ЗАДАЧІ ТИПУ ДІРІХЛЕ ДЛЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНО-ОПЕРАТОРНИХ РІВНЯНЬ ПАРНОГО ПОРЯДКУ

Краткое описание

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА»

На правах рукопису

ЯРКА УЛЯНА БОРИСІВНА
УДК 517.95

ЗАДАЧІ ТИПУ ДІРІХЛЕ ДЛЯ
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНО-ОПЕРАТОРНИХ РІВНЯНЬ
ПАРНОГО ПОРЯДКУ

01.01.02. диференціальні рівняння

ДИСЕРТАЦІЯ
на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук

Науковий керівник
Каленюк Петро Іванович
доктор фізико-математичних наук,
професор

ЛЬВІВ - 2007

ЗМІСТ

ПЕРЕЛІК УМОВНИХ ПОЗНАЧЕНЬ....................................................................4
ВСТУП.........................................................................................................................5РОЗДІЛ 1. ОГЛЯД ЛІТЕРАТУРИ ТА ДОПОМІЖНІ ВІДОМОСТІ............10
1.1. Огляд використаних джерел..............................................................................11
1.2. Допоміжні відомості..........................................................................................25
1.2.1. Функціональні простори.......................................................................25
1.2.2. База Ріса.................................................................................................28
1.2.3. Півгрупи.................................................................................................31
РОЗДІЛ 2. ЗАДАЧА ДІРІХЛЕ ДЛЯ ЗБУРЕНИХ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ .............................33
2.1. Задача Діріхле для незбуреного рівняння.......................................................34
2.2. Задача Діріхле для функціонально-диференціального збурення рівняння другого порядку.........................................................................................................39
2.2.1. спектральна задача для збуреного оператора...................................39
2.2.2. Існування та єдиність розв’язку збуреної задачі................................45
2.3.Задача Діріхле для диференціально-різницевого збурення диференціального рівняння ....................................................................................48
2.4. Задача Діріхле для збуреного диференціального рівняння спеціального вигляду .......................................................................................................................52
2.5.Задача Діріхле для абстрактного збурення диференціального рівняння......................................................................................................................57
ВИСНОВКИ ДО РОЗДІЛУ 2.................................................................................62
РОЗДІЛ 3. ЗАДАЧА ТИПУ ДІРІХЛЕ ДЛЯ ЗБУРЕНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНО-ОПЕРАТОРНИХ РІВНЯНЬ ПАРНОГО ПОРЯДКУ.................................................................................................................63
3.1. Крайова задача для диференціально-операторного рівняння другого
порядку.......................................................................................................................64
3.2. Крайова задача для збуреного диференціально-операторного
рівняння другого порядку.........................................................................................74
3.2.1. спектральна задача для збуреного оператора...................................74
3.2.2. Існування і єдиність розв’язку збуреної задачі..................................80
3.3. Крайова задача для незбуреного диференціально-операторного рівняння парного порядку.........................................................................................................82
3.4. Крайова задача для збуреного рівняння парного порядку..........................92
3.4.1. Спектральна задача для збуреного оператора..................................92
3.4.2. Умови існування та єдиності розв’язку збуреної задачі ...............103
ВИСНОВКИ ДО РОЗДІЛУ 3...............................................................................105
РОЗДІЛ 4. ЗАДАЧА ДІРІХЛЕ ДЛЯ ЗБУРЕНИХ ЕЛІПТИЧНИХ РІВНЯНЬ.................................................................................................................106
4.1. Задача Діріхле для незбуреного еліптичного рівняння.............................107
4.2. Задача Діріхле для збуреного за виділеною змінною еліптичного рівняння....................................................................................................................117
4.2.1. спектральна задача для збуреного оператора..................................117
4.2.2. Однозначна розв’язність збуреної задачі..........................................125
4.2.3. Задача Діріхле для збуреного за двома змінними еліптичного рівняння. Спектральна задача................................................................................131
4.2.4. Однозначна розв’язність збуреної задачі.........................................136
ВИСНОВКИ ДО РОЗДІЛУ 4...............................................................................140
ВИСНОВКИ............................................................................................................141
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ...........................................................143

ПЕРЕЛІК УМОВНИХ ПОЗНАЧЕНЬ
Нехай відповідно множини натуральних, цілих, дійсних та комплексних чисел;
− множина всіх точок відповідно з цілими додатними координатами та з цілими координатами;
− множина всіх точок відповідно з цілими невід'ємними координатами;
− множина точок з невід'ємними координатами;
− підмножина з властивістю ;
− відрізок;
− інтервал, ;
− довільна точка з простору ;
;;;
;
− символ Кронекера;
− банахів простір лінійних неперервних операторів з в , .

ВСТУП

Актуальність теми. Коректність крайових задач для диференціальних рівнянь класичних типів, операторне представлення яких має вигляд
, (*)
вивчалася багатьма вченими. Зокрема, коректність крайових задач для загальних диференціальних та диференціально-операторних задач вивчалася у роботах Горбачука М.Л., Дезіна М.Л., Мамедова К.С., Нахушева А.М.,
Скубачевського А.Л., Романко В.К., Хермандера Л., Якубова С.Я. та інших авторів.
Дисертаційна робота присвячена дослідженню задач вигляду
, (**)
де − оператор задачі (*) (незбурений оператор) з точковим спектром, а − функціонально-диференціальний оператор (його називатимемо збуренням оператора ), при умові, що оператори і є ізоспектральні (точковий спектр оператора співпадає з точковим спектром оператора , а його система власних функцій є повною та мінімальною) та подібні (називатимемо збуреним оператором).
Ізоспектральність диференціальних операторів є важливим об’єктом досліджень в обернених задачах спектральної геометрії, зокрема в роботах
Берард П. (Berard P.), а також при вивченні задачі Каца, має важливе застосування для аналізу проблем теплопровідності та хвильових процесів.
Проблему еквівалентності (подібності) диференціальних та інтегральних операторів Вольтера вивчали Дельсарт Ж., Левітан Б.М., Марченко В.А. та інші.
Фаге М.К. та Нагнибіда Н.І. досліджували питання еквівалентності для звичай-них лінійних диференціальних операторів довільного порядку. Баскаков А.Г.
розробив абстрактний підхід при дослідженні подібності для деяких класів необмежених операторів. Оператори перетворення, які виникають з означення подібних операторів, відіграють важливу роль при застосуванні методів оберненої задачі теорії розсіювання.
Крайові задачі для диференціально-різницевих та функціонально-диференціальних рівнянь зі стиском та розтягом аргументу досліджували
Скрябін М.А., Скубачевський А.Л., Росовський Л.І., Шамін Р.В. та інші.
У роботах Ільїна В.А., Іонкіна Н.І., Самарської Т.А., Каленюка П.І.,
Баранецького Я.О. досліджувались нелокальні задачі для диференціально-операторних рівнянь та рівнянь із частинними похідними з кратним спектром та системою власних та приєднаних функцій, яка містить злічену множину приєднаних. На відміну від інших, Каленюк П.І. та Баранецький Я.О. розглядали оператори цих задач як ізоспектральні збурення (за рахунок зміни крайових умов) операторів відповідних періодичних та нелокальних багатоточкових задач, властивості яких були добре вивчені. Ними встановлено умови існування та єдиності розв’язку таких задач, а також вивчено спектральні властивості відповідних операторів. У подальших роботах Баранецького Я.О. за допомогою цього ж методу досліджено збурені задачі типу Діріхле (за рахунок зміни крайових умов) для лінійних еліптичних та гіпоеліптичних диференціальних рівнянь з частинними похідними та диференціально-операторних рівнянь (з точковим спектром), що залишали незмінним спектр, повноту та мінімальність системи власних функцій вихідної задачі. Також цей метод можна використовувати для дослідження крайової задачі, де збурюється рівняння, а крайові умови залишаються незмінними. Баранецький Я.О. дослідив збурену задачу Діріхле (**), де − оператор Лапласа, − диференціальний оператор безмежного порядку.
Виявилося, що в межах цього методу не існує диференціальних операторів скінченного порядку, які залишають незмінним точковий спектр, повноту та мінімальність системи власних функцій оператора задачі Діріхле. Природно виникла проблема побудови та аналізу ізоспектральних збурень лінійних диференціальних рівнянь диференціально-функціональними операторами та дослідження властивостей розв’язків задачі типу Діріхле для цих рівнянь. Тому тематика дисертаційної роботи є актуальною і знаходиться в руслі досліджень спектральної теорії диференціальних операторів та теорії крайових задач для диференціальних та диференціально-операторних рівнянь.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами.
Тематика дисертації пов’язана із науковими дослідженнями кафедри обчислювальної математики та програмування Національного університету «Львівська політехніка». ЇЇ результати включено в наукові звіти про виконання державної теми «Якісні та кількісні методи розв’язування некласичних прикладних задач математичної фізики »(номер держреєстрації 0105U000600 ).
Мета і задачі дослідження. Мета дисертаційної роботи полягає у побудові операторів збурень лінійних диференціальних рівнянь парного порядку крайових задач типу Діріхле, що залишають незмінним точковий спектр, повноту, мінімальність системи власних функцій, а також дослідженні властивостей розв’язків задач, отриманих у результаті збурення.
Задачі дослідження:
¾ побудувати класи операторів збурень, що є ізоспектральними до операторів задачі типу Діріхле для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку, диференціально-операторних рівнянь парного порядку та еліптичних рівнянь другого порядку;
¾ вивчити спектральні властивості операторів збурених задач;
¾ побудувати розв’язки цих задач;
¾ дослідити умови єдиності розв’язків збурених задач.
Об’єкт дослідження: крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку, диференціально-операторних рівнянь парного порядку, диференціальних рівнянь із частинними похідними еліптичного типу другого порядку.
Предмет дослідження: спектральні властивості та властивості розв’язків крайових задач для певних класів лінійних диференціальних рівнянь, що мають однаковий спектр, а системи власних функцій є повними та мінімальними.
Методи дослідження: У дисертації використано результати та методи теорії звичайних диференціальних рівнянь, диференціально-операторних рівнянь, рівнянь із частинними похідними, лінійної алгебри та функціонального аналізу.
При побудові явних формул для розв’язків крайових задач використовується метод відокремлення змінних (метод Фур’є).
Наукова новизна отриманих результатів. У дисертаційній роботі вперше отримані такі результати:
1. Побудовано класи збурених операторів задачі типу Діріхле для
(1) звичайних диференціальних рівнянь другого порядку,
(2) диференціально-операторних рівнянь парного порядку,
(3) еліптичних рівнянь другого порядку,
що залишають незмінним точковий спектр, повноту та мінімальність системи власних функцій.
2. В явному вигляді отримано власні функції збурених операторів та елементи біортогональних систем.
3. Доведено базисність Ріса систем власних функцій операторів збурених задач.
4. Встановлено подібність операторів відповідно збурених і незбурених задач.
5. Доведено єдиність розв’язків збурених задач. Отримано їх зображення та оцінки.
Практичне значення отриманих результатів. Результати дисертаційної роботи носять теоретичний характер. Їх можна використати при розв’язуванні конкретних задач практики, які моделюються розглянутими в дисертаційній роботі задачами.
Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної роботи одержані автором самостійно. У спільній роботі [7] науковому керівнику П.І. Каленюку належить постановка задачі, передбачення результатів та аналіз отриманих результатів. У спільних роботах [9, 10] методика досліджень належить Я.О. Баранецькому, а формулювання і доведення теорем автору дисертації.
Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались та обговорювались на: Математичному семінарі кафедри обчислювальної математики та програмування Національного університету «Львівська політехніка» (керівник проф. П.І. Каленюк); Львівському міському семінарі з диференціальних рівнянь (керівники проф. М.І. Іванчов,
проф. П.І. Каленюк, чл.-кор. НАН України Б.Й. Пташник); VII міжнародній наукової конференції ім. акад. Кравчука (1998р., м. Київ ); Міжнародній науковій конференції «Диференціальні та інтегральні рівняння (2000р., Одеса); International Conference on Functional Analysis and its Applications (2002, Lviv); Міжнародній науковій конференції «Шості Боголюбовські читання » (2003р., м. Чернівці); Міжнародній науковій конференції ім. В.Я. Скоробагатька (2004р., м. Дрогобич); Одинадцятій міжнародній науковій конференції імені акад. М. Кравчука (2006р., м. Київ ); Міжнародній науковій конференції «Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування» (2006р., м. Ужгород); Міжнародній науковій конференції «Диференціальні рівняння та їх застосування» (2006р., м. Чернівці ).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у 5 статтях [7, 9, 10, 57, 58] у фахових періодичних виданнях, що входять до переліку ВАК України та додатково висвітлено у 8 тезах доповідей наукових конференцій [8, 11−13, 59−61, 65].

Список литературы

ВИСНОВКИ
Дисертаційну роботу присвячено дослідженню задач типу Діріхле для збурених лінійних диференціальних рівнянь певних класів, диференціально-функціональними операторами, що є ізоспектральними до крайових задач, властивості яких є добре вивчені. Основні результати дисертації розширюють та доповнюють відомі результати, щодо крайових задач для функціонально-диференціальних рівнянь, теорії ізоспектральності та подібності лінійних необмежених операторів.
1. Побудовано класи операторів функціонально-диференціальних та диференціально-різницевих збурень, що є ізоспектральними до оператора задачі Діріхле для звичайного диференціального рівняння другого порядку. Вивчено спектральні властивості збурених задач. В явному вигляді знайдено власні функції цих задач. Доведено базисність Ріса отриманих систем. У випадку функціонально-диференціального збурення встановлено однозначну розв’язність задачі Діріхле, а також оцінку зверху отриманого розв’язку.
2. Досліджено випадок ізоспектрального збурення оператора задачі Діріхле, система власних функцій якої не є базою Ріса.
3. Виділено та вивчено клас операторів подібних оператору незбуреної задачі.
4. Побудовано клас операторів збурень, що є ізоспектральними до оператора задачі типу Діріхле для диференціально-операторного рівняння парного порядку. Вивчено спектральні властивості збуреної задачі. В явному вигляді знайдено власні функції цієї задачі та елементи біортогональної системи.
Виділено клас операторів збурень для якого система власних функцій задачі типу Діріхле буде базою Ріса в просторі вектор-функцій.
5. Встановлено умови існування та єдиності розв’язку збуреної задачі та оцінку зверху отриманого розв’язку.
6. Побудовано класи операторів збурень за виділеною змінною та за двома змінніми, що є ізоспектральними до оператора задачі Діріхле для еліптичного рівняння другого порядку. Знайдено в явному вигляді власні функції операторів збурених задач. Доведено базисність Ріса систем власних функцій збурених операторів.
7. У випадку збурення за виділеною змінною, встановлено однозначну розв’язність збуреної задачі та оцінку зверху отриманого розв’язку. У випадку збурення за двома змінними, використовуючи базисність Ріса, розв’язок напіводнорідної задачі побудований у вигляді ряду за власними функціями, а також встановлено двосторонні оцінки цього розв’язку. На основі цих оцінок доведено однозначну розв’язність збуреної задачі.
Робота носить теоретичний характер. ЇЇ результати можна використати для дослідження обернених задач спектральної геометрії, аналізу деяких проблем теплопровідності та хвильових процесів.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Алиев Б.А., Алиев И.В. Полнота системы корневых функций краевых задач элиптических уравнений с краевыми условиями типа Бисадзе-Самарского // Сиб. мат. журнал. - 2000. т.41, №3. - С.489-497.
2. Антоневич А.Б. Линейные функциональные уравнения: Операторный подход. - Минск.: Университетское, 1988. 232 с.
3. Баранецький Я.О. Подібні оператори, породжені нелокальними задачами для еліптичних рівнянь другого порядку // Укр. мат. журн.- 1992. т.44, №9. - С.1174-1181.
4. Баранецький Я.О. Нелокальна задача з однаковим спектром для еліптичних рівнянь вищого порядку // Доповіді НАН України. 1995. - №7. - С. 5-8.
5. Баранецький Я.О. Про існування ізоспектральних збурень задачі Діріхле для рівняння Пуассона диференціальними операторами безмежного порядку
// Вісник ДУ «Львівська політехніка». Прикладна математика. - 1997. - №320. - С.15-18.
6. Баранецький Я.О., Дідух В.Й., Каленюк П.І. Крайові задачі з однаковим спектром для лінійних диференціальних рівнянь на скінченому інтервалі
// Вісник ДУ «Львівська політехніка». Прикладна математика. - 1996. -№289. -С.3-7.
7. Баранецький Я.О., Каленюк П.І., Ярка У.Б. Збурення крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку // Вісник ДУ «Львівська політехніка». Прикладна математика. - 1998. - №337. - С.70-73.
8. Баранецький Я., Каленюк П., Ярка У. Спектральні властивості для функціонально-диференціального рівняння // VII Міжнар. наук. конф. ім. акад. М.Кравчука. Тези доповідей. - Київ. - 1998. - С. 33.
9. Баранецький Я.О., Ярка У.Б. Про один клас крайових задач для диференціально-операторних рівнянь парного порядку // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 1999. - 42, №4. - С.1-6.
10. Баранецький Я.О., Ярка У.Б. Про один клас крайових задач для інтегро-диференціальних рівнянь // Вісник ДУ «Львівська політехніка». Прикладна математика. - 1999. - № 364. - С. 310-315.
11. Баранецкий Я.О., Каленюк П.И., Копчук-Кашецкий А.В., Ярка У.Б. Нелокальные эллиптические краевые задачи с одинаковым спектром // Міжнар. наук. конф. «Диференціальні та інтегральні рівняння». Тези доповідей.- Одеса: АстроПринт.- 2000.- С. 22-23.
12. Баранецький Я.О., Ярка У.Б. Ізоспектральні збурення оператора задачі Діріхле для звичайного диференціального рівняння II порядку // Міжнар. наук. конф. «Диференціальні рівняння та їх застосування ». Тези доповідей. - Чернівці. - 2006. - С.10.
13. Баранецький Я.О., Ярка У.Б. Диференціально-різницеві збурення задачі Діріхле для звичайного диференціального рівняння II порядку // Міжнар. наук. конф. «Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування ». Тези доповідей. - Ужгород. - 2006. - С.8-9.
14. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов: Учебное пособие. - Вор.: Изд-во ВГУ, 1987. - 164 с.
15. Бассотти Л. Линейные операторы, Т инвариантные относительно некоторой группы гомеоморфизмов // Успехи мат. наук. 1988. - Т.43, вып.1(259), -C.58-85.
16. Бицадзе А.В, Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических задач // Докл. АН СССР. - 1969. - 185, №4. - С. 739-740.
17. Бушмакін В.М. Деякі крайові задачі для диференціально-операторних рівнянь з кратним спектром: Автореф. дисертації ... канд. фіз.-мат. наук.-Львів, 1997. - 20 с.
18. Власов В.В. Спектральные задачи, возникающие в теории дифференциальных уравнений с запаздыванием // Современная математика. Фундаментальные направления. Том 1. 2003 .- С. 69-83.
19. Горбачук В.И., Горбачук М.Л. Граничные задачи для диференциально-операторных уравнений. - Киев: Наук.думка, 1984.-284 с.
20. Горбачук В.И., Горбачук М.Л. Некоторые вопросы спектральной теории дифференциальных уравнений эллиптического типа в пространстве вектор-функций // Укр. мат. журн. - 1976. - 28, №3. - С. 313-324.
21. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965. - 448 с.
22. Дантфорт Н., Шварц Дж. Линейные операторы: Спектральная теория. - М.: Мир, 1966. - 1063 с.
23. Дезин А.А. Об операторных уравнениях второго порядка // Сиб. матем. журнал. - 1978. - 19, №5.- С. 1032-1042.
24. Дубинский Ю.А. О некоторых дифференциально-операторных уравнениях произвольного порядка // Матем. сборник. - 1973. - 90, №1. - С. 3-22.
25. Ильин В.А. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединненных функций дифференциальных операторов второго порядка // Докл. АН СССР. - 1983. - 273, №5. - С. 1040-1043.
26. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи в теории теплопроводности с нелокальными краевыми условиями // Дифференц. уравнения. - 1977. - 13, №2. - С. 294-394.
27. Ионкин Н.И. Об устойчивости одной краевой задачи теории теплопроводности с нелокальными краевыми условиями // Дифференц. уравнения. - 1979. - 15, №7. - С. 1279-1283.
28. Каленюк П.И., Баранецький Я.Е., Нитребич З.Н. Обобщённый метод разделения переменых. - К.: Наук. думка, 1993. -232 с.
29. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом простра- нстве. - М.:Наука, 1967. - 464 с.
30. Лионс Ж.Л., Мадженес. Неоднородные граничные задачи и их преложения. -М.: Мир, 1971. - 372 с.
31. Ломовцев Ф.Е. Разрешимость граничных задач для некоторых дифференциально-операторных уравнений четного порядка // Дифференц. уравнения. 1980. - 16, №9. - С. 1581-1586.
32. Мамедов К.С. Асимптотика функций распределения собственных чисел абстрактного дифференциального оператора // Матем. заметки. - 1982. ЗІ , №І. - С.41-51.
33. Михайлец В.А. Граничные задачи для операторного уравнения Штурма-Лиувилля с полной системой собственных и присоединенных функций // Дифференц. уравнения. - 1975. -II, №9. - С. 1595-1600.
34. Мышкис А.Д. Смешанные функционально-дифференциальные уравнения // Современная математика. Фундаментальные направления. Том 4.2003.
С.5-120.
35. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы.- М.: Наука, 1969.
- 326 с.
36. Расулов М.Л. Применение метода контурного интеграла к решению задач для параболических систем второго порядка.- М.: Наука, 1975. 255 с.
37. Рахимов М.О. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций несамосопряженных операторов // Дифференц. уравнения. - 1986. - 22, №1. - С. 94-103.
38. Рахимов М.О. О базисности Рисса систем собственных и присоединенных элементов дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами // Докл. АН СССР. - 1987. -293, №3. - С. 538-540.
39. Романко В.К. К теории операторов вида // Дифференц. уравнения.-1967. - С.1957-1970.
40. Романко В.К. Граничные задачи для некоторых дифференциально-операторных уравнений // Докл. АН СССР. - 1976. - 227, №4. - С. 812-816.
41. Романко В.К. Однозначная разрешимость граничных задач для некоторых дифференциально-операторных уравнений // Дифференц. уравнения. - 1977. - 13, №2. - С.324-335.
42. Романко В.К. Разрешимость граничных задач для дифференциально-операторных уравнений высокого порядка // Дифференц. уравнения. - 1978. - 14, №6. - С. 1081-1092.
43. Романко В.К. О задачах сопряжения для некоторых уравнений в частных производных // Докл. АН СССР. - 1979. - 244, №4. - С. 831-835.
44. Романко В.К. Задачи о сопряжении дифференциально-операторных уравнений // Дифференц. уравнения. - 1980. - 16, №1. - С. 124-134.
45. Седлецкий А.М. Биортогональные разложения функций в ряд экспонент на интервале вещественной оси // Успехи матем. наук.- 1982. 37, №5. С. 51-95.
46. Скрябин М.Я. Нелокальные эллиптические задачи в двугранных углах и функционально-дифференциальные уравнения // Современная математика. Фундаментальные направления. Том 4. 2003. - С.121-143
47. Трибель Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. - М.: Мир, 1980. - 664 с.
48. Успенский С.В., Демиденко Г.В, Перепелкин В.Г. Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям. Новосибирск: Наука, 1984. 223 с.
49. Фаге М.К., Нагнибида Н.И. Проблема эквивалентности обыкновенных линейных дифференциальных операторов. Новосибирск: Наука, 1987.
- 278 с.
50. Ханмамедов Аг.Х. Операторы преобразования для возмущенного разностного уравнения Хилла и их одно приложение // Сиб. матем. журнал.- 2003. т. 44, №4.- С.926-937.
51. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 2. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. М.: Мир, 1986 . - 456 с.
52. Шамин Р.В. Нелокальные параболические задачи: Автореф. дисертации... канд. физ.-мат. наук.- Москва, 2002. - 19 с.
53. Шкаликов А.А. О базисности собственных функций обыкновенного дифференциального оператора // Успехи матем. наук. 1979.- 34, №5. - С. 235-236.
54. Якубов С.Я. Линейные диференциально-операторные уравнения и их преложения.- Баку: Элм, 1985. - 189 с.
55. Якубов С.Я., Алиев Б.А. Фредгольмовость краевой задачи с операторами в краевых условиях для эллиптического дифференциально-операторного уравнения второго порядка // Докл. АН СССР. - 1981. - 257, №5. - С. 1071-1074.
56. Якубов С.Я., Мамедов К.С. Полнота собственных и присоединенных функций некоторых нерегулярных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений // Функ. анализ и его прилож. - 1980. -14, №4. - С.93-94.
57. Ярка У. Спектральні властивості граничної задачі для абстрактного диференціального рівняння // Вісн. Львів.ун-ту, сер.мех. мат. 2000. вип.56. -С.185-192.
58. Ярка У.Б. Про один клас крайових задач для диференціально-фукціональних рівнянь еліптичного типу ізоспектральних задачі Діріхле для рівняння Пуассона // Вісн.Чернівецького ун-ту, сер. Математика 2004. вип.191-192 .-С.146-150.
59. Ярка У.Б. Існування та єдиність розв’язку крайової задачі для диференціально-операторного рівняння парного порядку // Міжнар. наук. конф. ім. В. Я. Скоробагатька. Тези доповідей. - Львів. - 2004.- C. 240.
60. Ярка У.Б. Абстрактні збурення диференціального оператора задачі Діріхле // XI Міжнар. наук. конф. ім. академіка М.Кравчука. Тези доповідей. Київ. -2006.- С.668.
61. Ярка У.Б, Баранецький Я.О. Ізоспектральність одного класу крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними в обмеженій області // Міжнар. наук. конф. «Шості Боголюбовські читання ». Тези доповідей. - Київ. -2003. - С.256.
62. Aibeche A. Coerciveness inequality for nonlocal boundary value problems for second order abstract elliptic differential equations // Journal Ineq. and Appl. Math. - 2003. Vol.4 (2). - Art.43. - P.80-109.
63. Aimi A., Bassotti L., Diligenti M. Groups of congruences and restriction matrices. // BIT. - № 4. - 2003. - P.671-693.
64. Aimi A., Bassotti L., Diligenti M. Analysis of algorithms for the parallel solutions of boundary value problems of elliptic type. // Riv. Mat. Univ. Parma. - Vol. (6) 3. - 2000. - P.219-244.
65. Baranetskij Ya., Yarka U. Solution of boundary value problems for abstract differential equations // International Conference on Functional Analysis and its Applications. Book of abstracts. - Lviv. - 2002. - P. 29.
66. Bassotti L. Sottospazi invarianti per operatori differenziali lineari a coefficienti constanti // Rendiconti del Circolo matematico di Palermo. - Vol.22. - 1973. - P.157-184.
67. Kamenskii G. A., Myshkis A. D. In the mixed type functional differential equation // Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. - Vol.30, №5. - 1997. - P. 2577-2584.

68. Rossovskii L.E., Skubachevskii A.L. Solvability and regularity of solutions for some classes of elliptic functional- differential equations.// Journal of Mathematical ciences. - Vol.104. - № 2. - 2001. - P.1008-1011.