Сиротенко Антон Володимирович Обме­жені та інтегровані зі степенем р розв’язки різнице­вих та диференціальних рівнянь у банаховому просто­рі

Краткое описание

Сиротенко Антон Володимирович, асистент кафедри математичного аналізу та теорії ймовірностей Націо­нального технічного університету України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського»: «Обме­жені та інтегровані зі степенем р розв’язки різнице­вих та диференціальних рівнянь у банаховому просто­рі» (01.01.02 - диференціальні рівняння). Спецрада Д
у Київському національному університеті іме­ні Тараса Шевченка

Київський національний університет імені Тараса Шевченка
Міністерство освіти і науки України
Київський національний університет імені Тараса Шевченка
Міністерство освіти і науки України
Кваліфікаційна наукова
праця на правах рукопису
СИРОТЕНКО Антон Володимирович
УДК 517.98
ДИСЕРТАЦІЯ
ОБМЕЖЕНІ ТА ІНТЕГРОВНІ ЗІ СТЕПЕНЕМ р РОЗВ’ЯЗКИ
РІЗНИЦЕВИХ ТА ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ У
БАНАХОВОМУ ПРОСТОРІ
01.01.02 – диференціальні рівняння
подається на здобуття наукового ступеня кандидата фізикоматематичних наук
Дисертація містить результати власних досліджень. Використання ідей,
результатів і текстів інших авторів мають посилання на відповідне
джерело
____________ А.В.Сиротенко
Науковий керівник Городній Михайло Федорович, доктор фізикоматематичних наук, професор
Київ – 2018

Зміст
Вступ 15
РОЗДІЛ 1. Огляд літератури та основних результатів 22
1.1 Різницеві рівняння та їх розв’язки ......................................... 22
1.2 Різницево-операторні рівняння з неперервним аргументом 29
1.3 Диференціально-операторні рівняння та їх розв’язки.......... 32
РОЗДІЛ 2. Обмежені та сумовні зі степенем
p
розв’язки різницевого рівняння з цілочисельним аргументом 40
2.1 Постановка задачі ..................................................................... 40
2.2 Необхідні і достатні умови сумовності зі степенем
p
розв’язку різницевого рівняння .................................................... 41
2.2.1 Допоміжні леми................................................................ 41
2.2.2 Основний результат......................................................... 55
2.3 Приклади.................................................................................... 57
2.4 Висновки.................................................................................... 60
РОЗДІЛ 3. Інтегровні зі степенем
p
розв’язки різницевого рівняння з неперервним аргументом 61
3.1 Постановка задачі ..................................................................... 61
3.2 Необхідні і достатні умови інтегровності зі степенем
p
розв’язку різницевого рівняння з одним операторним коефіцієнтом на півосі .......................................................................... 63
3.2.1 Допоміжні леми................................................................ 63
13
3.2.2 Необхідні і достатні умови ............................................. 64
3.3 Приклади.................................................................................... 68
3.4 Необхідні і достатні умови інтегровності зі степенем
p
розв’язку різницевого рівняння з кількома операторними коефіцієнтами на півосі ..................................................................... 72
3.4.1 Постановка задачі ............................................................ 72
3.4.2 Необхідні і достатні умови ............................................. 73
3.5. Необхідні і достатні умови інтегровності зі степенем
p
розв’язку різницевого рівняння з одним операторним коефіцієнтом на всій дійсній осі .......................................................... 77
3.5.1 Постановка задачі ............................................................ 77
3.5.2 Допоміжні леми................................................................ 79
3.5.3 Необхідні і достатні умови ............................................. 83
3.6 Приклади...................................................................................... 88
3.7 Висновки...................................................................................... 90
РОЗДІЛ 4. Інтегровні з
p-м степенем розв’язки операторно-диференціального рівняння 92
4.1 Постановка задачі ....................................................................... 92
4.2 Необхідні і достатні умови інтегровності зі степенем
p
розв’язку операторно-диференціального рівняння на півосі..... 93
4.2.1 Допоміжні леми................................................................ 93
4.2.2 Необхідні і достатні умови ............................................. 98
4.3 Приклади...................................................................................... 102
14
4.4 Інтегровні зі степенем
p
розв’язки операторно-диференціального рівняння на всій осі.......................................................... 105
4.4.1 Постановка задачі ............................................................ 105
4.4.2 Допоміжні твердження.................................................... 107
4.4.3 Необхідні і достатні умови інтегровності зі степенем
p
розв’язків операторно-диференціального рівняння на
всій осі................................................................................ 109
4.5 Висновки...................................................................................... 120
Висновки 122
Список використаних джерел 124
15
Вступ
Обгрунтування вибору теми дослідження. Питання щодо
властивостей розв’язків диференціальних та різницевих рівнянь виникали
ще у роботах А. Пуанкаре, О. Перрона та О.М. Ляпунова. У XX столітті
почали з’являтися систематизовані виклади, в яких досліджувалися різні
властивості цих розв’язків. Методи, запропоновані О. Перроном і
А.Пуанкаре, отримали продовження в роботах великої кількості відомих
математиків, таких як В.І.Арнольд, М.Г.Крейн, Ю.Л.Далецький,
Х.Массера, Х.Шеффер, В.Коппель, Ю.О.Митропольський,
А.М.Самойленко, В.Ю.Слюсарчук, Д.І.Мартинюк, Д.Хенрі, А.Г.Баскаков,
О.А.Бойчук, Г.П.Пелюх, А.Я.Дороговцев, М.Ф.Городній Ю.В.Томілов,
О.О.Покутний, та багато інших.
Розвиток електронно-обчислювальної техніки дав новий поштовх
дослідженням різницевих і диференціальних рівнянь, як у
скінченновимірних, так і у абстрактних просторах. В середині XX століття
було отримано важливі результати щодо властивостей розв’язків
різницево-операторних та диференціально операторних рівнянь у зв’язку з
властивостями експоненціальної дихотомії у відповідних однорідних
лінійних систем. Результати М.Г. Крейна і В.Ю. Слюсарчука показали
зв’язок властивостей розв’язків різницевих та диференціальних рівнянь з
умовами на операторний коефіцієнт. Їхні результати були узагальнені
С.Я.Якубовим, М.К. Балаєвим, А.Г. Баскаковим, М.Ф. Городнім.
Важливість дослідження питання щодо існування єдиного сумовного
зі степенем
p
розв’язку різницево-операторного рівняння було показано
А.Г.Баскаковим, О.І. Пастуховим, В.Г. Мазьєю та М.Г. Сулімовим.
Отримані ними результати для обмежених та замкнених операторних
16
коефіцієнтів були використані в подальшому для досліджень існування
інтегровних зі степенем
p
розв’язків диференціально-операторних
рівнянь.
У дисертаційній роботі розглянуто різницево-операторні рівняння як
з дискретним, так і з неперервним аргументом, а також диференціальнооператорні-рівняння. Для кожного із зазначених типів рівнянь вивчалося
питання щодо існування обмежених або сумовних зі степенем
p
, або
інтегровних зі степенем
p
розв’язків відповідних рівнянь у тому випадку,
коли умови на операторний коефіцієнт, що забезпечували б існування
таких розв’язків для усіх правих частин, порушуються.
Аналогічне питання щодо різницево-операторного рівняння з
натуральним аргументом розглянуто М.Ф.Городнім та О.В.Вятчаніновим.
Отримані ними результати показують важливість дослідження
властивостей розв’язків рівнянь у вказаному випадку. Поширення
отриманих результатів на випадок цілочисельного аргументу, а також на
випадок неперервного аргументу, є нетривіальною задачею, що потребує
детального вивчення. Відтак виконані в дисертаційній роботі дослідження,
окрім своєї наукової новизни, мають вагоме теоретичне значення і можуть
бути застосовані в подальшому вивченні різницево-операторних та
диференціально-операторних рівнянь.
В результаті досліджень, викладених в дисертаційній роботі,
отримано критерії існування і єдиності обмеженого або сумовного зі
степенем
p
розв’язку різницево-операторного рівняння з цілочисельним
аргументом, а також інтегровного зі степенем
p
розв’язку різницевооператорного рівняння з неперервним аргументом за умови, що «вхідні»
послідовності або функції належать деякому спеціальному класу.
Аналогічні результати щодо існування обмеженого або інтегровного зі
17
степенем
p
розв’язку було отримано і для диференціально-операторного
рівняння.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами.
Дисертаційну роботу виконано в рамках державної бюджетної
дослідницької наукової теми №06БФ038-01 «Якісні та аналітичні методи
дослідження і моделювання нелінійних систем та фізико-механічних
полів» (номер державної реєстрації 0106U005863).
Мета і завдання дослідження. Об’єктом дослідження є різницеві та
диференціальні рівняння у банаховому просторі.
Предмет дослідження – обмежені та сумовні зі степенем
p
розв’язки різницево-операторного рівняння; обмежені та інтегровні зі
степенем
p
розв’язки різницевих рівнянь з неперервним аргументом та
диференціально-операторних рівнянь.
Мета і завдання дослідження – у випадку, коли не виконуються
умови класичної теореми М.Г.Крейна про існування та єдиність
обмежених розв’язків диференціально-операторного рівняння або її
аналогів для різницево-операторних рівнянь отримати необхідні і достатні
умови, що забезпечують
- існування єдиного обмеженого або сумовного зі степенем
p
розв’язку різницево-операторних рівнянь з дискретним
(неперервним) аргументом для кожної «вхідної» послідовності
(функції) із деякого спеціального класу;
- існування єдиного обмеженого або інтегровного зі степенем
p
розв’язку диференціально-операторного рівняння для кожної функції
у правій частині, що належить деякому спеціальному класу.
18
Методи досліджень. У дисертаційній роботі використано методи
функціонального аналізу, теорії різницевих та диференціальних рівнянь, а
також теорії операторів.
Наукова новизна отриманих результатів. Для різницевого
рівняння з дискретним аргументом в банаховому просторі доведено
критерій існування та єдиності обмеженого на
Z
або сумовного зі
степенем
p на
Z
розв’язку для кожної «вхідної» послідовності, елементи
якої належать деякій спеціальній множині банахового простору.
Отримано необхідні і достатні умови на операторний коефіцієнт, що
забезпечують існування єдиного обмеженого або інтегровного зі степенем
p
розв’язку різницевого рівняння з неперервним аргументом, визначеним
на додатній півосі або на всій числовій осі, для усіх «вхідних» функцій, які
належать деяким спеціальним класам.
Отримано необхідні і достатні умови, за виконання яких розв’язок
задачі Коші для диференціально-операторного рівняння буде обмеженим
або інтегровним зі степенем
p
для кожної функції у правій частині, що
належить деякому спеціальному класу, і кожної початкової умови з деякої
інваріантної відносно операторного коефіцієнта множини елементів
банахового простору.
Доведено критерій існування та єдиності обмеженого або
інтегровного зі степенем
p розв’язку диференціального рівняння з
операторним коефіцієнтом, заданого на всій числовій осі, для кожної
функції у правій частині, що належить деякому спеціальному класу.
У кожному з випадків, що розглядаються, «вхідні» функції із
спеціального класу набувають значення у деякій інваріантній відносно
операторного коефіцієнта множині елементів банахового простору.
Отримано умови на ці множини, які забезпечують відповідні властивості
19
розв’язків різницево-операторного або диференціально-операторного
рівняння.
Усі отримані результати є новими.
Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертаційної роботи
отримано здобувачем самостійно. За результатами дисертації автором
опубліковано 5 робіт, серед яких 4 – у співавторстві з науковим керівником
Городнім М.Ф. У них Городньому М. Ф. належить постановка задач та
загальне керівництво роботою.
Апробація матеріалів дисертації. Основні результати дослідження
доповідалися та обговорювалися на таких конференціях і семінарах:
- Міжнародна наукова конференція молодих вчених
присвячена 70-річчю механіко-математичного факультету
КНУ (м. Київ, 13-15 грудня 2010 р.);
- Міжнародна наукова конференція «Диференціальні рівняння
та їх застосування», присвячена 65-річчю кафедри
інтегральних та диференціальних рівнянь Київського
національного університету імені Тараса Шевченка (м. Київ,
8-10 червня 2011 р. );
- Чотирнадцята міжнародна наукова конференція імені
академіка М. Кравчука (м. Київ, 19-21 квітня 2012 р.);
- Міжнародна математична конференція «Диференціальні
рівняння, обчислювальна математика, теорія функцій та
математичні методи механіки» до 100-річчя від дня
народження члена-кореспондента НАН України Положого
Георгія Миколайовича (м. Київ, 23-24 квітня 2014 р. );
- Шістнадцята міжнародна наукова конференція імені
академіка Михайла Кравчука (м. Київ, 14-15 травня 2015 р.);
20
- Засідання наукового семінару кафедри загальної математики
механіко-математичного факультету Київського
національного університету імені Тараса Шевченка
(керівники – проф. О.М.Станжицький, проф. Г.Л.Кулініч)
(м.Київ, 12 квітня 2017 р. );
- Засідання наукового семінару «Асимптотичні та аналітичні
методи для задач математичної фізики» кафедри
математичної фізики механіко-математичного факультету
Київського національного університету імені Тараса
Шевченка (керівники – проф. В.Г. Самойленко, проф.
Т.А.Мельник) (м. Київ, 27 квітня 2017 р.);
- Засідання наукового семінару кафедри інтегральних та
диференціальних рівнянь механіко-математичного
факультету Київського національного університету імені
Тараса Шевченка (керівники – академік НАН України
М.О.Перестюк, академік НАН України А.М. Самойленко) (м.
Київ, 15 листопада 2017 р.).
Публікації. Основні результати дисертаційної роботи було
опубліковано в 10 наукових публікаціях. З них
- 5 статей [1-5] у наукових фахових виданнях України, 2 статті
[3, 5] з яких надруковані у журналах, англомовна версія яких
включена до міжнародної наукометричної бази даних
Scopus;
- 5 тез доповідей на міжнародних математичних конференціях
[6-10].
Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з
анотації, вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаної
21
літератури, що містить 126 найменувань. Повний обсяг роботи становить
137 сторінок друкованого тексту.

Список литературы

Висновки
У дисертаційній роботі розглянуто різницеві рівняння у банаховому
просторі з дискретним та неперервним аргументом, а також
диференціальне рівняння з операторним коефіцієнтом. Отримано нові
результати щодо обмеженості та сумовності зі степенем
p
розв’язків
різницевого рівняння з цілочисельним аргументом і щодо обмеженості і
інтегровності за степенем
p
розв’язків різницевого рівняння з
неперервним аргументом, а також диференціально-операторного рівняння.
Основними результатами дисертаційної роботи є такі результати.
Для різницевого рівняння з дискретним аргументом в банаховому
просторі доведено критерій існування та єдиності обмеженого на
Z
або
сумовного зі степенем
p на
Z
розв’язку для кожної «вхідної»
послідовності, елементи якої належать деякій спеціальній множині
банахового простору.
Отримано необхідні і достатні умови на операторний коефіцієнт, що
забезпечують існування єдиного обмеженого або інтегровного зі степенем
p
розв’язку різницевого рівняння з неперервним аргументом, визначеним
на додатній півосі або на всій числовій осі, для усіх «вхідних» функцій, які
належать деяким спеціальним класам.
Отримано необхідні і достатні умови, за виконання яких розв’язок
задачі Коші для диференціально-операторного рівняння буде обмеженим
або інтегровним зі степенем
p
для кожної функції у правій частині, що
належить деякому спеціальному класу, і кожної початкової умови з деякої
інваріантної відносно операторного коефіцієнта множини елементів
банахового простору.
123
Доведено критерій існування та єдиності обмеженого або
інтегровного зі степенем
p розв’язку диференціального рівняння з
операторним коефіцієнтом, заданого на всій числовій осі, для кожної
функції у правій частині, що належить деякому спеціальному класу.
У кожному з випадків, що розглядаються, «вхідні» функції із
спеціального класу набувають значення у деякій інваріантній відносно
операторного коефіцієнта множині елементів банахового простору.
Отримано умови на ці множини, які забезпечують відповідні властивості
розв’язків різницево-операторного або диференціально-операторного
рівняння.