Долговременная асимптотика и аттракторы нелинейных гамильтоновых волновых уравнений Комеч, Александр Ильич

Краткое описание

Комеч, Александр Ильич.
Долговременная асимптотика и аттракторы нелинейных гамильтоновых волновых уравнений : диссертация ... доктора физико-математических наук : 01.01.02. - Санкт-Петербург, 1998. - 149 с. : ил.
Оглавление диссертациидоктор физико-математических наук Комеч, Александр Ильич
Оглавление
0.1. Введение
0.1.1. Мотивировка исследования
0.1.2. Обозначения и определения
0.1.3. Основные результаты
0.1.4. О методах исследования
0.1.5. Комментарии
0.1.6. Об известных результатах
0.1.7. Открытые проблемы
I Одномерные уравнения
1. Струна с нелинейным осциллятором
1.1. Введение
1.2. Основные результаты
1.3. Существование динамики и априорные оценки
1.3.1. Существование динамики
1.3.2. Непрерывность динамики
1.3.3. Сохранение энергии
1.4. Релаксация для приведенного уравнения
1.4.1. Примеры
1.4.2. Доказательство релаксации для приведенного уравнения
1.5. Долговременная асимптотика
1.5.1. Переходы к стационарным состояниям
1.5.2. Затухающие блуждания
1.5.3. Транзитивность
2. Струна с конечным числом нелинейных осцилляторов
2.1. Введение
2.2. Основные результаты
2.3. Существование динамики и априорные оценки
2.4. Стационарные состояния
2.5. Долговременная асимптотика
2.6. Притяжение к компактному множеству
2.6.1. Релаксация на бесконечности
2.6.2. Рассеяние энергии в бесконечность" 7
2.6.3. Лемма о релаксации
3. Нелинейная струна с пространственно-локализованной нелинейностью
3.1. Введение и основные результаты
3.2. Существование динамики и априорные оцейки : . V"
3.3. Стационарные состояния
3.4. Долговременная асимптотика
3.4.1. Компактное притягивающее множество
3.4.2. Доказательство теоремы 1.3
3.5. Притяжение к компактному множеству
3.6. Притяжение в среднем
3.6.1. Рассеяние энергии в бесконечность
3.6.2. Нелинейная задача Гурса
3.6.3. Доказательство притяжения в среднем
II Трехмерные системы
4. Скалярное поле с частицей
4.1. Введение
4.2. Основные результаты
4.3. Существование динамики и априорные оценки
4.4. Рассеяние энергии в бесконечность
4.5. Асимптотики типа Льенара-Вихерта в волновой зоне
4.6. Релаксация ускорения и скорости частицы
4.7. Долговременная асимптотика
4.7.1. Притяжение к множеству солитонов
4.7.2. Притяжение к множеству стационарных состояний
4.7.3. Сходимость к стационарным состояниям
4.8. Линеаризация в стационарной точке
4.9. Убывание для линеаризованной системы
4.10. Асимптотическая устойчивость стационарных состояний
4.11. Скорость сходимости к стационарным состояниям
4.12. Строгий принцип Гюйгенса
4.13. Дополнение: Плотности винеровского типа
5. Система Максвелла-Лоренца
5.1. Введение
5.2. Основные результаты
5.3. Рассеяние энергии в бесконечность
5.4. Асимптотики типа Льенара-Вихерта в волновой зоне
"V
5.5. Релаксация ускорения и скорости частицы
5.6. Долговременная асимптотика
5.6.1. Притяжение к множеству солитонов
5.6.2. Притяжение к множеству стационарных состояний
5.6.3. Сходимость к стационарным состояниям
5.7. Дополнение. Существование динамики
5.7.1. Линейная динамика Максвелла
5.7.2. Представления Льенара-Вихерта
5.7.3. Гладкие аппроксимации поперечных полей
5.7.4. Нелинейная динамика Максвелла-Лоренца
6. Добавление
6.1. С-инвариантные уравнения
6.1.1. Группа [/(1). Периодические асимптотики
6.1.2. Группа II(к). Квазипериодические асимптотики
6.1.3. Группа Пуанкаре. Солитоно-подобные асимптотики
6.2. О связях с задачами математической физики
6.2.1. Квантовые стационарные состояния
6.2.2. Боровские переходы между стационарными состояниями
6.2.3. Корпускулярно-волновая двойственность Л. де Бройля
6.2.4. Элементарные частицы и алгебры Ли
Литература
Резюме 0.0.1. Рассматривается долговременная .асимптотика всех решений конечной энергии некоторых классов нелинейных волновых уравнений, являющихся бесконечномерными гамилътоновыми системами. Устанавливается долговременная сходимость рассматриваемых решений к стационарным состояниям в топологии Фреше, определяемой локальными энергетическими полунормами. Это означает, что множество стационарных состояний является точечным аттрактором в данной топологии. Сходимость доказывается в части I для одномерных нелинейных волновых уравнений с нелинейными членами, сосредоточенными в одной точке, в нескольких точках и на конечном отрезке, и в части II - для трехмерного скалярного волнового уравнения, связанного с частицей, и для системы Максвелла-Лоренца с зарядом. Эта сходимость представляется парадоксальной ввиду обратимости и консервативности гамильтоновых уравнений. Исследование мотивировано выделенной ролью стационарных состояний во многих явлениях, описываемых нелинейными гамилътоновыми волновыми уравнениями.