика работы
Актуальность темы.
Характерами на конечной абелевой группе называют гомоморфизмы последней в единичную окружность комплексной плоскости. Первый и, пожалуй, самый известный пример характеров — это характеры Дирихле, являющиеся характерами мультипликативных групп обратимых элементов колец вычетов. С помощью таких характеров и соответствующих им Ь-функций П.Г.Л. Дирихле доказал свою знаменитую теорему о том, что в арифметической прогрессии, первый член и разность которой взаимно просты, существует бесконечно много простых чисел.
Суммы характеров тесно связаны с тригонометрическими суммами, то есть суммами вида Х^еА /(п) — вещественная функция, а А —
некоторое множество. Работы многих крупных математиков прошлого столетия (таких, как И.М.Виноградов, Г.Вейль, И. ван дер Корпут, А.А.Кара-цуба, Н.М.Коробов и др.) были посвящены оценкам тригонометрических сумм и сумм характеров. Во многих задачах теории чисел такие суммы возникают естественным образом, и их оценки позволяют получать нетривиальные результаты в самых разных аналитических и комбинаторных задачах. Так, например, с помощью оценок линейных тригонометрических сумм по простым числам (в сочетании с круговым методом) И.М.Виноградов в 1937 году доказал, что любое достаточно большое нечетное число пред-ставимо в виде суммы трех простых чисел, решив тем самым тернарную проблему Гольдбаха. Многие открытые проблемы теории чисел следуют из достаточно сильных (неизвестных на сегодняшний день) оценок сумм характеров или тригонометрических сумм: к числу таких примеров можно отнести гипотезу Линделёфа об оценке дзета-функции на критической прямой и гипотезу И.М.Виноградова о наименьшем квадратичном невычете по простому модулю.
Оценкам сумм характеров и тригонометрических сумм посвящен ряд монографий (см., например, [1], [4], [11]).