Меновщиков Александр Викторович. Операторы композиции в пространствах Соболева - Орлича

Краткое описание

Меновщиков Александр Викторович. Операторы композиции в пространствах Соболева - Орлича: диссертация ... кандидата Физико-математических наук: 01.01.01 / Меновщиков Александр Викторович;[Место защиты: ФГБУН Институт математики им. С.Л.Соболева Сибирского отделения Российской академии наук], 2018

Введение к работе

Актуальность темы. Вданном диссертационном исследовании проводится изучение ограниченных операторов композиции в пространствах Соболева — Орлича, а также отображений, порождающих такие операторы (отображениеf:D—>D'порождает оператор композицииif*по правилуip*f = fо ifдля любой /: D'-> R).
Для получения описания исследуемых объектов решается несколько задач.
1. Нахождение необходимых и достаточных условий, при которых гомеоморфизмif:D—>D', гдеD, D' —области в Rn,п> 2, порождает ограниченный оператор композицииif* : LlM(D')—>LlM(D).Заметим, что если TV-функции М, Mi, определяющие пространства Соболева — Орлича, задаются равенствомМ(и) = uq, М(и) = ир,где 1< q < р < оо, тозадача сводится к случаю пространств СоболеваLr.
2. Описание свойств регулярности обратного отображения к гомеоморфизму класса Соболева — ОрличаWj^(порождающего ограниченный оператор композиции(f* : LlM(D')—>LlM(D))по известным свойствам регулярности прямого отображения. В качестве следствия доказывается теорема об условиях, при выполнении которых обратный гомеоморфизм порождает ограниченный оператор композиции другой пары пространств Соболева — Орлича, определяемой по первой.
3. Изучение вопроса о полунепрерывности снизу коэффициента искажения класса отображений, порождающих ограниченный оператор композиции пространств Соболева — Орлича. Установление данного свойства для класса отображений играет важную роль в исследовании вариационных задач, в частности задач теории упругости. В настоящей работе оно применяется для доказательства существования решения задачи минимизации функционала энергии.
В истории изучения операторов композиции можно выделить три основных направления, которые возникли при решении прикладных задач в различных областях. Первое направление стало развиваться после публикации Е. Шредером в 1871 году одной из наиболее ранних работ по теории операторов композиции [1], в которой он изучает следующую задачу:определить функцию f и константу а такие, что(/ оT)(z) = cif(z) для всех z из соответствующей области, в которой определена функция Т.Решение этой задачи было предложено в статье ] в 1884 году. В дальнейшем изучение операторов композиции в случае, когда порождающее его отображение является голоморфной функцией и действует между областями в С или Сп, стало классическим для данной теории. Первое систематическое исследование по данному направлению приведено в работе Г. Шварца 1969 года ]. В последние годы изучение оператора композиции, порожденного голоморф-
ным отображением, проводилось в различных функциональных пространствах (пространстваНр,пространства Бергмана и общие пространства Хар-ди). В качестве современных работ в данном направлении можно привести статьи С. Стевича -], в которых изучается ограниченность и компактность оператора, действующего из смешанного пространства в пространство типа Блоха и Бергмана, а также рассмотрен случай весового оператора композиции. Необходимость изучения оператора композиции в указанных выше пространствах возникает при решении задач теории дифференцируемых динамических систем, статистической механики и теории обобщенных функций (см., например, ,]).
Следующее крупное направление связано с задачами топологической динамики, теории групп преобразований и изучением непрерывных функций. Объектом исследования в нем является оператор на топологических пространствах, порожденный непрерывным отображением. В качестве примера приведем работы -].
Третьим направлением в изучении операторов композиции является рассмотрение операторов, действующих на пространствах с мерой и порожденных измеримым отображением. Вопросы о свойствах таких операторов возникают в теории энтропии, эргодической теории и классической механике (см. [, ]). В первую очередь такие операторы рассматривались на пространствахLp(одно из наиболее ранних систематических изложений исследований в этом направлении — работы Нордгрена и Риджа ,15]). Естественным развитием данной тематики является варьирование исходных функциональных пространств.
Особый интерес при обзоре темы диссертационного исследования представляют работы С.К. Водопьянова и А.Д. Ухлова -21], которые также можно отнести к третьему направлению. В них были получены необходимые и достаточные условия, обеспечивающие ограниченность оператора композиции (/?* : L:, —>Lпространств Соболева, действующих по правилу(p*f = fotp.
Отображения, порождающие такие операторы, называются отображениями с ограниченным (р,д)-искажением, а прир = q = пэтот класс совпадает с классом квазиконформных отображений (см. ]). История установления такой связи между теорией операторов композиции на пространствах Соболева и квазиконформным анализом берет начало в работах, направленных на решение задачи, сформулированной Ю.Г. Решетняком в 1968 году: требовалось описать все изоморфизмыip*однородных пространств СоболеваLn,порожденных квазиконформными отображениямиLpевклидова пространства Rnпо правилу= f о ср.
Естественным продолжением приведенных исследований является изучение свойств отображений, порождающих операторы композиции в других функциональных пространствах «Соболевского типа». В данной диссертации проводится изучение таких операторов в пространствах Соболева — Орлича.
Пространства Орлича обобщаютЬрпространства и более тонко учитывают характер функций, их составляющих.
Одним из фундаментальных результатов в теории Lp-пространств является доказанная в 1910 году Ф. Риссом (см. ]) теорема о том, что(Lp)* = Lp>,где]/ — двойственныйкриндекс, то естьl/p+1/p'= 1. Для доказательства этого факта используется неравенствоuv < ир/p + vp/р', u,v> 0. В 1912 г. в работе ] это неравенство было обобщено У. Юнгом на случай выпуклых функций(uv<М(и)+M*(v)).На основании этих результатов в 1931 г. 3. Бирнбаум и В. Орлич опубликовали работу ], заложившую основу теории двойственных функций и в дальнейшем приведшую к введению пространств Орлича.
В 1932 году В. Орлич в статье ], используя понятие двойственной функции, дает определение пространствЬм,снабжая их следующей нормой
и\= sup
velM(D)l(v;M*)<l< em=""></l<>
/u(x)v(x)dx
В изначальных предположениях Орлича функцияМдолжна была удовлетворять А2-условию (распространение на более широкий класс было получено в 1936 году в работе ]). Впервые термин «пространство Орлича» был использован в 1949 году в работе ] А. Заанена. В 1950 X. Накано, а в 1955 В. Люксембург (см. , ]) предложили второй метод введения нормы в пространствеЬм,основанный на использовании функционала Минковского и позволяющий проводить ее фактическое вычисление. Несмотря на то, что в работах X. Накано такая норма была введена на 5 лет раньше, ее принято называть «нормой Люксембурга».
В качестве одних из наиболее ранних работ, в которых возникают пространства Соболева — Орлича, можно привести монографию Ю. Дубинско-го [], статьи Т.К. Дональдсона и Н.С. Трюденгера ,], а также работы Р. Адамса [, ]. Рассмотрение пространств Соболева — Орлича вместо классических Соболевских пространств позволило получить более точные теоремы вложения ] (окончательный результат получен в терминах пространств Орлича — Лоренца, см. ]). Другой важной изначальной мотивировкой рассмотрения такого обобщения было решение задачи Дирихле для эллиптических операторных уравнений (см., например, ]).
Изучение приведенных выше работ позволяет сделать вывод о том, какого рода улучшения и уточнения по сравнению со случаемЬрвозможно получить при использовании пространств Орлича. В рамках данной диссертационной работы мы описываем необходимые и достаточные условия, при которых отображениеLpпорождает ограниченный оператор композиции пространств Орлича и Соболева — Орлича. Полученные результаты используются для изучения регулярности отображений, обратных к гомеоморфизмам
класса Соболева — Орлича. Далее исследуется свойство замкнутости относительно локально равномерной сходимости отображений, порождающих оператор (/9*, необходимое для решения вариационных задач теории упругости. Обобщение полученных в работах [37, ] результатов в этом направлении даст возможность изучить аналогичные проблемы теории упругости для более широкого класса отображений.
Цели и задачи.Цель диссертационной работы — изучение свойств отображений, порождающих ограниченный оператор композиции пространств Соболева — Орлича.
Основные положения, выносимые на защиту.
Установлены необходимые и достаточные условия, при которых гомеоморфизм евклидовых областей порождает ограниченный оператор композиции пространств Соболева — Орлича.
Определены свойства регулярности отображения, обратного к гомеоморфизму класса Соболева — Орлича, по известным свойствам регулярности прямого отображения.
Доказана полунепрерывность снизу коэффициентов искажения отображений из рассмотренных классов.
Используя полученные результаты, доказана теорема существования задачи минимизации функционала энергии для специальных классов отображений в условиях поливыпуклости и коэрцитивности функции запасенной энергии.
Научная новизна.Все основные результаты являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость.Результаты носят теоретический характер и могут быть использованы специалистами, работающими в различных областях анализа, геометрии, уравнений в частных производных и теории упругости. Результаты диссертационного исследования могут быть применены в образовательном процессе при организации спецкурсов по теории функциональных пространств и квазиконформному анализу, предназначенных для студентов, магистрантов и аспирантов высших учебных заведений
Апробация работы.Основные положения и результаты работы прошли апробацию на следующих научных конференциях и семинарах:
Международная научная конференция «Метрические структуры и управляемые системы». Новосибирск, 2015.
Международная научная конференция «Геометрический анализ и тео рия управления». Новосибирск, 2016.
Семинар по геометрическому анализу, Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск. Руководитель: д. ф.-м. н., профес сор С. К. Водопьянов.
Семинар лаборатории геометрической теории управления, Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск. Руководитель: д. ф.-м. н., профессор А. А. Аграчев.
Публикации.