Зінченко Артем Юрійович. Комп’ютерне моделювання детермінованого хаосу в процесах з квадратичною нелінійністю

Короткий опис

Зінченко Артем Юрійович. Назва дисертаційної роботи: "Комп’ютерне моделювання детермінованого хаосу в процесах з квадратичною нелінійністю"

Міністерство освіти і науки України
Нацiональний технiчний унiверситет України
”Київський полiтехнiчний iнститут“
На правах рукопису
ЗІНЧЕНКО АРТЕМ ЮРІЙОВИЧ
УДК: 517.938 : 004.942
КОМП’ЮТЕРНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ДЕТЕРМІНОВАНОГО ХАОСУ
В ПРОЦЕСАХ З КВАДРАТИЧНОЮ НЕЛІНІЙНІСТЮ
01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи
Дисертація на здобуття наукового ступеня
кандидата технічних наук
Науковий керівник
Данилов Валерій Якович,
доктор технічних наук,
професор
Київ-2016
2
ЗМІСТ
Стор.
ВСТУП 4
РОЗДІЛ 1. ХАОС В ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМАХ 13
1.1. Проблематика досліджень детермінованого хаосу .............................................. 13
1.2. Реконструкція математичних моделей динамічних систем при детермінованому
хаосі ........................................................................................................................... 24
1.3. Методи дослідження детермінованого хаосу ........................................................ 28
Висновки за розділом 1............................................................................................. 33
РОЗДІЛ 2. ЗАПРОПОНОВАНІ МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕННЯ ДЕТЕРМІНОВАНОГО
ХАОСУ В СКЛАДНИХ НЕЛІНІЙНИХ СИСТЕМАХ 34
2.1. Концепція дослідження детермінованого хаосу ..................................................... 34
2.2. Розробка методу параметричної ідентифікації ....................................................... 38
2.2.1. Хаотична синхронізація двох однонаправлених звя’заних осциляторів .......... 38
2.2.2. Оцінювання невідомих параметрів ....................................................................... 44
2.2.3. Результати дослідження: моделі Ресслера та Лоренца…………………………48
2.3. Обчислення кореляційних інтегралів....................................................................... 54
2.3.1. Загальні відомості.................................................................................................... 54
2.3.2. Розробка методу оцінювання вікна реконструкції для підвищення якості
обчислень кореляційних інтегралів....................................................................... 59
2.3.3. Результати дослідження: скалярна реалізація моделі Ю.-Ш. Чена ................... 62
Висновки за розділом 2 .......................................................................................... 74
РОЗДІЛ 3. ДОСЛІДЖЕННЯ НЕЛІНІЙНОЇ ДИНАМІКИ В СИСТЕМАХ ТИПУ
ЧЕНА 77
3.1. Аналітичні особливості моделі з хаотичною поведінкою – нелінійної
системи Ю.-Ш. Чена ................................................................................................. 78
3.2. Дослідження умов існування атрактора системи та оцінювання області,
якою він обмежений.................................................................................................. 91
3
3.3. Дослідження стійкості положень рівноваги............................................................ 94
3.4. Адаптивний контроль та глобальна експоненціальна синхронізація................... 99
Висновки за розділом 3............................................................................................ 103
РОЗДІЛ 4. ДОСЛІДЖЕННЯ ДЕТЕРМІНОВАНОГО ХАОСУ В ФІНАНСОВОЕКНОМІЧНИХ СИСТЕМАХ ТА РЯДАХ 105
4.1. Побудова карт динамічних режимів для фінансової системи Ю.-Ш. Чена ...... 105
4.2. Дослідження усталених режимів фінансової системи Ю.-Ш. Чена .................. 108
4.3. Виявлення та дослідження хаосу в динаміці акцій ПАТ “Укрнафта”............... 121
Висновки за розділом 4........................................................................................... 126
ВИСНОВКИ 128
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ ...................................................................... 131
ДОДАТКИ 147
Додаток А. Методи виявлення хаосу та реконструкції динамічних систем............. 147
А.1. Методи виявлення хаосу……………………….....................................................148
А.2. Алгоритми псевдофазової реконструкції атракторів динамічних систем:
обчислення розмірності простору вкладень та часової затримки..……............155
А.3. Алгоритм глобальної реконструкції динамічної системи……………………...157
Додаток Б. Сценарії переходів від регулярних режимів до хаотичних в
нелінійній фінансовій системі Ю.-Ш. Чена…..……………................…………160
Додаток В. Свідоцтва про реєстрацію авторського права .......................................... 168
Додаток Г. Впровадження результатів дисертаційної роботи…......................……..171
4
ВСТУП
Актуальність теми. Сучасні дослідження об’єктів та процесів навколишнього
світу пов’язані з нелінійною динамікою та явищем детермінованого хаосу, які встановлюють принципові обмеження на передбачення поведінки останніх. Саме тому
останні роки ознаменувалися зростаючим інтересом до пошуків нових моделей нерегулярної поведінки в складних системах різної природи, зокрема в різних сегментах фінансово-економічних процесів цінової динаміки мікро- та макроекономічних
показників, а також вивченням режимів динамічної взаємодії існуючих реальних
динамічних систем із врахуванням всіх ефектів. При цьому складність дослідження
нелінійних математичних моделей динамічних систем, які, як правило, не мають точних аналітичних розв’язків, зумовлюється тим, що надзвичайно мала похибка задання початкового стану повністю детермінованої системи призводить до непередбачуваних наслідків її стану на великих проміжках часу. Результатом такої поведінка системи є те, що вона на перший погляд, здається, що характеризується нерегулярним, хаотичним розвитком динамічних змінних в часі, хоча сама динаміка хаотичного режиму системи є детермінованою, і в ній можна встановити ряд закономірностей та властивостей, що відрізняють її від класичних випадкових процесів. Така хаотична система має фрактальну розмірність та проявляє чутливу залежність від початкових умов.
Крім того, ідентифікація нелінійних динамічних систем на основі точних та
неповних спостережень за експериментальними часовими рядами їх хаотичної поведінки також є однією з актуальних задач в різних галузях природознавства, техніки та світової економіки, що дістала назву повної реконструкції дисипативних динамічних систем, а для випадку відомої структури системи – параметричної ідентифікації. Задача моделювання реальних дисипативних систем, що проявляють хаотичну поведінку, гранично ускладнюється, якщо інформація про об’єкт дослідження
обмежена одновимірною реалізацією однієї із координат стану системи або наявністю лише спостережуваних скалярних часових послідовностей на атракторі. Тому
саме застосування комп’ютерів для реконструкції динамічних систем та їх матема-
5
тичного моделювання у другій половині XX ст. змінило саме поняття “розв’язати
задачу”. Вперше така методологія для дослідження явищ і процесів навколишнього
світу була запропонована академіком О.А. Самарським у вигляді технології “обчислювального експерименту” в 70-х роках XX ст. і була виражена тріадою “модель–
алгоритм–програма”.
Цьому напрямку наукових досліджень присвячені роботи вітчизняних та закордонних наукових шкіл, які очолювали А.А. Андронов, В.І. Арнольд, Ф.Г. Гаращенко, М. Ено, Дж. Йорк, Н.Ф. Кириченко, А.Н. Колмогоров, В.О. Кононенко, Л.Д. Ландау, Е. Лоренц, А.М. Ляпунов, П. Манневілль, Ю. Мозер, Е.Отто, І. Помо,
Л.С.Понтрягін, Д. Рюель, А.М. Самойленко, Ф. Такенс, М. Фейгенбаум, Е. Хопф,
Д.Я. Хусаїнов, Я.З. Ципкін, О.М. Шарковський та інші. Дослідження хаотичних коливань та реконструкція динамічних систем за експериментальними спостереженнями проводилась в роботах В.С. Аніщенка, Г. Бенеттіна, А. Вольфа, С.В. Кияшка,
Б. Коха, Т.С. Краснопольської, А.П.Кузнєцова, С.П. Кузнєцова, Ю.І. Неймарка,
В.І.Оселедця, О.С. Піковського, Ж.А. Пуанкаре, Г.Е. Херста, А.Ю. Швеця та багатьох інших авторів. Досліджуючи детермінований хаос в задачах нелінійної динаміки, часто вдається встановити нові явища, які потім виявляються в ряді складних
нелінійних систем із різних предметних областей.
Не зважаючи на стрімкий розвиток теорії детермінованого хаосу та реконструкції динамічних систем, в ряді напрямків існують ще досі не розв’язані проблеми,
пов’язані із обчислювальними складностями досліджень (турбулентною динамікою), системами з особливими типами зв’язків, а також із точністю розв’язання обернених задач.
Таким чином удосконалення математичного моделювання та розроблення нових математичних моделей для дослідження регулярних і хаотичних режимів поведінки нелінійних систем в залежності від біфуркаційних параметрів (розв’язання
прямих задач), та для реконструкції і ідентифікації параметрів математичних моделей динамічних систем (розв’язання обернених задач) на основі спеціалізації існуючих та створенні нових обчислювальних методів їх дослідження є актуальним.
6
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна
робота виконувалась у відповідності до загального плану наукових досліджень кафедри математичних методів системного аналізу Національного технічного університету України “Київський політехнічний інститут” в рамках: держбюджетної теми
НДР “Розробка СППР на основі байєсівських мереж для моделювання поведінки
складних систем” (№ ДР 0109U000300, тема 2436п, 2009 – 2010 рр.), держбюджетної теми НДР “Розробка і реалізація методики інтелектуального аналізу даних з використанням теорії мереж Байєса та регресійного аналізу” (№ДР 0212U007773, тема
2419п, 2011 – 2012 рр.), а також держбюджетної теми Особливого конструкторського бюро "Шторм" – ДБ т.2531п “Розробка потужного параметричного випромінювача звуку для створення локального акустичного поля високої інтенсивності”
від 25.01.2012р. В цих темах дисертантові належить розробка алгоритмів та програмного забезпечення для багатопараметричного дослідження динамічних систем,
скалярних реалізацій і часових рядів акустоелектронної природи.
Мета і задчі дослідження. Метою роботи є створення нових обчислювальних
методів та розроблення підходів до ефективного застосування засобів математичного та комп’ютерного моделювання динамічних систем стосовно вирішення проблем
дослідження детермінованого хаосу в складних нелінійних системах та пов’язаних з
ними обернених задачах. Для досягнення поставленої мети у роботі необхідно вирішити такі задачі:
1) проаналізувати і покращити існуючі методології дослідження детермінованого хаосу в складних нелінійних системах для удосконалення математичного
моделювання;
2) розробити чисельний метод параметричної ідентифікації для покращення точності оцінювання невідомих параметрів при малих вибірках на основі хаотичної синхронізації та адаптивного контролю за спостереженнями однієї скалярної реалізації або одновимірної реалізації функції від фазових координат;
3) розробити метод оцінювання “вікна” реконструкції для обернених задач
на основі мінімізації відносної похибки обчислень кореляційних інтегралів із врахуванням скорельованості спостережень часової послідовності;
7
4) реалізувати існуючі обчислювальні методи нелінійної динаміки для
розв’язування прямих і обернених задач;
5) реалізувати існуючі обчислювальні методи фрактального аналізу для виявлення та дослідження хаосу в часових рядах за відсутності математичної моделі;
6) розробити комплекс розрахункових програм для комп’ютерної реалізації
обчислювальних методів дослідження прямих і обернених задач детермінованого
хаосу в складних нелінійних системах;
7) на основі розроблених моделюючих засобів провести повне дослідження
регулярної і хаотичної динаміки систем на прикладі нелінійної системи Ю.-Ш.Чена,
систем Лоренца і Ресслера (для останніх провести структурну і параметричну ідентифікацію).
Об’єктом дослідження є нелінійні динамічні системи, задані автономними диференціальними рівняннями першого порядку, із сценаріями переходу від одних динамічних режимів до інших та часові ряди з хаосом.
Предметом дослідження є обчислювальні методи розв’язання прямих та обернених задач (реконструкції, параметричної ідентифікації) для динамічних систем з
квадратичною нелінійністю, а також фрактального аналізу часових рядів.
Методи дослідження базуються на основних положеннях теорії детермінованого хаосу, теорії параметричної ідентифікації і реконструкції динамічних систем
при спостереженнях фазових координат та методах обробки часових рядів з фрактальною структурою. При виконанні досліджень використовувалися наступні чисельні
методи і алгоритми: метод Рунге-Кутти з постійним та змінним кроком чисельного
інтегрування, алгоритм Бенеттіна та ін., метод Ено, метод Філона, алгоритм Вольфа,
алгоритм Грассберга-Прокаччіа, тести Гілмора, BDS і залишків Брока, метод взаємної інформації, метод кореляційної розмірності, метод часової затримки, рекурсивний МНК, релейний алгоритм в задачі параметричної ідентифікації та інші.
Для розв’язання поставлених задач використовувалася мова програмування С#
із програмною платформою .NET Framework 4.0 і технологією ADO.NET (компоненти бібліотеки ActiveX Data Objects для .NET), Java із інтегрованим середовищем
8
розробки NetBeans, MatLab із пакетом прикладних його програм, Microsoft Office
Visio, а також ArgoUML як середовище уніфікованої мови моделювання UML.
Наукова новизна одержаних результатів. Наукова новизна роботи визначається наступними теоретичними і практичними результатами, отриманими автором:
1) вперше запропоновано чисельний метод параметричної ідентифікації для
систем з хаосом на основі хаотичної синхронізації та адаптивного контролю при
спостереженнях однієї скалярної реалізації або одновимірної реалізації функції від
фазових координат, що покращує точність оцінювання невідомих параметрів до
9 O(10 ) 
. Експериментально встановлено, що запропонований метод збігається на
малих вибірках (20 – 30 коливань на атракторі системи);
2) вперше запропоновано метод оцінювання “вікна” реконструкції на основі
мінімізації відносної похибки обчислень кореляційних інтегралів із врахуванням
скорельованості спостережень часової послідовності, що покращує обчислення кореляційних інтегралів в методі кореляційної розмірності, тесті залишків Брока, BDSтесті, методі обчислення ентропії Колмогорова, а також в алгоритмі ГрассбергаПрокаччіа;
3) дістала подальший розвиток теорія математичного моделювання детермінованого хаосу в частині побудови моделюючих комп’ютерних систем для
розв’язання прямих і обернених задач. Зокрема розроблені структурнофункціональні схеми дослідження нелінійної динаміки;
4) вперше для нелінійної системи Ю.-Ш. Чена:
 сформульовано та доведено теореми: існування глобального експоненціального атрактора системи, періодичних розв’язків системи, наявність біфуркацій
Пуанкаре-Андронова-Хопфа, а також теореми із області керування атракторами
(знайдені керування детермінованим хаосом, які переводять систему із хаотичного
режиму в регулярний; а також керування для керованої системи загального виду,
при яких вона повністю синхронізується із ведучою системою);
 оцінено область імовірного перебування атрактора системи, якою він обмежений;
9
 побудовано карти динамічних режимів в залежності від біфуркаційних параметрів та встановлено існування в системі всіх основних типів регулярних та хаотичних атракторів;
 побудовано фазопараметричні характеристики системи та встановлена реалізація в системі всіх основних типів сценаріїв нелінійної динаміки переходу від
регулярних режимів до хаотичних (Фейгенбаума, Помо–Манневілля першого порядку і Рюеля-Такенса-Ньюхауса). Встановлено та підтверджено сценарій узагальненої переміжності типу “хаос-хаос”, а також універсальну константу Фейгенбаума.
Практичне значення одержаних результатів. Розроблені в роботі обчислювальні методи, програмні засоби комп’ютерної реалізації, схеми дослідження, отримані в роботі теоретичні результати для систем типу Ю.-Ш. Чена, а також еквівалентні математичні моделі можуть знайти широке та ефективне використання в теоретичних та прикладних дослідженнях прямих і обернених задач детермінованого хаосу з єдиних позицій.
Одержані результати дисертаційної роботи при дослідженні складної динаміки
нелінійних динамічних систем використовуються в дослідних роботах із вивчення
режимів функціонування гідроакустичних систем та акустоелектронних пристроїв
Особливого конструкторського бюро “Шторм”. Зокрема, для знаходження регулярних і хаотичних режимів акустичних випромінювачів, та для класифікації сценаріїв
переходів.
Ряд результатів дисертаційної роботи впроваджені в навчальний процес Національного технічного університету України “Київський політехнічний інститут”. Зокрема, вони використовуються при викладанні навчальної дисципліни “Синергетичні методи аналізу” за навчальним посібником автора [47] та при виконанні лабораторних робіт цієї дисципліни за методичними вказівками і завданнями до виконання
самостійних робіт автора [46]. Також ці результати можуть знайти застосування в
навчальних процесах фізико-математичних та механіко-математичних факультетів
інших університетів України.
На основі розроблених програмних засобів комп’ютерної реалізації методів
створено автоматизовану систему для виявлення, розмежування та дослідження
10
фрактальної структури часових рядів бізнес-процесів на державному підприємстві
“ГІОЦ Укрзалізниця”. Впровадження цієї автоматизованої системи дозволило побудувати математичні моделі різних бізнес-процесів фінансової системи підприємства
та дослідити їх поведінку, зокрема моделі прогнозування ціни на інформаційні послуги ДП “ГІОЦ Укрзалізниці”. Це дозволило мінімізувати ризики фінансових втрат
за рахунок проведення аналізу потреб галузі, визначення потреб у межах фінансового плану, цін на матеріально-технічні ресурси.
Особистий внесок здобувача. Всі результати, які складають основний зміст
дисертації, отримані здобувачем самостійно. У публікаціях [85], [86], [123 – 129],
[133], [134], [137], [142] і [147], написаних у співавторстві, здобувачеві належить:
– розробка програмного забезпечення для розв’язання прямих (дослідження режимів поведінки системи в залежності від параметрів) і обернених (реконструкція динамічної системи, параметрична ідентифікація) задач нелінійної динаміки на основі існуючих та вдосконалених методів їх дослідження [85, 86, 123,
133, 134, 137];
– розробка методу оцінювання “вікна” реконструкції, що базується на мінімізації
відносної похибки обчислень кореляційних інтегралів із врахуванням скорельованості спостережень часової послідовності [85, 147];
– методи та моделі виявлення регулярних і хаотичних атракторів складних нелінійних систем, побудова їх фазових портретів, спектрів ляпуновських характеристичних показників, перерізів та відображень Пуанкаре, розподілів спектральної густини та природної інваріантної міри [85, 86, 123, 133, 134, 137];
– побудова та аналіз карт динамічних режимів і фазопараметричних характеристик складних нелінійних систем для визначення типів атракторів і встановлення
сценаріїв переходу до детермінованого хаосу [123, 133, 134, 137];
– методи та моделі виявлення та дослідження хаосу в динаміці часових рядів, їх
періодичної (квазіперіодичної) поведінки та типів джокерів [85, 86, 123 – 125,
142];
– методи та моделі псевдофазової реконструкції виявлених атракторів [85, 123,
134, 137];
11
– розробка нейронної мережі для створення математичної моделі прогнозування
динаміки економічних нелінійних систем за відсутності хаосу [124];
– побудова економетричних моделей для короткотривалих прогнозів стану підприємства за відсутності хаосу [124, 125, 128, 129, 142];
– побудова верхніх та нижніх мінімаксних оцінок вектора економічних показників за спостереженнями, що містять мультиплікативні та адитивні завади [126];
– розробка системи підтримки прийняття рішень та опис архітектури її підсистеми кількісного аналізу для прогнозування стану підприємства при наявності і
відсутності хаосу в математичних моделях основних бізнес-процесів [127];
Апробація результатів дисертації. Основні наукові положення і результати,
отримані автором при виконанні дисертаційної роботи, доповідались та обговорювались на 16 науково-технічних конференціях: 15-ій та 16-ій міжнародних конференціях “Dynamical Systems Modeling and Stability Investigation”(Київ, факультет кібернетики Київського національного університету ім. Т.Г. Шевченка, 2011 і 2013рр.);
3-й міжнародній конференції “The nonlinear analysis and application 2015: Materials of
3rd international scien-tific conference” (Київ, НТУУ “КПІ”, 2015); 2-й міжнародній
конференції “Nonlinear analysis and applications: Materials of 2
nd international conference on memory of corresponding member of NAS of Ukraine Valery Sergeevich Melnik”
(Київ, ННК “ІПСА” НТУУ “КПІ”, 2012); міжнародних науково-технічних конференціях “Системний аналіз та інформаційні технології (SAIT)” у період з 2008 по 2013
рік (м. Київ); міжнародних науково-практичних конференціях “Інтелектуальні системи прийняття рішень і проблеми обчислювального інтелекту (ISDMCI)” у період з
2009 по 2012 рік (м. Євпаторія); міжнародній конференції автоматичного управління
“Автоматика / Automatics-2011” (м. Львів, 2011); міжнародній школі-семінарі “Problems of Decision Making under Uncertainties (PDMU-2009)” (м. Кам’янецьПодільський, 2009); міжнародній науково-практичній конференції “ Сучасні інформаційні та інноваційні технології на транспорті ” (м. Херсон, 2009); Всеукраїнській
студентській конференції “Innovations in Science and Technology” (м. Київ, 2009);
Всеукраїнської науково-практичної конференції молодих учених і студентів “Інформаційні процеси і технології «Інформатика – 2010»” (м. Севастополь, 2010).
12
Крім цього, основні наукові положення і результати дисертаційної роботи були
оприлюднені на засіданнях наукового семінару кафедри математичної фізики НТУУ
“КПІ” (Київ, 2011), наукового семінару відділу “Дистанційні методи та перспективні
прилади” Інституту космічних досліджень НАН України та НКА України (Київ,
2012), наукового семінару Науково-навчального комплексу “Інститут прикладного
системного аналізу” НТУУ КПІ (Київ, 2011 – 2013), наукового семінару відділу
прикладного нелінійного аналізу ННК “ІПСА” ННК “КПІ” (Київ, 2013), наукового
семінару кафедри програмування та комп’ютерної техніки факультету інформаційних технологій Київського національного університету імені Тараса Шевченка
(Київ, 2016), а також та на засіданнях наукового семінару кафедр моделювання
складних систем і системного аналізу та теорії прийняття рішень Київського національного університету імені Тараса Шевченка (Київ, 2015, 2016).
Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 30 наукових праць, з них
10 статей у фахових виданнях з переліку МОН України, 2 – у міжнародних наукових
фахових виданнях, 2 свідоцтва про реєстрацію авторського права на твір та 16 робіт
у матеріалах і тезах доповідей міжнародних наукових конференцій.

Список літератури

ВИСНОВКИ
Дисертаційна робота становить собою закінчене наукове дослідження, присвячене вирішенню актуальної науково-технічної задачі дослідження детермінованого
хаосу в технічних системах з квадратичною нелінійністю. В роботі отримано ряд
наукових і практичних результатів, які полягають у наступному.
1. Проаналізовано і покращено існуючі методології дослідження детермінованого хаосу в складних нелінійних системах. Для удосконалення математичного
моделювання зібрано воєдино специфічні чисельні методи (20 методів), що дозволило вирішити проблеми дослідження прямих (дослідження режимів поведінки системи в залежності від параметрів) і обернених (реконструкція динамічної системи,
параметрична ідентифікація) задач нелінійної динаміки на основі існуючих та запропонованих методів їх дослідження.
2. Запропоновано чисельний метод параметричної ідентифікації для нелінійних систем з хаосом на основі хаотичної синхронізації та адаптивного контролю при
спостереженнях однієї скалярної реалізації або одновимірної реалізації функції від
фазових координат, що покращує точність оцінювання невідомих параметрів до
9 O(10 ) 
. На відміну від апроксимаційних методів, експериментально встановлено,
що даний метод збігається на малих вибірках (20 – 30 коливань на атракторі системи).
3. Встановлено, що використання в якості методу адаптації релейного алгоритму для даного методу та вектор-функції швидкості зміни гладкої цільової функції (на прикладі
arctg x( )
) із класу спеціальних неперервних, строго зростаючих функцій, які “зростають швидше” за стандартну функції зворотного зв’язку
x t x t ( ) ( ), 
пришвидшує синхронізацію однонаправлених зв’язаних осциляторів майже в 5 раз.
Показано, що при порівнянні даного методу із рекурентним МНК для системи
Ресслера точність оцінювання запропонованого методу була в 2-3 рази вищою.
Крім того, для даної системи досліджено вплив нульової ляпуновської експоненти
на синхронізацію двох однонаправлених зв’язаних осциляторів та проведено повну
реконструкції динамічної системи при спостереженні функції від всіх координат.
129
4. Запропоновано метод оцінювання “вікна” реконструкції на основі мінімізації відносної похибки обчислень кореляційних інтегралів із врахуванням скорельованості спостережень часової послідовності, який покращує обчислення кореляційних інтегралів в методі кореляційної розмірності, тесті залишків Брока, BDSтесті, методі обчислення ентропії Колмогорова, а також в алгоритмі ГрассбергаПрокаччіа. На прикладі скалярної реалізації нелінійної системи Ю.-Ш. Чена графічно продемонстровані переваги в пошуку лінійної ділянки графіку обчислення кореляційної розмірності
D2
та її області вимірювань. За проведеними розрахунками
оцінка кореляційної розмірності для даної скалярної реалізації склала 2.21, а довжина мінімально необхідної відстані між двома точками на фазовій траєкторії атрактора – 0,56.
5. Сформульовано та доведено теореми для класу нелінійних систем типу
Ю.-Ш. Чена: про існування глобального експоненціального атрактора системи, періодичних розв’язків системи, наявність біфуркацій Пуанкаре-Андронова-Хопфа, а
також теореми із області керування атракторами (знайдені керування детермінованим хаосом, які переводять систему із хаотичного режиму в регулярний; а також керування для керованої системи загального виду, при яких вона повністю синхронізується із ведучою системою). Крім того, оцінено область імовірного перебування
атрактора системи, якою він обмежений.
6. Розроблено комплекс розрахункових програм для комп’ютерної реалізації
обчислювальних методів дослідження детермінованого хаосу в складних нелінійних
системах із використанням запропонованих методів та схем дослідження.
7. За допомогою розробленого програмного забезпечення проведено повне
дослідження детермінованого хаосу для нелінійної фінансової системи Ю.-Ш. Чена.
При цьому були встановлені всі типи регулярних та хаотичних атракторів, а також
детально проаналізована та встановлена реалізація в системі всіх основних типів
сценаріїв нелінійної динаміки переходу від регулярних режимів до хаотичних (Фейгенбаума, Помо–Манневілля першого порядку і Рюеля-Такенса-Ньюхауса). В сценарії Фейгенбаума з точністю до O(10-4
) обчислено константу Фейгенбаума. Встановленно та підтверджено сценарій узагальненої переміжності типу “хаос – хаос”. Зок-
130
рема, показано, що причиною його виникнення є жорстка втрата стійкості системи,
що супроводжується субкритичною зворотньою біфуркацією fold-Неймарка-Сакера
із резонансом 1:2.
8. Розв’язано обернену задачу для системи Ю.-Ш. Чена та проведено дослідження хаосу для динаміки акцій ПАТ “Укрнафта”. Для реального ряду ціни акції
виявлені елементи хаосу (нелінійності з локально нестійким рухом точок псевдореконструйованого фазового простору) та порядку (фрактальної розмірності і параметричних трендів), що дозволяє віднести даний економічний ряд в клас рядів із хаосом. Фрактальна структура ряду склала 5.104, а кореляційна розмірність – 5.621.
Крім того, в ряді виявлено точковий джокер та не виявлено псевдореконструйованих атракторів. Для скалярної реалізації ж від динамічної системи виявлено як порядок, так і хаос – підтверджено режими системи. Відповідні атрактори реконструйовано.
9. На розроблене автором програмне забезпечення оформлено два авторських
права – на комп’ютерну програму дослідження динамічних систем та на
комп’ютерну програму дослідження часових рядів і/або скалярних реалізацій.
10. Результати дисертаційної роботи використовуються в науково-дослідних
та конструкторських роботах Особливого конструкторського бюро “Шторм” при
математичному моделюванні неідеальних гідродинамічних систем, діагностиці
регулярних та хаотичних режимів акустоелектронних та гідродинамічних систем,
визначенні сценаріїв переходів від регулярних режимів до хаотичних та проведенні
чисельних розрахунків характеристик хаотичних режимів. Також результати
дисертаційної роботи впроваджені на державному підприємстві “ГІОЦ
Укрзалізниця” та в навчальній практиці Національного технічного університету
України “Київський політехнічний інститут”. Зокрема, вони використовуються при
викладанні навчальної дисципліни “Синергетичні методи аналізу” за навчальним
посібником та методичними вказівками автора