ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ
У вступі обґрунтовано вибір теми та актуальність її дослідження, визначено об’єкт, предмет, мету, гіпотезу та завдання дослідження, розкрито наукову новизну, теоретичну та практичну значущість роботи, викладено методологічну основу та вказані методи дослідження, представлено інформацію про впровадження та апробацію.
У першому розділі “Досліджувана проблема в педагогічній теорії та практиці” проаналізовано теоретичні положення, на яких ґрунтується дослідження, стан проблеми в педагогічній та методичній літературі, а також у практиці вивчення комплексних чисел у середніх закладах освіти, визначено психолого-педагогічні засади вивчення комплексних чисел у старшій школі, а також реальні передумови включення курсу за вибором “Комплексні числа та їх застосування” в особистісно-орієнтовану систему навчання математики старшокласників.
З’ясовано, що проблема вивчення комплексних чисел та їх застосувань є актуальною, але не новою в теорії та практиці шкільної математичної освіти. Як відомо, комплексні числа виникли як чисто формальний математичний результат при розв’язуванні рівнянь вищих степенів. Багато математиків досліджували питання добування квадратного кореня з від’ємного числа, зокрема, це: С. Дель Ферро, Н. Тарталья, Дж. Кардано, Р. Бомбеллі, Л. Ейлер, К. Гаусс та ін. Вперше про комплексні числа згадав Кардано в 1545 році у своїй роботі “Велике мистецтво або про правила алгебри”, хоча і називав їх “суто софістичними величинами”. У школи комплексні числа прийшли значно пізніше. Проведений історико-педагогічний аналіз свідчить, що до 1917 року у гімназіях і реальних училищах, хоч і не існувало стабільних програм і підручників з математики, проте як російські, так і зарубіжні підручники та збірники задач для середніх закладів освіти містили розділ “Комплексні числа”.
У період з 30-х по 60-ті роки тема “Комплексні числа” входила в обов’язкову програму з математики, але пізніше була виключена і рекомендована для вивчення на факультативних заняттях. У зв’язку з цим академік А. М. Колмогоров стурбовано писав у 1967 році, що “…великою жертвою, пов’язаною зі скороченням загальної кількості обов’язкових занять з математики в старших класах, є виключення з обов’язкової програми комплексних чисел”. З появою профільних класів комплексні числа було включено в програму для профільних класів з поглибленим вивченням математики. Відповідні підручники згідно чинної програми включають традиційну частину матеріалу теми та завдання, серед яких гармонійно вплітається невелика кількість завдань на геометричні застосування комплексних чисел.
У зарубіжній школі склалась інша ситуація. У підручниках для класів математичного напряму таких країн, як Франція, Японія, США та інших обов’язково розглядається прикладний напрям теми “Комплексні числа” у різних його аспектах.
Аналіз зарубіжного та вітчизняного досвіду, існуючих програм та методичних підходів до вивчення комплексних чисел та їх застосувань дозволив з’ясувати, що генетично-геометричний підхід на основі історичного розвитку поняття комплексного числа з використанням близьких учням геометричних образів, а також практичних застосувань, відповідає сучасному науковому підходу і має ряд переваг над іншими.
Реалізація ідеї прикладної спрямованості теми “Комплексні числа” можлива через доповнення відповідного змісту навчального матеріалу прикладними задачами та задачами з міжпредметними і внутріпредметними зв’язками і включення їх у достатньому обсязі до курсу за вибором “Комплексні числа та їх застосування”. Пропонований курс за вибором дає змогу не обмежуватись вивченням основних понять теорії комплексних чисел і зосередитись на вивченні даного розділу у безпосередньому зв’язку з багатьма темами шкільного курсу математики, а також, використовуючи міжпредметні зв’язки, показати різноманітні цікаві застосування комплексних чисел: при розв’язуванні геометричних і фізичних задач, при доведенні тригонометричних тотожностей та обчисленні тригонометричних сум і багато інших, без яких включення цієї теми у програму шкільного курсу математики буде малоефективним.
Враховуючи результати досліджень, пов’язаних з розвитком особистості старшокласників, потрібно спиратись на такі основні принципи організації поглибленого навчання математики:
– мотивація навчання повинна будуватися з урахуванням змістових зв’язків навчання математики з майбутньою діяльністю після закінчення школи;
– навчальна діяльність ведеться на межі мисленнєвих можливостей учнів, що забезпечується викладом матеріалу на достатньо високому науковому рівні складності, не дублюючи при цьому вузівської програми;
– вибір форм і методів навчання у напрямі надання процесу навчання проблемного характеру, більшої самостійності учнів у навчальній діяльності та можливості проявляти творчий підхід при виконанні завдань, адже особистість є лише там, де є свобода і творчість;
– врахування індивідуальних особливостей стилю мислення і пам’яті учнів;
– активізація навчально-пізнавальної діяльності учнів в усіх її аспектах.
Досить ефективним засобом навчання є міжпредметні пізнавальні задачі, для розв’язання яких залучаються знання із декількох навчальних предметів, їх перенесення та узагальнення. Такі задачі сприяють розвитку самостійності учнів, вмінню узагальнювати знання з різних галузей науки, формують уміння розпізнавати та застосовувати відповідні математичні моделі. Міжпредметні задачі можуть бути цілеспрямовані на досягнення пізнавальної мети. Під час розв’язування таких задач учні не тільки навчаються застосовувати математичні знання, а й отримують нові відомості. Одночасно учні набувають корисних навичок роботи з довідниками, навчаються самостійно знаходити потрібну інформацію в додатковій літературі.
Важливу роль у навчанні математики відіграє систематичне використання історичного матеріалу, який підвищує інтерес до вивчення математики, стимулює потяг до наукової творчості, пробуджує критичне ставлення до фактів, дає учням уявлення про математику як невід’ємну складову загальнолюдської культури. На змістовних прикладах слід показувати учням, як розвивалися математичні поняття (зокрема, поняття числа), теорії і методи, ознайомлювати їх з іменами та біографіями видатних математиків. При цьому реалізується виховна, активізуються розвивальна і пізнавальна функції навчання.
У особистісно-орієнтованому навчанні особливого значення набуває створення ситуації успіху – суб’єктивних психічних станів задоволення учнів наслідками інтелектуальної чи моральної напруги.
Зокрема, звернення до створення проблемних ситуацій та пошуку їх розв’язання, що є основним принципом розвивального навчання, створює інтелектуально-вольове й емоційне напруження, яке часто доповнюється при використанні групових форм роботи напругою моральною, перетворюючи таку навчальну діяльність у саморозвиток – оновлення смислів, набуття суб’єктного досвіду, вироблення характеру. Використання дослідницької роботи як методу навчання сприяє проведенню складної внутрішньої роботи, що відповідає потенційним можливостям учнів профільних класів. При цьому важливу роль відіграє дидактичний принцип навчання на високому рівні науковості. Реалізувати його можна лише в умовах рівневої диференціації навчання.
Для навчання математики учнів профільних класів природним є високий теоретичний рівень навчального матеріалу, вивчення його швидким темпом, усвідомлення учнями важливої ролі теоретичних знань, спрямованих на формування вмінь здійснювати певну діяльність. У зв’язку з цим особливу роль набуває лекційно-практична система навчання, яка сприяє вирішенню проблеми раціонального використання навчального часу та активній науковій організації пізнавальної діяльності учнів як у школі, так і вдома.
Психолого-педагогічні дослідження та шкільна практика свідчать про те, що розвитку особистості учня профільного класу, який включає розвиток математичних здібностей та задоволення його пізнавальних інтересів, активно сприяють побудова навчального процесу за принципом розвивального навчання з використанням методу проблемного навчання в умовах лекційно-практичної системи при доцільному поєднанні різних форм організації навчальної діяльності старшокласників.
У другому розділі “Методична система вивчення комплексних чисел у профільних класах” представлено методичні моделі вирішення завдань, пов’язаних з розробкою окремих компонентів методичної системи навчання основ теорії комплексних чисел у профільних класах.
Передбачений чинною програмою поглибленого вивчення математики обсяг навчального матеріалу з теми “Комплексні числа” забезпечує, по суті, досягнення однієї, безперечно важливої, мети – певного завершення процесу формування цілісного уявлення про числову змістову лінію курсу математики. Однак залишається нерозкритим прикладний аспект цього розділу та нереалізованим його освітній потенціал.
У зв’язку з дефіцитом навчального часу, передбаченого навчальними планами, а також враховуючи важливість даної теми для підвищення математичної культури учнів, зміст цього розділу пропонується розширити та поглибити за рахунок розробленого нами курсу за вибором, який передбачає ознайомлення учнів із застосуваннями комплексних чисел. Метою даного курсу є розширення і поглиблення змісту курсу математики профільного рівня. Практична реалізація може відбуватися за таким планом: 1) вивчення на основних заняттях згідно програми поглибленого вивчення математики в профільних класах запланованого навчального матеріалу; 2) розширення та поглиблення вивченого матеріалу учнями, які зацікавилися ним, на заняттях курсу за вибором; а саме – вивчення різноманітних застосувань як в середині самої алгебри, так і в інших розділах науки: геометрії, тригонометрії, механіки, електротехніки та ін. У старших класах загальноосвітньої школи, де навчання здійснюється за програмою академічного рівня і математика поглиблено не вивчається, даний розділ пропонуємо учням вивчати як курс за вибором. Метою даного курсу є підвищення рівня вивчення математики до профільного та задоволення пізнавальних інтересів учнів.
Дослідження психологів доводять, що формування абстрактного мислення припадає на вік від 10 до 15 років, і на основі практичного досвіду ми пропонуємо вивчення комплексних чисел розпочати у 8-му класі при розв’язуванні квадратних рівнянь з від’ємним дискримінантом, розширивши множину дійсних чисел до множини чисел вигляду  , де  і  - дійсні числа, а  - уявна одиниця. Основи теорії комплексних чисел пропонуємо вивчати у 10 класі, що створює умови для більш повної реалізації дидактичних можливостей даного розділу.
Оскільки комплексні числа органічно пов’язані з дійсними числами, то в основу побудови методики формування основних понять теорії комплексних чисел в профільних класах покладені такі положення:
- продовження змістових ліній, розпочатих в основній школі (лінія розвитку поняття числа, лінія розв’язування рівнянь, лінія прикладної спрямованості);
- використання символіки і термінології як один із способів здійснення наступності курсів математики середньої школи та вищої;
- використання рівневої системи вправ різного дидактичного призначення як засобу формування основних понять теорії комплексних чисел;
- застосування комплексних чисел до розв’язування прикладних задач та задач з міжпредметними і внутріпредметними зв’язками.
Аналіз вітчизняних і зарубіжних програм і підручників дозволив відповісти на запитання щодо змісту курсу за вибором “Комплексні числа та їх застосування”, основними завданнями якого є:
- формування уявлень учнів про комплексні числа та їх застосування у різних галузях науки і техніки;
- розвиток математичної культури учнів у зв’язку з ознайомленням із методом комплексних чисел при розв’язуванні задач;
- формування стійких пізнавальних інтересів до математики;
- формування природничо-наукового світогляду на основі міжпредметних зв’язків, що усвідомлюються в процесі розв’язування прикладних задач та задач із міжпредметними та внутріпредметними зв’язками;
- підсилення прикладної спрямованості курсу математики.
Доцільним виявляється підхід, коли всі пропоновані для вивчення застосування комплексних чисел є автономними і їх можна вивчати в довільній послідовності: одні теми вивчати глибше, з іншими тільки ознайомитися чи не розглядати взагалі. Така гнучкість курсу за вибором у виборі тем для вивчення спрямована перш за все на допомогу вчителю, який повинен враховувати конкретні умови: інтереси, бажання учнів, пов’язані з майбутньою професією, їх навчальні можливості, час, відведений на вивчення курсу (можна вивчати протягом одного чи двох навчальних років), матеріально-технічну базу школи і інші умови.
Як показав експеримент, матеріал є доступний і цікавий для старшокласників, які проявляють інтерес до математики, тому значну частину його можна опрацьовувати з учнями за допомогою частково-пошукового методу. Робота з довідковою літературою, підготовка повідомлень, доповідей, рефератів на семінарські заняття стимулюють творчу пізнавальну активність старшокласників, тому є корисною для їхнього інтелектуального розвитку. Зміст навчального матеріалу курсу за вибором дозволяє глибше ознайомити учнів з математичними ідеями та методами, спонукає до перших математичних досліджень.
У процесі дослідження використовувався спеціально підготовлений посібник, який містив необхідний теоретичний матеріал та систему завдань з достатньою кількістю прикладних задач та задач з міжпредметними і внутріпредметними зв’язками на застосування комплексних чисел.
Основною формою проведення занять під час вивчення курсу за вибором у старшій профільній школі залишається лекційно-практична система навчання. При цьому важливим є постійне і широке залучення учнів до різних форм самостійної роботи як домашньої, так і класної. Використання різних методів – від репродуктивних до дослідницьких – дозволить формувати позитивну і стійку мотивацію до вивчення комплексних чисел, зокрема, та математики взагалі. Обов’язковим елементом навчання мають стати індивідуальні завдання з теми. Їх варто пропонувати як на початковому, так і на завершальному етапах вивчення розділу.
Сприятливі умови для активізації пізнавальної діяльності учнів, розвитку творчого мислення, підвищення інтересу до занять з математики створює залучення до навчального процесу педагогічних програмних комп’ютерних засобів навчального призначення. Використання аналітичних можливостей ППЗ GRAN1, системи комп’ютерної алгебри DERIVE та складеної нами навчально-корегуючої програми дозволяє індивідуалізувати процес вивчення курсу за вибором “Комплексні числа та їх застосування”, здійснювати контроль та самоконтроль засвоєння навчального матеріалу та отримувати учнем своєчасну корекцію недоліків у результатах навчання.
Представлено зразки тематичного планування вивчення курсу за вибором, зміст розробленого навчального матеріалу, відповідні методичні рекомендації, приклади використання різних програмних засобів при вивченні комплексних чисел та їх застосувань.
Наведено доступні і цікаві старшокласникам застосування комплексних чисел у: теорії многочленів, планіметрії, перетвореннях площини, тригонометрії, механіці, електротехніці, представлено дидактичні матеріали для проведення самостійних та контрольних робіт, для проведення заліку, тестові завдання. Розширенню знань учнів сприятиме підготовка рефератів, теми яких та вищезгадані розроблені завдання представлено у другому розділі і додатках.
Неоднорідна математична підготовка учнів профільних класів потребує організації процесу вивчення курсу за вибором з використанням диференційованого підходу шляхом формування різнорівневих груп учнів та забезпечення відповідної сукупності диференційованих впливів на них. Склад кожної такої групи не є сталим. Навчальний матеріал з основ теорії комплексних чисел та їх застосувань викладався в однаковому обсязі для всієї групи учнів, що вибрали даний курс. Відмінність між групами полягала лише у різних видах допомоги учням певної групи з боку учителя. Використовувались картки-інструкції, картки-підказки для забезпечення допомоги відповідного рівня при виконанні запропонованих завдань.
Дослідно-експериментальна робота з проблеми дослідження проводилася протягом 2001–2007 років (в експерименті взяли участь більше 300 учнів загальноосвітніх шкіл) в три етапи.
І етап - констатувальний експеримент (2001–2003 рр.) – було проаналізовано навчальні плани і програми профільних класів, а також систематизовано результати спостережень, сформульовано робочу гіпотезу, визначені конкретні завдання дослідження та розроблено план дослідницької роботи. Особлива увага в цей період приділялась вивченню стану досліджуваної проблеми в педагогічній теорії шляхом аналізу відповідної психолого-педагогічної, наукової та навчально-методичної літератури; ознайомленню з вітчизняним та зарубіжним педагогічним досвідом; аналізу поточного стану вивчення основ теорії комплексних чисел у класах з поглибленим вивченням математики; розробці та розповсюдженню анкет для вчителів та студентів перших курсів фізико-математичних факультетів, тестів для учнів, метою яких було виявлення рівня володіння учнями основами теорії комплексних чисел, з’ясування рівня сформованості вмінь учнів використовувати набуті знання з теми “Комплексні числа” до розв’язування прикладних та інших задач.
Аналіз результатів проведення констатувального етапу експерименту дозволив зробити висновок про невисокий рівень сформованості в учнів вмінь застосовувати комплексні числа в інших розділах курсів математики і фізики, однак про зацікавленість учнів цим розділом математики свідчить вибір учнями-учасниками МАН відповідних тем дослідження.
На ІІ етапі - пошуковий експеримент (2003–2004 рр.) – було розроблено компоненти методичної системи навчання учнів основ теорії комплексних чисел, а також відбувався пошук методів і форм, традиційних і сучасних засобів навчання, що сприяють формуванню вмінь учнів розв’язувати прикладні задачі та задачі з міжпредметними та внутріпредметними зв’язками методом комплексних чисел. У результаті пошукового етапу експерименту були розроблені, відібрані й систематизовані експериментальні матеріали. У той же час проводилося уточнення гіпотези дослідження і моделі навчального процесу з урахуванням спрямування профільних класів і специфіки навчального матеріалу та психологічних особливостей учнів старшої школи. Неодноразово уточнювалися методичні рекомендації щодо впровадження системи прикладних задач та задач з міжпредметними зв’язками, які можна розв’язати методом комплексних чисел, в навчальну діяльність старшокласників. У зазначений період було проаналізовано отримані результати, внесено необхідні корективи в розроблену програму, уточнено особливості побудови і змісту окремих компонентів методичної системи.
ІІІ етап - формувальний експеримент (2005–2007 рр.) – полягав в організації та проведенні навчального експерименту, в ході якого вирішувались такі завдання: перевірити гіпотезу дослідження; перевірити ефективність запропонованої методичної системи, яка дозволила б розширити можливості формування навичок розв’язування прикладних задач та задач з міжпредметними і внутріпредметними зв’язками методом комплексних чисел; порівняти ступінь сформованості знань, умінь та навичок із розділу “Комплексні числа” в учнів експериментальних та контрольних груп; встановити доцільність та ефективність використання запропонованої методики вивчення основ теорії комплексних чисел для учнів профільних класів.
У процесі проведення дослідного навчання було розроблено пакет матеріалів з прикладами задач на застосування комплексних чисел у різних розділах науки, які використовувалися у процесі експерименту; тексти робіт для перевірки результатів навчання основ теорії комплексних чисел та різнопланові тести, дидактичні засоби для забезпечення диференціації навчання.
Експериментальне навчання проводилося у звичайних умовах без змін у навчальному процесі, у відповідності до чинної програми та тематичного плану. Для участі в експерименті було залучено 189 учнів, з них за експериментальною методикою навчалися 94 учні, а контрольна функція експериментальної діяльності здійснювалась при навчанні 95 учнів. Вибір експериментальних і контрольних груп відбувався таким чином: початковий рівень знань і вмінь з математики в експериментальних і контрольних класах однаковий згідно показників навчальних досягнень на кінець попереднього навчального року, заняття в експериментальних і контрольних класах ведуть учителі вищої категорії, тобто враховувалися вимоги щодо застосування експериментальних методів опрацювання результатів педагогічного дослідження.
Навчання у контрольній групі проводилося за традиційною методикою вивчення комплексних чисел у профільних класах згідно з діючою програмою. Навчання учнів експериментальної групи проводилося за спеціально розробленою нами методикою вивчення основного блоку матеріалу, яка базувалась на демонстрації застосувань комплексних чисел у різних галузях науки і техніки, на включенні прикладних задач та задач з міжпредметними та внутріпредметними зв’язками у методичну систему навчання комплексних чисел на різних етапах процесу навчання.
Ефективність експериментального навчання підтверджена наслідками проведення контрольних робіт і статистичним опрацюванням їх результатів за критерієм Колмогорова-Смирнова.
До кінця року в контрольних класах проводилося традиційне вивчення алгебраїчного матеріалу, при цьому лише епізодично застосовувались комплексні числа до розв’язування рівнянь вищих степенів. В експериментальних класах вивчення комплексних чисел було продовжено включенням текстових задач на застосування комплексних чисел не лише в теорії многочленів та рівнянь, але й при розв’язуванні задач на геометричні перетворення, задач з електродинаміки, тригонометрії. Серед учнів експериментальних класів 31 учень продовжив вивчення розділу на курсі за вибором, з них 4 взяли участь у роботі МАН і вибрали теми з теорії комплексних чисел. Повідомлення цих учнів (з історії розвитку теорії комплексних чисел, певна розв’язана учнем прикладна задача чи задача з міжпредметними зв’язками, доведене твердження) систематично практикувались на уроках в експериментальних класах.
Наприкінці навчального року було проведено контрольний зріз результатів навчання учнів. Аналіз результатів контрольного зрізу навчальних досягнень учнів підтвердив підвищення показників навчальних досягнень учнів експериментальних класів з математики. Так кількість учнів експериментальних класів, результати навчання математики яких досягають високого рівня, збільшилася на 6%, а середнього рівня – зменшилась на 4%.
Позитивним результатом формувального етапу експерименту вважаємо також підвищення пізнавального інтересу учнів експериментальних класів, які розв’язували прикладні задачі та задачі з міжпредметними та внутріпредметними зв’язками на застосування комплексних чисел, до вивчення даного розділу математики, що проявлялося у допитливості цих учнів стосовно теоретичних і прикладних проблем теорії комплексних чисел та постійному збільшенні кількості учнів на заняттях курсу за вибором.
Таким чином, проведений педагогічний експеримент підтвердив гіпотезу дослідження та досягнення всіх поставлених завдань. Запропонована методика сприяє підвищенню рівня математичної освіти старшокласників, підвищує інтерес до вивчення комплексних чисел зокрема і курсу математики взагалі і її доцільно використовувати при вивченні розділу “Комплексні числа” учнями профільних класів.
| 
