Восстановление гравитационного поля в дискретной постановке при решении интерпретационных задач

Короткий опис

Содержание
Введение. стр 6

Глава 1. Методы интерпретации гравитационных и магнитных данных в геофизике.

1.1. Обзор существующих методов интерпретации данных гравитационных и магнитных аномалий. стр 12

1. 2.Дискретный метод при решении задач гравиметрии и магниметрии.стр 16

1.2.1. Основы теории дискретных гравитационных полей стр 17

1.2.2. Основы теории дискретных магнитных полей стр 27

1.3. Постановка задачи при аналитическом продолжении заданных значений поля в дискретной постановке. стр 35

1.4. Методы устойчивого решения системы линейных

алгебраических уравнений. стр 51

1.4.1. Метод последовательного умножения полиномов для решения системы линейных алгебраических уравнений. стр 51

1.4.2. Метод с использованием преобразования Хаусхолдера для решения системы линейных алгебраических уравнений. стр 56

Глава2 . Компьютерные технологии при вычислении пространственных элементов аномальных гравитационных полей в горизонтальном слое, расположенном выше источников поля.

2.1. Методика проведения вычислительных экспериментов. стр 60

2 . 2. Пример прямого пласта. стр 71

2.3. Пример слоистой структуры. стр 87

2 . 4 . Пример наклонного пласта. стр 91

2.5. Фильтрация заданных значений поля — , осложненных помехой, и

используемых в качестве входных данных при аналитическом продолжении в двухмерном случае. стр 104

*

ГлаваЗ . Компьютерные технологии при аналитическом продолжении заданных значений поля в области, занятые источниками.

3.1. Восстановление пространственных элементов поля в областях с удаленными «купюрами». стр 120

3. 2. Формальное аналитическое продолжение заданных значений поля в горизонтальный слой, но при этом в этом слое заведомо находятся источники поля. стр 138

3. 2.1. Формальное аналитическое продолжение заданных значений поля в горизонтальный слой, если заданные значения поля располагаются на двух горизонтальных уровнях z = 0, z = -h. стр 143

3. 2.1.1. Формальное аналитическое продолжение заданных значений поля в горизонтальный слой , если в модельных примерах аномалеобразующие тела представлены в виде прямых и вертикальных пластов. стр 143

3. 2.1.2. Формальное аналитическое продолжение заданных значений поля в горизонтальный слой, если в модельных примерах аномалеобразующие тела представлены в виде круговых горизонтальных цилиндров. стр 155

3. 2.2. Формальное аналитическое продолжение заданных значений поля в горизонтальный слой, если заданные значения поля располагаются на двух горизонтальных верхних уровнях z = 0, z = -h и боковых вертикальных профилях или на полном контуре. стр 169

3.3. Инвариантность восстанавливаемых значений поля относительно различных решений прямой задачи. стр 180

3.4. Новые технологии , позволяющие повысить точность восстанавливаемых при аналитическом продолжении значений поля. стр 188

Глава4 . Дополнительные вычислительные эксперименты для решения различных практических и теоретических задач в дискретной постановке.

4 . 1.Вычисление высших производных потенциального поля. стр 201

4.2. Локализация особых точек построением функции подобной функции Березкина. стр 208

4.3. Сглаживание краевых эффектов у аномальных кривых поля Ag. стр 214 4.3.1. Технология сглаживания краевых эффектов у аномальных кривых поля Ag. стр 214 4 .3 .2 . Составление программ и результаты расчетов. стр 220

4.4. Сходимость дискретных схем к точному решению при уменьшении шага сетки. стр 225

4.4.1. Аналитическое продолжение заданных значений поля в дискретной постановке при различных шагах сетки. стр 225

Ы 4.4.2. Исследование сходимости дискретных схем к точному решению при

неограниченном уменьшении шага сетки. стр 229

4.4.2. 1 . Аппроксимация, устойчивость и сходимость стр 229

4.4.2.1.1. Приближение банахова пространства с помощью последовательности банаховых пространств. стр 229

4.4.2.1.2. Порядок аппроксимации элемента последовательностью, стр 232

4.4.2.1.3. Аппроксимация линейных операторов. стр 232 4.4.2. 1 .4. Условие устойчивости. стр 233 4.4.2. 1 .5. Теорема о сходимости приближенной схемы. стр 234 4.4.2.2 .Сходимость разностной схемы в случае уравнения Лапласа.стр 236

т

Глава 5. Решение обратной задачи с использованием методов теории дискретного гравитационного поля.

8V

5.1. Пересчет заданных значений поля — на физической поверхности Земли

в узлы равномерной сетки с заданным шагом, расположенных на уровнях z = О, z = -h. стр 248

5.2. Постановка задачи при восстановлении значений поля — внутри

dz

источников. стр 274

'9 5.2.1. Потенциал однородной сферы. _ стр 277

5.2.2. Потенциал объемных масс (общий случай). стр 282

5.3. Компьютерные технологии при решении уравнения Пуассона в дискретной постановке. стр 287

Заключение стр 297

Литература стр 301
Введение

. Введение.

Актуальность проблемы.

В последнее десятилетие XX века огромное влияние на прикладную геофизику имело развитие вычислительной техники, и прежде всего -персональных компьютеров. Стали возможными реализации самых сложных вычислительных процедур и с каждым годом эти возможности возрастают. Соответственно возрастает роль математических методов в геофизике. Применение методов и результатов самых современных разделов математики при интерпретации данных об аномальных физических полях должно соответствовать реальной геофизической практике. Это соответствие теории практике

. достигается за счет:

Ф

а) введения постановок любых задач, решения которых должны находиться по

экспериментальной информации об аномальном поле, с учетом конечности и приближенности этой информации;

б) использования аппроксимационного подхода ;

в) использования идеи алгебраизации, суть которой в том, чтобы редуцировать решение линейных задач гравиметрии и магнитометрии к проблеме

чЦ нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных

алгебраических уравнений, а решение нелинейных задач редуцировать к нахождению устойчивых приближенных решений последовательности систем линейных алгебраических уравнений.

Адекватные реальной геофизической практике постановки возникают в рамках метода построения дискретных аппроксимаций аномальных физических полей, общая методология и конструктивные основы которого были разработаны В. Н, Страховым. Использование этого метода в современной теории интерпретации имеет два важнейших преимущества: а) в рамках этого метода алгебраизация всех задач интерпретационного

№' характера достигается наиболее простым и естественным образом;

б) возникающие в рамках этого метода системы линейных алгебраических уравнений имеют очень сильно разреженные матрицы и специфические (содержащие много нулевых компонент) векторов правых частей.

Цель диссертации: разработка методологии интерпретации данных гравимагниторазведки на основе метода дискретных аппроксимаций физических полей, соответствующей возрастающим потребностям современной геофизической практике.

Основные задачи исследования:

1. Постановка задачи и разработка теории продолжения заданных значений поля в нижнее полупространство на основе метода дискретных аппроксимаций физических полей, предложенного В.Н. Страховым.

2. Разработка алгоритмов и компьютерных технологий продолжения заданных значений поля вертикального градиента потенциала вниз в заданный горизонтальный слой, целиком расположенный выше верхних особенностей, с использованием дискретных аппроксимаций оператора Лапласа в двумерном случае.

3. Разработка алгоритмов и компьютерных технологий продолжения заданных значений поля вертикального градиента потенциала в заданный горизонтальный слой, заведомо содержащий источники поля, с использованием дискретных аппроксимаций оператора Лапласа в двумерном случае.

4. Создание алгоритмов и компьютерных программ в при решении следующих задач в дискретной постановке, обеспечивающих повышение точности восстанавливаемых значений поля при аналитическом продолжении: фильтрация входных данных, осложненных помехой; разработка новых подходов, обеспечивающих повышение точности восстанавливаемых значений поля; постановка вычислительных

экспериментов с уменьшением шага сетки и увеличением длины профиля , на котором расположены заданные значения поля.

5. Создание алгоритмов и компьютерных программ в дискретной постановке для трансформации аномальных элементов поля и построения функции, подобной функции Березкина для локализации особых точек.

6. Создание алгоритмов и компьютерных технологий решение обратных задач гравимагнитой разведки без решения прямых с использованием метода дискретных аппроксимаций физических полей.

7. Апробация созданных алгоритмов и программ на модельных и практических примерах.

Научная новизна:

1. Разработана теория построения дискретных аппроксимаций потенциальных полей при решении интерпретационных задач.

2. Разработаны основы аналитического продолжения заданных значений потенциальных полей в нижнее полупространство с использованием дискретных аппроксимаций.

3. Оценена точность восстанавливаемых значений поля с учетом гармоничности функций, представляющих потенциальные поля.

4. Разработаны основы линейного трансформирования потенциальных полей на базе полученных дискретных аппроксимаций.

5. Показано, что с помощью дискретных аппроксимаций гравитационного поля можно эффективно решать задачи фильтрации входных данных и разрабатывать технологии, которые значительно повышают точность восстанавливаемых значений поля.

6. Предложен алгебраический метод решения обратной задачи без многократного решения прямых задач с использованием дискретных аппроксимаций уравнения Пуассона.

Практическая ценность.

Теоретические разработки реализованы в виде программных продуктов для персональных компьютеров и могут применяться для широкого круга задач.

Создана новая технология обработки данных непосредственно в поле на основе метода дискретных аппроксимаций потенциальных полей.По полученной из наблюдений информации исследователь с помощью ноутбуков может построить дискретные аппроксимации элементов аномальных потенциальных полей, а затем, по мере накопления данных, уточнять уже построенные. Личный вклад автора.

Автором разработана теория и методика применения дискретных аппроксимаций для решения разнообразных геолого-геофизических задач, созданы программные продукты, обработанные на модельных и практических примерах.

Защищаемые положения. Показано, что

1. Для интерпретации данных гравитационных и магнитных аномалий вместе с классическим подходом, основанном на континуальном представлении, целесообразно применение дискретного подхода, основанного на дискретных аппроксимациях полей и соответствующих дифференциальных уравнений и обеспечивающих решение обратных задач по устойчивому определению локальных особенностей аномалеобразующих объектов.

2. Для получения устойчивых приближенных решений геофизических задач с учетом имеющейся априорной информации эффективны: 1) редукция указанных задач к решению систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданной правой частью и 2) решение получающихся систем линейных алгебраических уравнений с помощью специально разработанных устойчивых методов, что обеспечивает резкое повышение точности оценки положения верхней кромки источников.

3. Применение разработанных алгебраических методов, не нуждающихся в многократном решении прямых задач, дает возможность эффективно локализовать источники гравитационного и магнитного полей.

Апробация и публикации. Основные положения и результаты работы докладывались на семинаре «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» им. А.Г. Успенского в разные годы (Ухта 1998, Киев 2001, Екатеринбург 2002, Москва 2003 ; 2004); на Второй Всероссийской конференции «Геофизика и математика» (Пермь, 2001 г.);на конференции «Геофизика на рубеже XX и XXI веков», посвященной 10-летию РФФИ (Москва, 2002 год);на Международной школе-семинаре«Вопросы теории и практики комплексной интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» ( Апатиты,2002г.); на Пятых ежегодных геофизических чтениях им.В.В.Федынского (Москва,2003 г.); на III Международном социальном конгрессе «Глобальная стратегия социального развития России: социологический анализ и прогноз».Секция « Актуальные проблемы математики и ее приложений»(Москва, 2003 г.).

Были сделаны два доклада на Ученом совете Института геофизики НАН

Украины по приглашению вместе с академиком Страховым В.Н. по случаю Года России на Украине в марте 2003 года.

По теме диссертации опубликовано около 18 печатных работ, написано 3 отчета по опытно-методическим и тематическим работам.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 288 наименований. Она содержит 321 страниц основного текста, в том числе 124 рисунков и 36 табл .

Значительная часть диссертационной работы выполнена во время учебы в очной докторантуре при ИФЗ им.О.Ю.Шмидта РАН под научным руковод- ством В.Н.Страхова .Большинство методологических и теоретических' положений, представленных в диссертации, базируется на научных работах

ю

В.Н.Страхова ,которому автор выражает огромную благодарность. Практические примеры были любезно предоставлены

А.С.Долгалем,С.Г.Бычковым и др.специалистами лаборатории Горного

института Уральского отделения РАН. Автор выражает также благодарность А.В.Страхову за полезные советы и

рекомендации при использовании пакета компьютерных программ SPM.

т

и

Глава 1. Методы интерпретации гравитационных и магнитных данных в геофизике.

1.1. Обзор существующих методов интерпретации данных гравитационных и магнитных аномалий.

В работах [ 149-152] В.Н.Страхов выделил три парадигмы в развитии теории интерпретации данных гравитационных и магнитных аномалий в СССР и России.

Первая парадигма сформировалась очень быстро . Она была создана в основном в классических исследованиях по изучению КМА ( Курской магнитной аномалии) в 20-е годы XX века ( П.П.Лазарев, А.И.Заборовский, Г.А.Гамбурцев, П.М.Никифоров и др.), а также в исследованиях в районе Эмбы ( Прикаспийская низменность), на Криворожской магнитной аномалии, на Урале и т.д. [24,25, 43,58-60,87, 91,97].

В 20-30-е годы прошлого века производительность гравиметрической и магнитометрической аппаратуры была низкой, низкой была и производительность ручных вычислений, поэтому использование сложного математического аппарата, изучение и практическое использование достаточно сложных моделей среды и поля отходили на второй план. Сформировались прежде всего средства нахождения параметров среды для идеализации плоского (двухмерного) поля. В эпоху первой парадигмы дополнительно разрабатывались методы вычисления высших производных потенциалов и методы аналитического продолжения полей, но все эти методы базировались на использовании палеток, номограмм и т.д., т.е. - на ручном счете.

Вторая парадигма в теории и практике интерпретации потенциальных полей сформировалась под влиянием следующих факторов:

а) непрерывного расширения всего фронта геолого-геофизических ислледований в СССР;

12

б) качественного изменения измерительной аппаратуры — принципиальным повышением ее точности; к середине 50-х годов серийные гравиметры могли измерять гравитационное поле с точностью до 0.1-0.2 мГал; а аэромагнитометры - магнитное поле с точностью до 3-5 гамм;

в) качественного изменения вычислительных возможностей - появились первые ЭВМ.

Кроме того, математические методы стали все чаще использоваться в других науках - прежде всего, достижения вычислительной математики, математической физики, функционального анализа.

Становлению второй парадигмы , по мнению В.Н.Страхова, способствовали труды следующих ученых:

В.И.Аронова, О.К.Литвиненко, В.Н.Луговенко, В.Н.Страхова, Т.Б.Калининой, И.Г.Клушина, Г.А.Трошкова, С.В.Шалаева, Г.И.Каратаева, Г.Г.Ремпеля, Е.Г.Булаха , С.С.Красовского, В.И.Старостенко ,Г.Я.Голиздры, Н.К.Ступака, К.Ф.Тяпкина, В.М.Новоселицкого, А.В.Цирульского, М.М.Алексидзе, О.А.Соловьева, В.Г.Чередниченко, К.В.Гладкого, Б.А.Андреева, Г.М.Воскобойникова.

За сравнительно короткий срок ( 15-20 лет) практически все разделы теории интерпретации потенциальных полей были существенно переработаны - и соданы принципиально новые компьютерные технологии решения задач гравиметрии и магнитометрии - интерпретационного характера.

Советские ученые имеют мировой приоритет по следующим проблемам: 1) проблемы единственности и эквивалентности в обратных задачах гравиметрии и магнитометрии ( работы П.С.Новикова, И.М.Раппопорта, А.И.Прилепко, А.Х.Остромогильского, В.Г.Чередниченко, В.Н.Страхова, М.А.Бродского, А.С.Маргулиса, А.В.Цирульского, см. [88,95,100,103,106,109,113,122-124,127-129,131-133,142,161,162,207-

211]);

13

2) использование методов теории функций комплексного переменного в 4| плоских ( двухмерных) задачах гравиметрии и магнитометрии ( работы

А.А.Заморева, В.К.Иванова , И.М.Раппопорта, Н.К.Ступака, С.В.Шалаева, В.Н.Страхова, Г.Я.Голиздры, А.В.Цирульского, П.С.Мартышко, И.Л.Пруткина, Г.А.Трошкова, М.С.Жданова, см. [37,38,45,53,57,59,60,89-90,104,122-124,142,125-141,207-208]);

3) использование методов функционального анализа и теории некорректно поставленных задач при решении задач гравиметрии и магнитометрии ( работы М.А.Алексидзе, В.Н.Страхова, В.Б.Гласко, В.И.Старостенко, С.М.Оганесяна, А.И.Кобрунова и его учеников, В.Г.Чередниченко [73-77,98-99,114,115,200-202,206,207-215]);

4) использование методов теории вероятностей и математической W

статистики при решении задач гравиметрии и магнитометрии ( работы

Ф.М.Гольцмана, А.А.Никитина, см. [48,93,94]);

5) использование методов оптимизации и математического программирования ( работы Е.Г.Булаха, В.И.Старостенко, С.М.Оганесяна, С.В.Шалаева, В.И.Гольдшмидта и др., см. [ 32-35,47,213]);

Ш 6) использование аппарата теории функций комплексного переменного в

трехмерных задачах гравиметрии и магнитометрии, а также аппарата кватернионов и других гиперкомплексных систем ( В.Н.Страхов, Г.А.Трошков, К.И.Соколовский , СВ. Шалаев и др. [112, 122-124,126-129, 200-202,214])

В целом ряде методов, использующихся в настоящее время при интерпретации данных гравимагниторазведки, предлагаются те или. иные аппроксимации аномальных физических полей.

Широкое распространение в середине и конце XX века получила аппроксимация гравитационного поля Земли отрезками ряда по шаровым функциям. В этой области проведено большое количество исследований как

14

;*

отечественными учеными, так и зарубежными, см. работы Ж.Бальмино,С.Бета, Д.Глиссона, П.Найду, Р.Нерема, Ф.Сансо ,Н.Снейю ,С.Чернинга, Нетлтона Л. , В.Н.Страхова и др. [192,224-225,227,238,247,257-260,269-272,275-276,278,279,280,281, 283-285, 286-287]. С середины 50-х годов прошлого века при интерпретации данных гравитационых и магнитных аномалий активно стал применяться спектральный анализ , см. работы Гладкого К.В., Серкерова С.А., Страхова В.Н., Барбера Н., Бартельма Ф., Бостока М., и др. [ 163-167,176-178, 190,191,193,226, 228,252-256,260-261, 269-270, 273,277,282 ]. При интерпретации данных гравитационных и магнитных аномалий используются также монтажный метод, рассмотренный в работах В.Н.Страхова, П.И.Балка, У.Шефера [ 21-23, ], метод граничных элементов , см. работы Клиза Р. [ 246], метод аппроксимации сингулярными источниками , см. работы Блоха Ю.И. , Баллани Л. др. [ 30,222-223]. Используются также методы, основанные на применении принципа неопределенности - работы Фридена [ 232-237 ], фрактальный анализ - работы М.Пилкингтона [266-268]. Группа канадских иследователей [ Д.Олденбург , Е.Ашер, У.Хабер ,Й.Ли др.] разработали методику комплексной интерпретации данных гравимагниторазведки и электроразведки [ 221,229,240-243,248-251,262- 265,27Г4], позволяющую, по их утверждению, решать любые задачи интерпретации геофизических данных. Она основана на разбиении Земли на некие прямоугольные элементарные ячейки, обладающие постоянными физическими свойствами. Число таких ячеек обычно значительно превосходит число данных. И существует бесконечно много распределений масс по ячейкам, которые порождают одни и те же поля. Чтобы избавиться от неединственности, нужно поставить задачу оптимизации ( минимизации некоторого целевого функционала ), которая затем успешно решается.

Существующие в настоящее время методы интерпретации данных гравимагниторазведки хорошо зарекомендовали себя в последние 30 лет, но, как отмечал В.Н.Страхов [ 125,147-150], в современных теориях интерпретации

15

А

геофизических данных используются те или иные идеализации, которые не отвечают либо природным соотношениям, либо экспериментальным исследованиями изучаемых полей ( идеализация двумерного поля, идеализация плоской границы Земля-воздух, идеализация непрерывного задания некоторого элемента поля на всей поверхности раздела Земля-воздух, идеализация задания некоторого элемента поля в узлах регулярной сети и т.д.). Поэтому назрела необходимость перехода к третьей парадигме в теории интерпретации данных гравимагниторазведки [ 147-150].

В настоящей работе в рамках дискретного метода предлагается методика интерпретации потенциальных полей с помощью вычисления пространственных элементов аномальных потенциальных полей при аналитическом продолжении заданных значений поля.

Как указывает В.Н.Страхов в [ 149 ] в рамках третьей парадигмы теория интерпретации базируется не на одном, а на двух базисных математических аппаратах: а) континуальных физических полей; б) дискретных физических полей. Дискретный подход при решении задач гравиметрии и магниметрии в геофизизике в его систематической форме был предложен и разработан В.Н. Страховым в 1989г. [148 ]. Основные идеи этого подхода излагаются в следующем пункте.

1. 2. Дискретный метод при решении задач гравиметрии и магниметрии.

В рамках теорий дискретных полей наиболее просто и полно реализуется аппроксимационный подход, при этом фактически используются две согласованных аппроксимации:

а) координатного пространства R"(n 2) сеточным пространством S = S";

б) физического поля, определенного в R" (п 3), сеточным полем, определенном на сеточном пространстве S = S".

16

В рамках теории дискретных физических полей наиболее просто и полно реализуется фундаментальная методологическая идея алгебраизации, т.е. редукции задач к последовательности задач нахождения (приближенных) решений систем линейных алгебраических уравнений.

1.2.1. Основы теории дискретных гравитационных полей

В настоящее время базовым математическим аппаратом теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий является классическая континуальная теория ньютоновского потенциала, в случае плоской задачи в качестве такового выступает классическая теория логарифмического потенциала. Соответственно в плоской задаче наряду с аппаратом теории функций двух вещественных переменных используется теория (аналитических) функций комплексного переменного [212, 214], а в пространственной задаче наряду с аппаратом теории функций трех вещественных переменных используются теории кватернионных функций и функций двух комплексных переменных. Однако с течением времени выяснилось ,что базовая классическая континуальная теория потенциала порождает (излишнюю) сложность и запутанность теории интерпретации гравитационных данных в целом ряде принципиальных вопросов. Во-первых, существуют сложности в проблемах эквивалентности и единственности решений обратной задачи гравиметрии. Во-вторых, существуют большие сложности в проблеме аналитического продолжения; в двухмерной задаче требуется вводить в рассмотрение поля, определенные на римановой (в общем случае счетнолистной) поверхности, а в трехмерной задаче - поля, определенные на римановом пространстве, в общем случае содержащем счетное число сложно соединенных трехмерных пространств. В-третьих, существуют большие сложности в проблеме так называемых особых точек гармонических функций, описывающих элементы полей (точнее, аналитические продолжения этих функций).

17

Список литературы