К теории интегрируемых редукций уравнений Эйнштейна: Метод преобразования монодромии Алексеев, Георгий Андреевич

Краткое описание

Алексеев, Георгий Андреевич.
К теории интегрируемых редукций уравнений Эйнштейна : Метод преобразования монодромии : диссертация ... доктора физико-математических наук : 01.01.03. - Москва, 1999. - 472 с. : ил.
Оглавление диссертациидоктор физико-математических наук Алексеев, Георгий Андреевич
ВВЕДЕНИЕ.
Уравнения Эйнштейна.
Точные решения в теории гравитации.
Интегрируемость двумерных редукции уравнений Эйнштейна.
От гипотез интегрируемости к эффективным методам решения.
О содержании диссертации.
ЧАСТЬ I УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА ПРИ НАЛИЧИИ ДВУМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВЕННО - ВРЕМЕННЫХ СИММЕТРИИ.
Глава 1 Геометрия пространства-времени с двумерной симметрией.
§ 1.1. Основные обозначения и определения.
§ 1.2. Локальные системы координат.
§ 1.3. Метрика, связность и кривизна.
§ 1.4. Формализм Ньюмена - Пенроуза для пространств с двумерной абелевой группой изометрий.
§ 1.5. Класс метрик Льюиса - Папапетру.
Глава 2 Классические безмассовые поля как источники гравитационного поля в пространстве-времени с двумерной симметрией.
§ 2.1. Электромагнитное поле.
§ 2.2. Двухкомпонентное безмассовое спинорное поле Вейля.
§ 2.3. Скалярное поле с минимальной связью.
§ 2.4. Идеальная жидкость с предельно жестким уравнением состояния р = е и потенциальным движением.
§ 2.5. Полный тензор энергии - импульса гравитационно взаимодействующих безмассовых полей.
Глава 3 Уравнения Эйнштейна для пространства - времени с двумерной симметрией.
§ 3.1. Уравнения связи для конформного фактора /.
§ 3.2. Автодуальная форма уравнений Эйнштейна.
§ 3.3. Уравнения связи для недиагональных компонент метрики Ша ц.
§ 3.4. Динамические уравнения для компонент метрики ¡гаъ • ■ ■
§ 3.5. Замкнутая система динамических уравнений.
§ 3.6. Динамические уравнения в терминах внешних форм.
СОДЕРЖАНИЕ
§ 3.7. Динамические уравнения в комплексной 3 х З-матричной форме.
§ 3.8. Модификация 3x3- матричных уравнений в координатах^}.
§ 3.9. Доказательство эквивалентности 3x3 - матричных уравнений системе динамических уравнений.
ЧАСТЬ II МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МОНОДРОМИИ.
Глава 1 Представление нулевой кривизны для динамических уравнений и эквивалентная спектральная задача.
§ 1.1. Построение ассоциированной линейной системы.
§ 1.2. Эквивалентность дополнительных условий существованию эрмитова интеграла ассоциированной линейной системы
§ 1.3. Эквивалентная 3x3- матричная спектральная задача.
§ 1.4. Пространство локальных решений и нормировочные условия.
Глава 2 Структура фундаментального решения Ф(£,77, w) ассоциированной линейной системы.
§ 2.1. Глобальные аналитические свойства Ф(£,r),w).
§ 2.2. Структура разреза на плоскости w.
§ 2.3. Голоморфная ветвь 4/(£,r¡,w) и ее свойства.
§ 2.4. Локальные аналитические свойства 77,«;) в точках составного разреза L — L+ U .ЦО
Глава 3 Прямая задача преобразования монодромии: определение данных монодромии для произвольного локального решения.
§ 3.1. Определение данных монодромии.
§ 3.2. Данные монодромии для системы (II.1.16).
§ 3.3. Данные монодромии для уравнений обобщенных Эрнста.
Глава 4 Линейное сингулярное интегральное уравнение как эквивалентная форма полевых уравнений.
§ 4.1. Эквивалентная задача сопряжения для аналитических функций.
§ 4.2. Вывод основного сингулярного интегрального уравнения
§ 4.3. Структура сингулярного интегрального уравнения.
§ 4.4. О корректности основного интегрального уравнения.
СОДЕРЖАНИЕ з
§ 4.5. Вычисление комплексных потенциалов и компонент метрики
§ 4.6. Эквивалентность основного интегрального уравнения обобщенным уравнениям Эрнста.
Глава 5 Уравнения Фредгольма эквивалентные уравнениям Эрнста. Обратная задача преобразования монодромии: существование и единственность решений.
§ 5.1. "Достаточность" интегральных уравнений.
§ 5.2. Регуляризация основного интегрального уравнения: уравнения Фредгольма, эквивалентные обобщенным уравнениям Эрнста.
§ 5.3. Уравнения Фредгольма, эквивалентные электровакуумным уравнениям Эрнста.
§ 5.4. Существование и единственность локальных решений для произвольных данных монодромии.
ЧАСТЬ III ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ.
Глава 1 Начальные и краевые условия и различные типы граничных задач.
§ 1.1. Задача Гурса.
§ 1.2. Задача Коши.
§ 1.3. Краевая задача в эллиптическом случае.
Глава 2 Точная линеаризация граничных задач граничных для уравнений Эрнста.
§ 2.1. Задача Гурса. Ц
§ 2.2. Задача Коши.
§ 2.3. Краевая задача в эллиптическом случае.
Глава 3 Граничные задачи для полей с линеаризующимися динамическими уравнениями.
§ 3.1. Волны Эйнштейна - Розена и статические решения Вейля
§ 3.2. Интегральные представления общих решений уравнений
Лапласа и Эйлера - Пуассона - Дарбу.
§ 3.3. Общее решение спектральной задачи и вычисление данных монодромии для вакуумных полей с диагональной метрикой.
§ 3.4. Общее решение задачи Гурса для вакуумных полей с диагональной метрикой в терминах преобразования монодромии.
СОДЕРЖАНИЕ
§ 3.5. Общее решение задачи Коши в гиперболическом случае для вакуумных полей с диагональной метрикой в терминах преобразования монодромии.
§ 3.6. О построении решений граничных задач для вакуумных полей с диагональной метрикой в эллиптическом случае
Глава 4 Классы полей определяемые асимптотическими условиями: слабые поля, поля регулярные на границе а{хг,х2) = 0 и асимптотически плоские поля.
§ 4.1. Общее локальное решение уравнений Эрнста в терминах решения основного интегрального уравнения.
§ 4.2. Общее решение для слабых полей.
§ 4.3. Класс решений, регулярных на границе «(ж1, х2) =
§ 4.4. Редукция линейных интегральных уравнений для полей с аналитически согласованными данными монодромии
§ 4.5. Асимптотически плоские поля и их мультипольные разложения
ЧАСТЬ IV МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ
ЭЙНШТЕЙНА И ЭЙНШТЕЙНА - МАКСВЕЛЛА.
Глава 1 Вакуумные солитоны Белинского и Захарова (А-солитоны) в контексте метода преобразования монодромии.
§1.1. Генерация А-солитонов (метод "одевания").
§ 1.2. Генерация вакуумных ги-солитонов методом одевания
§ 1.3. Преобразование данных монодромии при генерации вакуумных w-солитонов.
Глава 2 Солитонные решения электровакуумных уравнений Эйнштейна
- Максвелла (w - солитоны с комплексными полюсами).
§ 2.1. Определяющая система матричных уравнений.
§ 2.2. Генерация солитонных решений с комплексными полюсами
§ 2.3. Электровакуумные iV-солитонные решения в замкнутой форме.
§ 2.4. Преобразование данных монодромии, при генерации электровакуумных w - солитонов с комплексными полюсами.
Глава 3 О расширении семейства электровакуумных солитонов (вырожденные солитоны с вещественными полюсами).
СОДЕРЖАНИЕ
§ 3.1. Генерация односолитонного решения с вещественным полюсом
Глава 4 Процедура генерация простейшего типа несолитонных решений и соответствующее ей преобразование данных монодромии
§ 4.1. Генерация решений с линейной по ю одевающей матрицей
§ 4.2. Преобразование данных монодромии при генерация решений с линейной по гу одевающей матрицей.
Глава 5 Класс решений электровакуумных полей с произвольными аналитически согласованными рациональными данными монодромии
§ 5.1. Уравнения Эйнштейна-Максвелла в форме линейных сингулярных интегральных уравнений и уравнений Фред-гольма.
§ 5.2. Аналитически согласованные данные монодромии и видоизмененные интегральные уравнения.
§ 5.3. Общий вид решения уравнений Эйнштейна - Максвелла с произвольными аналитически согласованными рациональными данными монодромии.
ЧАСТЬ V ПРИМЕРЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ЭЙНШТЕЙНА
И ИХ ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ.
Глава 1 Односолитонные возмущения и волны на фоне пространства
Минковского.
§ 1.1. Двумерные абелевы подгруппы изометрий пространства
Минковского и отвечающие им формы метрики.
§ 1.2. Общее решение спектральной задачи для пространства
Минковского.
§ 1.3. Общий вид односолитонного электровакуумного решения с комплексным полюсом на фоне пространства Минковского
§ 1.4. Стационарное осесимметричное односолитонное решение при А = 0: решение Керра - Ньюмена для внешнего поля заряженной вращающейся черной дыры.
§ 1.5 Односолитонные квази-цилиндрические гравитационные и электромагнитные волны на фоне пространства Минковского
СОДЕРЖАНИЕ
§ 1.6 Односолитонные квази - сферические гравитационные и электромагнитные волны на фоне пространства Минков-ского.
Глава 2 Двухсолитонные конфигурации гравитационных и электромагнитных полей на фоне пространства Минковского.
§ 2.1 Общее двухсолитонное электровакуумное решение на фоне пространства Минковского при А = 0.
§ 2.2 Двенадцатипараметрическое стационарное осесиммет-ричное решение для поля двух взаимодействующих источников типа Керра - Ньюмена.
§ 2.2 Взаимодействующие неплоские солитонные гравитационные и электромагнитные волны.
Глава 3 Генерация простейших несолитонных решений: взаимодействие заданной полевой конфигурации с внешним электромагнитным полем.
§ 3.1. Несолитонные возмущения пространства Минковского
§ 3.2. Динамика замкнутой вселенной Фридмана при наличии однородных электромагнитных полей.
Глава 4 Черная дыра Шварцшильда в полузамкнутой магнитной вселенной Бертотти - Робинсона, как пример нелинейной суперпозиции полей.
§ 4.1. Полевые конфигурации с рациональными данными монодромии и их нелинейная суперпозиция.
§ 4.2. Черная дыра в полузамкнутой статической магнитной вселенной.