ТИЩУК Тетяна Володимирівна. СПІВІСНУВАННЯ ПЕРІОДИЧНИХ КУСКОВО-СТАЛИХ РОЗВ’ЯЗКІВ НЕЛІНІЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ З ЧАСТИННИМИ ПОХІДНИМИ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

Короткий опис

ТИЩУК Тетяна Володимирівна. Назва дисертаційної роботи: "СПІВІСНУВАННЯ ПЕРІОДИЧНИХ КУСКОВО-СТАЛИХ РОЗВ’ЯЗКІВ НЕЛІНІЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ З ЧАСТИННИМИ ПОХІДНИМИ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ"

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
На правах рукопису
ТИЩУК Тетяна Володимирівна
УДК 517.9
СПІВІСНУВАННЯ
ПЕРІОДИЧНИХ КУСКОВО-СТАЛИХ РОЗВ’ЯЗКІВ
НЕЛІНІЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ
ДЛЯ ЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
З ЧАСТИННИМИ ПОХІДНИМИ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ
01.01.02 — диференціальні рівняння
Дисертація на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Науковий керівник
Самойленко Валерій Григорович,
доктор фізико-математичних наук, професор
Київ — 2016
2
ЗМІСТ
Вступ 4
Розділ 1. Oгляд літератури 13
1.1. Висновки до першого розділу . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Розділ 2. Унімодальні цикли неперервних відображень інтервалу 25
2.1. Моделі опуклої циклічної перестановки . . . . . . . . . . . . 27
2.2. Існування моделі опуклої циклічної перестановки . . . . . . 40
2.3. Вага опуклої циклічної перестановки . . . . . . . . . . . . . 55
2.4. Інтерпретація поняття ваги опуклої циклічної перестановки
з точки зору одновимірної динаміки . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5. Доведення теореми 2.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.6. Доведення твердження 2.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.7. Відношення лінійного порядку на множині опуклих циклічних перестановок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.8. Висновки до другого розділу . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Розділ 3. Періодичні кусково-сталі розв’язки нелінійних крайових задач для лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними першого порядку 74
3.1. Попередні зауваження з приводу розривних розв’язків деяких початкових задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2. Співіснування узагальнених періодичних розв’язків крайової задачі для лінійного диференціального рівняння першого порядку з частинними похідними і нелінійною крайовою
умовою . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3
3.3. Співіснування узагальнених періодичних розв’язків крайової задачі для симетричної гіперболічної системи двох рівнянь з частинними похідними . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4. Приклад узагальненого періодичного розв’язку крайової задачі для симетричної гіперболічної системи двох рівнянь з
частинними похідними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.5. Співіснування узагальнених періодичних розв’язків крайової задачі для симетричної гіперболічної системи рівнянь з
частинними похідними з однаковими функціями у нелінійних крайових умовах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.6. Співіснування узагальнених періодичних розв’язків крайової задачі для симетричної гіперболічної системи рівнянь з
частинними похідними з різними функціями у нелінійних
крайових умовах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.7. Висновки до третього розділу . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Висновки 119
Список використаних джерел 120
4
ВСТУП
Актуальність теми
У даний час науковці-математики та спеціалісти з інших галузей знань
приділяють значну увагу дослідженню моделей об’єктів, функціонування яких пов’язано з передачею (отриманням) чи зберіганням інформації
у цифровому вигляді. Часто в якості феноменологічних моделей таких
об’єктів використовуються диференціальні рівняння з частинними похідними і нелінійними крайовими умовами [76].
Такі нелінійні крайові задачі у випадку лінійних диференціальних рівнянь спеціальним чином редукуються до (нелінійних) різницевих рівнянь з
неперервним часом, вивчення яких проводиться за допомогою методів теорії одновимірних динамічних систем, що дає можливість дослідити властивості розглядуваних реальних динамічних процесів, від зовсім простих,
до хаотичних і навіть турбулентних, і тим самим отримати важливу інформацію про їх властивості.
На важливості дослідження подібних задач наголошує академік НАН
України Шарковський О.М., який зазначив таке: “Сведение краевых задач к разностным уравнениям позволяет осмыслить важные особенности
пространственно-временной эволюции реальных систем, в частности, понять, как зарождается и развивается каскадный процесс образования когерентных структур убывающих масштабов, почему в системе осуществляется переход к состоянию хаотического перемешивания, как со временем
может происходить стохастизация полностью детерминированной системы.” (передмова до книги Романенко Е.Ю. Разностные уравнения с непре-
5
рывным аргументом. – Киев: Институт математики НАН Украины, 2014. –
347 с. [13]).
Крайові задачі для лінійних диференціальних рівнянь з частинними
похідними та нелінійними крайовими умовами плідно досліджуються у
відділі теорії динамічних систем Інституту математики НАН України, де
отримано низку фундаментальних результатів у цій галузі. Так, Шарковський О.М. і Романенко О.Ю. показали, що траєкторії розв’язків нелінійних крайових задач (у загальному випадку) можуть демонструвати дуже
складну поведінку, наприклад, володіти властивістю автостохастичності.
Шарковський О.М. і Сівак А.Г. розглянули класи нелінійних крайових задач, періодичні розв’язки яких мають ті ж самі якісні та кількісні універсальні біфуркаційні властивості, що й траєкторії відповідних одновимірних динамічних систем.
При цьому в якості початкових функцій у випадку згаданих крайових
задач розглядалися неперервно диференційовні функції. Природно виникає питання про вивчення властивостей розв’язків нелінійних крайових
задач зі сталими початковими умовами, наприклад, для лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними. Зауважимо, що такі задачі досі не досліджувалися, можливо тому, що не мають, взагалі кажучи, класичних розв’язків. Природно в якості їх розв’язків розглядати узагальнені
розв’язки.
Тому дослідження нелінійних крайових задач для лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними є актуальною задачею, тим більше, що подібні крайові задачі можуть використовуватися в якості феноменологічних моделей широкосмугових генераторів цифрових періодичних
сигналів, які (математично) описуються кусково-сталими функціями [76].
Широкосмуговість згаданих генераторів вимагає від крайової задачі наявності у неї нескінченної множини “несхожих” один на одного періодичних
розв’язків, що для багатьох класів динамічних систем є ознакою хаотич-
6
ності системи, а отже певний інтерес становить задача про співіснування
узагальнених періодичних розв’язків згаданих вище нелінійних крайових
задач.
Як зазначено вище, при дослідженні нелінійних крайових задач суттєво використовується теорія одновимірних динамічних систем і, зокрема,
комбінаторна динаміка, які активно розвиваються з 60-их років ХХ-го століття. Фактично зародження комбінаторної динаміки, як розділу теорії динамічних систем, почалося з праць Шарковського О.М., який запропонував
розглядати новий тип взаємозв’язку між траєкторіями динамічної системи
– їх співіснування.
Одним з перших фундаментальних результатів в комбінаторній динаміці стала теорема, яка опублікована в 1964 році і яка в даний час широко
відома як теорема Шарковського, про співіснування циклів різних періодів
для неперервних відображень відрізка в себе [37]. З моменту опублікування цієї теореми інтерес до неї не згасає, про що свідчать численні публікації різних авторів, якими запропоновано нові варіанти її доведення, а також
аналоги та узагальнення даної теореми для різних класів відображень, фазових просторів і навіть для складніших структур, ніж цикл відображення
відрізка в себе.
У теоремі Шарковського цикли неперервного відображення класифікуються за періодами. Але, як відомо, відображення може мати різні цикли деякого фіксованого періоду, а тому такої класифікації, взагалі кажучи,
недостатньо. Природно, крім класифікації циклів за періодами, розглядати їх класифікацію за типами (циклічними перестановками). Хоча у цьому
напрямі отримано цілу низки вагомих результатів у працях Шарковського О.М., Федоренка В.В., Alsedà L., Baldwin S., Llibre J., Misiurewicz M.
та інших, але питання про класифікацію циклів (деякого фіксованого періоду) неперервного відображення за їх типами є актуальним. Саме питання про співіснування циклів неперервного відображення відрізка в себе
7
не за періодом (як у теоремі Шарковського), а за запропонованим у дисертаційній роботі новим поняттям моделі типу циклу розглядається у даній
дисертації. Отримані результати щодо класифікації таких циклів суттєво
використовуються у даній дисертації при вивченні питання про співіснування узагальнених кусково-сталих періодичних розв’язків лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними першого порядку з нелінійними крайовими умовами.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами
Дисертаційна робота виконана на кафедрі математичної фізики механіко-математичного факультету Київського нацiонального унiверситету імені Тараса Шевченка в рамках державної бюджетної наукової теми № 11
БФ 038-04 “Варiацiйнi та асимптотичнi методи в задачах механiки суцiльних середовищ” (номер державної реєстрацiї 0111U004956).
Мета і задачі дослідження
Основною метою роботи є дослідження питання про співіснування узагальнених кусково-сталих періодичних розв’язків лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними першого порядку з нелінійними крайовими умовами.
Об’єктом дослідження є крайові задачі для лінійних диференціальних
рівнянь першого порядку з частинними похідними.
Предметом дослідження є періодичні кусково-сталі розв’язки лінійних
диференціальних рівнянь з частинними похідними першого порядку з нелінійними крайовими умовами.
Методи дослідження
У дисертації використано результати і методи теорії одновимірних динамічних систем, комбінаторної динаміки, диференціальних рівнянь з частинними похідними.
Наукова новизна одержаних результатів
Всі результати дисертаційної роботи є новими. У ній вперше:
8
– запропоновано поняття моделі типу циклу і поняття ваги моделі типу
циклу для неперервного відображення відрізка в себе, за допомогою яких
описано множину типів циклів, що має довільне неперервне відображення відрізку в себе з L-схемою, і встановлено співіснування унімодальних
циклів неперервного відображення відрізка в себе;
– запропоновано поняття узагальненого кусково-сталого періодичного розв’язку нелінійної крайової задачі для лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними першого порядку з нелінійними крайовими
умовами;
– запропоновано поняття типу узагальненого кусково-сталого n-періодичного розв’язку нелінійної крайової задачі для лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними першого порядку;
– для лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними першого порядку (одного рівняння, системи двох рівнянь і систем 2n рівнянь)
з нелінійними крайовими умовами встановлено співіснування (за типами)
їх узагальнених кусково-сталих періодичних розв’язків.
Практичне значення одержаних результатів
Результати дисертації мають теоретичний характер і можуть бути використані для побудови феноменологічних моделей широкосмугових генераторів цифрових сигналів. Вони також можуть використовуватися при
читанні спеціальних курсів з теорії диференціальних рівнянь, зокрема, теорії одновимірних динамічних систем.
Особистий внесок здобувача
Всі наукові результати дисертації, які виносяться на захист, отримані
здобувачем особисто. При формулюванні означення 2.3.1 і леми 2.4.1 використано результати статті Федоренка В.В. “Канонические периодические
траектории одномерных динамических систем” // Приближенные и качественные методы теории дифференциально-функциональных уравнений, К.:
Ин-т математики АН УРСР, 1983, c. 106–109. У працях, які опубліковано
9
спільно з науковим керівником доктором фіз.-мат. наук, професором Самойленком В.Г., кандидатом фіз.-мат. наук, старшим науковим співробітником Федоренком В.В. і асистентом Федоренко Ю.В., Самойленку В.Г.
належить визначення напрямку дослiдження i постановка задач, а Федоренку В.В. та Федоренко Ю.В. – постійна участь у обговореннях отриманих результатів.
Апробація результатів дисертації
Результати дисертації неодноразово доповідалися на науковому семінарі “Асимптотичні та аналітичні методи для задач математичної фізики”
кафедри математичної фiзики Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка (керiвники: професор Мельник Т.А., професор Самойленко В.Г.; м. Київ, 2013, 2014, 2015), науковому семінарі кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка (керiвники: академік НАН України Самойленко А.М., академік НАН України Перестюк М.О.; м. Київ, 2015) та на міжнародних і всеукраїнських наукових конференціях:
– Міжнародна математична конференція “Диференціальні рівняння,
обчислювальна математика, теорія функцій та математичні методи механіки” до 100-річчя від дня народження члена-кореспондента НАН України
Положого Г.М. (Київ, 2014).
– П’ятнадцята міжнародна наукова конференція імені академіка Михайла Кравчука (Київ, 2014).
– Четверта міжнародна ганська конференція присвячена 135 річниці від
дня народження Ганса Гана (Чернівці, 2014).
– Сьома міжнародна конференція імені Ляшка І.І. (Київ, 2014).
– Міжнародна наукова конференція “Сучасні проблеми математичного
моделювання та обчислювальних методів” (Рівне, 2015).
10
– Third International Conference on memory of corresponding member of
National Academy of Science of Ukraine Melnik V.S. “Nonlinear analysis and
applications” (Kyiv, 2015).
– Шістнадцята міжнародна наукова конференція імені академіка Михайла Кравчука (Київ, 2015).
Публікації
Основні результати роботи опубліковано в 6 статтях у виданнях, що
входять до переліку наукових фахових видань МОН України, серед яких
1 стаття в зарубіжному виданні, та 7 тезах доповідей міжнародних конференцій.
Структура дисертації
Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків
та переліку використаних джерел. Обсяг дисертаційної роботи становить
129 сторінок машинописного тексту, список використаних джерел містить
86 найменувань і займає 10 сторінок.
У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету і завдання дослідження, наведено результати, які визначають наукову новизну роботи, викладено основні результати та описано
структуру дисертаційної роботи.
Перший розділ дисертаційної роботи присвячено огляду літератури за
темою дисертації. Розкрито історію питань, пов’язаних з тематикою роботи, та подано огляд основних праць з теми дисертації.
Другий розділ дисертаційного дослідження присвячено вивченню унімодальних циклів неперервних відображень інтервалу в себе. Тут запропоновано класифікацію унімодальних циклів одновимірних неперервних
відображень відрізка в себе за моделлю типу циклу. Дано означення моделі типу циклу та ваги моделі типу циклу, які використовуються для опису унімодальних циклів неперервного відображення. Визначено множину
типів циклів, яку має будь-яке неперервне відображення відрізка в себе,
11
що містить L-схему. На множині опуклих циклічних перестановок описано відношення лінійного порядку, що індукується вагою опуклої циклічної
перестановки.
Отримані результати щодо класифікації унімодальних циклів суттєво
використовуються у даній дисертації при вивченні питання про співіснування узагальнених кусково-сталих періодичних розв’язків лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними першого порядку з нелінійними крайовими умовами.
У третьому розділі розглянуто нелінійні крайові задачі для лінійних диференціальних рівнянь першого порядку з частинними похідними та досліджено питання про співіснування їх узагальнених кусково-сталих періодичних розв’язків.
Дослідження таких узагальнених кусково-сталих періодичних розв’язків здійснено шляхом зведення крайової задачі для лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними до відповідного різницевого рівняння
з неперервним часом, причому крайові умови та початкові дані забезпечують редукцію отриманого різницевого рівняння до неперервного відображення інтервалу.
Співіснування узагальнених періодичних розв’язків крайових задач
встановлено не за періодами, як у теоремі Шарковського при вивченні питання про співіснування циклів одновимірного відображення відрізка в себе, а за спеціальним чином вибраними типами цих узагальнених періодичних розв’язків.
Для лінійного диференціального рівняння з частинними похідними
першого порядку, для системи двох лінійних диференціальних рівнянь з
частинними похідними першого порядку та для систем 2n лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними першого порядку, встановлено співіснування (за типами) їх узагальнених кусково-сталих періодичних розв’язків.
12
Після кожного з розділів дисертаційної роботи сформульовано висновки, а наприкінці основного тексту дисертації – висновки до дисертаційного
дослідження в цілому.
Автор щиро вдячна академіку НАН України Шарковському Олександру Миколайовичу за формулювання проблем, що пов’язані з вивченням
нелінійних крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними методами теорії одновимірних динамічних систем, та своєму науковому керівникові доктору фізико-математичних наук, професору Самойленку Валерію Григоровичу за постійну увагу, поради та підтримку при
роботі над дисертацією.

Список літератури

ВИСНОВКИ
Дисертаційна робота присвячена вивченню періодичних кусковосталих розв’язків нелінійних крайових задач для лінійного диференціального рівняння з частинними похідними першого порядку і для систем лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними першого порядку та дослідженню питання про їх співіснування.
Запропоновано поняття моделі типу циклу і поняття ваги моделі типу
циклу для неперервного відображення відрізка в себе, за допомогою яких
описано множину типів циклів, що має довільне неперервне відображення відрізку в себе з L-схемою, і встановлено співіснування унімодальних
циклів неперервного відображення відрізка в себе. Також запропоновано поняття узагальненого кусково-сталого періодичного розв’язку нелінійної крайової задачі для лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними першого порядку з нелінійними крайовими умовами та поняття типу узагальненого кусково-сталого n-періодичного розв’язку нелінійної крайової задачі для лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними першого порядку. Для лінійного диференціального рівняння з частинними похідними першого порядку, для системи двох лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними першого порядку
та для систем 2n лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними першого порядку, встановлено співіснування (за типами) їх узагальнених кусково-сталих періодичних розв’язків.
Доведені у дисертації твердження доповнюють і розширюють існуючі
результати з якісної теорії диференціальних рівнянь і можуть бути використаними для подальшого її розвитку.