Жучок Юрій Володимирович. Напівгрупи ендоморфізмів алгебраїчних систем

Краткое описание

Жучок Юрій Володимирович. Назва дисертаційної роботи: "Напівгрупи ендоморфізмів алгебраїчних систем"

Міністерство освіти і науки України
Київський національний університет імені Тараса Шевченка
На правах рукопису
ЖУЧОК ЮРІЙ ВОЛОДИМИРОВИЧ
УДК 512.53, 512.579
НАПІВГРУПИ ЕНДОМОРФІЗМІВ
АЛГЕБРАЇЧНИХ СИСТЕМ
01.01.06 – алгебра і теорія чисел
Дисертація
на здобуття наукового ступеня доктора
фізико-математичних наук
Науковий консультант –
Кириченко Володимир Васильович,
доктор фізико-математичних наук,
професор
Київ – 2016
2
ЗМІСТ
ВСТУП 6
РОЗДІЛ 1. ПОПЕРЕДНІ ВІДОМОСТІ 41
1.1. Загальні поняття та позначення……………………………….. 41
1.2. Напівгрупи ендоморфізмів алгебраїчних систем……………. 44
1.2.1. Ендоморфізми алгебраїчних систем…………………. 45
1.2.2. Деякі узагальнення ендоморфізму…………………… 49
1.3. Графи, гіперграфи та їх ендоморфізми……………………….. 51
1.3.1. Графи та гіперграфи………………………………….... 51
1.3.2. Типи ендоморфізмів………………………………….... 53
1.4. Вінцеві добутки………………………………………………… 55
1.4.1. Добуток моноїда з малою категорією………………… 56
1.4.2. Добуток симетричної групи з довільною групою…… 58
1.5. Основні структури Лоде…...…………………………………… 59
1.5.1. Дімоноїди………………………………………………. 59
1.5.2. Дігрупи…………………………………………………. 61
1.5.3. Тріоїди………………………………………………….. 63
Висновки до розділу 1………………………………………............ 65
РОЗДІЛ 2. НАПІВГРУПИ ЕНДОМОРФІЗМІВ РЕЛЯЦІЙНИХ
СИСТЕМ 66
2.1. Напівгрупи ендоморфізмів бінарних відношень……………... 66
2.1.1. Ендоморфізми відношень еквівалентності…………... 67
2.1.2. Ендоморфізми 2-нільпотентних відношень………….. 73
2.2. Моноїди сильних ендоморфізмів нескінченних графів……… 81
2.2.1. Клас графів
G
та сильні ендоморфізми………………. 81
2.2.2. Зображення моноїда сильних ендоморфізмів………... 84
3
2.3. Сильні ендоморфізми
n -однорідних гіперграфів……….......... 86
2.3.1. Властивості
n -однорідних гіперграфів……………..... 86
2.3.2. Сильні ендоморфізми скінченних гіперграфів………. 90
2.3.3. Випадок нескінченних
n -однорідних гіперграфів…... 95
2.3.4. Визначеність гіперграфів сильними ендоморфізмами. 98
2.4. Зображення моноїдів ендоморфізмів незв’язних гіперграфів.. 102
2.4.1. Напівгрупи ендоморфізмів……………………………. 102
2.4.2. Моноїди сильних ендоморфізмів……………………... 106
2.4.3. Групи автоморфізмів…………………………………... 108
Висновки до розділу 2.……………………………………………… 113
РОЗДІЛ 3. ВІДПОВІДНОСТІ НАПІВГРУПИ ЕНДОМОРФІЗМІВ
ВІДНОШЕННЯ ЕКВІВАЛЕНТНОСТІ 115
3.1. Відповідності напівгрупи ендоморфізмів еквівалентності…... 116
3.2. Ендотипи відношень еквівалентності…………………………. 126
3.3. Регулярність та корегулярність відповідностей……………… 129
3.4. Ізоморфізми напівгруп ендотопізмів еквівалентностей.…….. 138
3.5. Зображення відповідностей…………………………….…….... 140
3.5.1. Напівгрупи ендотопізмів.……………………………… 141
3.5.2. Моноїди сильних ендотопізмів ……………………..... 144
3.5.3. Групи автотопізмів…………………………………….. 146
Висновки до розділу 3.……………………………………………… 150
РОЗДІЛ 4. ТЕОРЕТИКО-НАПІВГРУПОВІ КОНСТРУКЦІЇ ТА
ЕНДОМОРФІЗМИ 151
4.1. Ендоморфізми вільних добутків напівгруп заданого класу…. 152
4.1.1. Скінченні напівгрупи.…………………………………. 152
4.1.2. w-класи напівгруп……………………………………... 156
4.2. Моноїди ендоморфізмів напіврешіток напівгруп…………….. 163
4
4.3. 0-сполуки напівгруп з нулем.....…...…...……………………… 167
4.3.1. Ортогональні суми напівгруп…...…………………….. 168
4.3.2. Ліві, праві та прямокутні суми напівгруп……………... 174
4.4. Зрізи відношень Гріна симетричної інверсної 0-категорії…… 180
4.4.1. Симетрична інверсна 0-категорія
X
IC ……………….. 181
4.4.2. -зрізи напівгрупи
X
IC ………………………………. 184
4.4.3. - і -зрізи напівгрупи
X
IC ……………………........ 189
4.4.4. Класифікація зрізів з точністю до ізоморфізму……… 192
Висновки до розділу 4.……………………………………………… 196
РОЗДІЛ 5. НАПІВГРУПИ ЕНДОМОРФІЗМІВ ВІЛЬНИХ
ДІМОНОЇДІВ 197
5.1. Ендоморфізми вільних моногенних дімоноїдів……………… 198
5.1.1. Вільні дімоноїди……………………………………….. 198
5.1.2. Ендоморфізми вільного дімоноїда рангу 1………..…. 200
5.1.3. Абстрактні характеристики моноїда ендоморфізмів... 202
5.2. Вільні абелеві дімоноїди……………………………………….. 206
5.2.1. Абелеві дімоноїди та їх приклади…………………….. 206
5.2.2. Вільний абелевий дімоноїд……………………………. 210
5.2.3. Найменша абелева конгруенція………………………. 213
5.2.4. Проблема визначеності………………………………... 216
5.3. Автоморфізми категорії вільних комутативних дімоноїдів…. 218
5.3.1. Вільний комутативний дімоноїд
FCX ………………... 218
5.3.2. Ізоморфізми вільних комутативних дімоноїдів……… 219
5.3.3. Автоморфізми моноїда
( ),| |=1 End X FCX …………… 223
5.3.4. Група автоморфізмів моноїда
( ),| | 2 End X FCX  ……. 227
Висновки до розділу 5.……………………………………………… 233
5
РОЗДІЛ 6. УЗАГАЛЬНЕНІ ДІМОНОЇДИ ТА ДІГРУПИ 235
6.1. Моноїди ендоморфізмів вільних комутативних
g -дімоноїдів 236
6.1.1. Вільний комутативний
g -дімоноїд
g FCDX ……...…… 236
6.1.2. Автоморфізми моноїда
( ),| | =1 g End X FCDX ……….… 241
6.1.3. Група автоморфізмів моноїда
( ),| | 2 g End X FCDX  ….. 245
6.2. Упорядковані дімоноїди та їх зображення……………………. 250
6.2.1. Упорядковані дімоноїди…………...................……….. 251
6.2.2. Дімоноїд бінарних відношень………………………… 253
6.2.3. Зображення упорядкованих дімоноїдів…………..…... 259
6.3. Про деякі класи дігруп…………………………………………. 265
6.3.1. Дігрупи
1 ………………………………………………... 265
6.3.2. Дігрупи
2 ………………………………………………... 271
6.3.3. Абелева дігрупа
( ( ), , ) Dig X ....................................... 274
6.3.4. Eндоморфізми дігрупи
( ( ), , ), | | =1 Dig X X ……….. 281
Висновки до розділу 6………………………………………………. 288
РОЗДІЛ 7. НАПІВГРУПИ ЕНДОМОРФІЗМІВ ВІЛЬНИХ
ТРІОЇДІВ 290
7.1. Конструкція вільного тріоїда…………………………………... 291
7.2. Ендоморфізми вільного тріоїда рангу 1………………………. 295
7.3. Абстрактні характеристики моноїда ендоморфізмів………… 299
7.4. Проблема визначеності тріоїдів ендоморфізмами…………… 300
Висновки до розділу 7………………………………………………. 302
ВИСНОВКИ 303
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ 306
6
ВСТУП
Актуальність теми. Похідні структури є одним з класичних інструментів
дослідження будови і класифікації алгебраїчних систем. Початок дослідження
таких структур, які однозначно визначаються заданою системою та містять
суттєву інформацію про її загальні властивості, відносять до XIX ст. і
пов’язують з працями видатного математика Е. Галуа. До найбільш поширених
похідних структур алгебраїчних систем традиційно належать групи
автоморфізмів, напівгрупи ендоморфізмів, решітки підалгебр і решітки
конгруенцій. В окремих випадках розглядаються й інші похідні структури,
пов’язані певним чином з алгебраїчними системами: для графів і гіперграфів —
це напівгрупи перетворень, для кілець і полів — матричні алгебри над ними,
для універсальних алгебр — решітки часткових порядків, напівгрупи
відповідностей, моноїди внутрішніх ізоморфізмів тощо. У цьому напрямі існує
багато різноманітних робіт, серед яких як зразок можна виділити, наприклад,
праці Р. Бера [1], Ж. Лаллемана [2], Б. І. Плоткіна [3], А. І. Мальцева [4],
Л. Н. Шеврина й А. Я. Овсяннікова [5] та ін.
Похідні структури крім того, що дозволяють досить ефективно вивчати
алгебраїчні системи, ще й плідно пов’язують різні математичні теорії. Добре
відомо, що напівгрупи неперервних лінійних операторів банахових просторів
мають широкі застосування у функціональному аналізі [6]. Основна теорема
теорії Галуа в термінах решіток підалгебр встановлює зв’язки між теорією груп
і теорією полів. За допомогою певних структур, що асоціюються з автоматною
групою, В. В. Некрашевичем [7] знайдений фундаментальний зв’язок мiж
теорією автоматів, фрактальною геометрiєю та комплексною динамiкою. Тісні
зв’язки між загальною алгеброю та універсальною алгебраїчною геометрією
виникають при дослідженні алгебраїчної геометрії многовидів алгебр [8].
Особливе місце серед похідних структур займають насамперед ті
структури, елементами яких є перетворення заданих алгебраїчних систем —
напівгрупи, групи й кільця перетворень. Природно виникає питання про
7
найбільш прості за своєю будовою похідні структури, які можуть вичерпним
чином охарактеризувати задану систему. З точки зору аксіоматики такими
об’єктами є саме напівгрупи. До того ж, множина всіх перетворень будь-якої
алгебраїчної системи, що зберігають задані в ній операції та відношення,
утворює в загальному випадку відносно композиції перетворень лише напівгрупу. Більшою мірою саме через перетворення здійснюються зв’язки теорії
напівгруп з іншими математичними теоріями. Сьогодні теорія напівгруп складає окремий потужний розділ загальної алгебри, який має власні методи досліджень, задачі та численні результати, а її окремим об’єктам присвячуються цілі
монографії [9]. Вивченню напівгруп перетворень та їх різних взаємозв’язків з
деякими новими математичними напрямами і присвячено цю роботу.
Основні алгебраїчні системи, що вивчаються в дисертаційній роботі, —
це графи й гіперграфи, теоретико-напівгрупові конструкції, дімоноїди та
тріоїди, а область наших досліджень — напівгрупи ендоморфізмів вказаних
систем. Напівгрупи ендоморфізмів алгебраїчних систем вивчали такі відомі
вчені, як Б. І. Плоткін, О. В. Міхальов, М. Петрич, Б. Стейнберг,
Г. Житомирський, Б. М. Шайн, Г. Машевицький, Е. Форманек, Л. М. Глускін,
Л. Б. Шнеперман, В. С. Мазорчук, В. О. Молчанов, І. Б. Кожухов, У. Кнауер,
В. М. Усенко та ін. Особлива увага при вивченні напівгруп ендоморфізмів
приділяється опису абстрактних характеристик, побудові точних зображень,
визначеності алгебраїчних систем їх ендоморфізмами, опису автоморфізмів
напівгруп ендоморфізмів вільних алгебр, дослідженню алгебраїчних та
комбінаторних властивостей тощо. Зупинимося на основних об’єктах роботи та
проблемах, які з ними виникають.
Дослідження графів та їх природних узагальнень — гіперграфів,
передусім пов’язані з вивченням напівгруп ендоморфізмів, тобто перетворень,
що зберігають відношення суміжності вершин. Певна увага в дисертації
приділена окремому типу перетворень, так званим сильним ендоморфізмам. Це
поняття було введено К. Чуліком [10] і пізніше вивчалося багатьма авторами,
наприклад, такими як С. Арворн, С. Ліратанавалі, У. Кнауер, М. Ніпорте,
8
У. А. Нуммерт, С. Фан і В. Лі. Зокрема, У. Кнауер і М. Ніпорте [11] довели, що
моноїд сильних ендоморфізмів скінченних неорієнтованих графів без кратних
ребер точно представляється у вигляді конструкції вінцевого добутку моноїда з
малою категорією, введеної В. Флейшером [12] як узагальнення вінцевого
добутку моноїдів. При цьому було показано, що моноїд сильних ендоморфізмів
є регулярним, а в нескінченному випадку обидва згаданих результата не виконуються. Цілком природно тут постають питання про опис точних зображень
моноїда сильних ендоморфізмів нескінченних графів та довільних гіперграфів і
дослідження умов регулярності вказаних моноїдів. У цьому напрямі актуальними є задачі класифікації з точністю до ізоморфізму напівгруп ендоморфізмів
змістовних класів реляційних систем, наприклад, таких як еквівалентності,
часткові порядки, нільпотентні відношення, (n-однорідні) гіперграфи тощо.
Іншою похідною структурою, що вивчається в цій роботі, є напівгрупа
відповідностей, введена О. Г. Курошем [13] для довільної алгебраїчної системи.
Відповідності досліджувались у багатьох областях математики: у теорії груп
[14 – 16] і теорії напівгруп [17 – 20], у теорії категорій [21, 22], у гомологічній
алгебрі, алгебраїчній топології та теорії зображень [23 – 25], а також у теорії
універсальних алгебр [26 – 28]. Зокрема, О. Г. Ганюшкін і Т. В. Турка [15]
вивчали напівгрупи відповідностей циклічних, діедральних і елементарних
абелевих скінченних груп. Д. А. Бредіхін [18] і С. М. Гоберстейн [19]
досліджували проблему визначеності нільнапівгруп і, відповідно, інверсних та
ортодоксальних напівгруп сполуками відповідностей. А. А. Іскандер [26, 27]
довів, що будь-яка компактно породжена решітка ізоморфна решітці всіх
відповідностей деякої універсальної алгебри, і дослідив зв’язки між решітками
підалгебр і решітками відповідностей часткових універсальних алгебр. Для
напівгруп ендоморфізмів певних реляційних систем тісно пов’язаним з
відповідністю є поняття ендотопізма, яке було введено Б. В. Поповим [29] як
узагальнення поняття ендоморфізма бінарних відношень на
 -арний випадок.
Особливий інтерес для досліджень викликають насамперед ті реляційні систе-
9
ми, напівгрупи ендотопізмів яких є відповідностями напівгрупи ендоморфізмів
заданої системи. Одним з прикладів таких систем є еквівалентності.
Поняття дімоноїда було введено Ж.-Л. Лоде [30] для вивчення
властивостей алгебр Лейбніца й наразі є стандартним інструментом досліджень
у цій теорії. Дімоноїд визначається як непорожня множина з двома бінарними
асоціативними операціями та , які задовольняють такі аксіоми:
( ) = ( ) x y z x y z , ( ) = ( ) x y z x y z , ( ) = ( ) x y z x y z . Перші
суттєві результати, які привернули увагу до дімоноїдів, — це побудова вільного
дімоноїда і вільної діалгебри та опис когомологій діалгебр [30]. Під діалгеброю
розуміють векторний простір з двома білінійними асоціативними операціями,
що задовольняють аксіоми дімоноїда. Це означає, що результати, отримані для
дімоноїдів, можуть бути використані при вивченні діалгебр. Як відомо, для
алгебр Лі існує універсальна обгортуюча алгебра, яка має структуру
асоціативної алгебри. Ж.-Л. Лоде розглянув поняття алгебри Лейбніца, яке
узагальнює алгебри Лі, й показав, що між алгебрами Лейбніца й діалгебрами,
які узагальнюють асоціативні алгебри, існують такі самі зв’язки, як між
алгебрами Лі та асоціативними алгебрами. Крім того, він довів, що для алгебр
Лейбніца універсальна обгортуюча алгебра має структуру діалгебри. Діалгебри
й дімоноїди вивчалися багатьма вченими, зокрема, такими як Р. Феліпе,
М. K. Кіньон, Л. А. Бокуть, П. С. Колесников, Дж. Сміт і К. Матчак, Ю. Чен,
В. Кац, О. П. Пожидаєв, А. В. Жучок та ін. Останнім часом кількість робіт з
теорії дімоноїдів стрімко зростає, при цьому значна увага приділена побудові
відносно вільних дімоноїдів та дослідженню їх факторизаційних властивостей
[31]. Для вільних об’єктів многовидів алгебр відомою актуальною задачею є
проблема Б. І. Плоткіна [32] про дослідження автоморфізмів категорій вільних
алгебр. У цьому напрямі існує низка робіт, присвячених опису автоморфізмів
напівгруп ендоморфізмів вільних скінченно породжених універсальних алгебр
деяких многовидів: груп [33], напівгруп і моноїдів [34], асоціативних алгебр
[35], інверсних напівгруп [36], модулів [37], алгебр Лі [38] та інших алгебр
(див., напр., [39]). Набуває розвитку вивчення деяких узагальнень дімоноїдів,
10
наприклад, дуплексів і g-дімоноїдів [40 – 42]. Нещодавно з’явилися перші
підсумки теорії дімоноїдів [43].
Важливим класом дімоноїдів є дігрупи, які виникли в теорії алгебр
Лейбніца при знаходженні аналога групи Лі для алгебри Лейбніца. Часткове
розв’язання цієї проблеми було отримано M. K. Кіньйоном [44] за допомогою
дігруп, які були запропоновані Ж.-Л. Лоде. Дігрупою називають дімоноїд
( , , ) G
, який має так звану бар-одиницю
1G
, тобто
1 1 xxx  
для всіх
x G
, і для кожного
x G
існує
1
x G  
такий, що
1 1
x x x x 1
 
  .
M. K. Кіньон модифікував термінологію Ж.-Л. Лоде і показав, використавши
теорію напівгруп, що кожна дігрупа є добутком групи та тривіальної дігрупи.
Д. Д. Філліпс [45] довів, що система аксіом дігрупи є незалежною і дещо
спростив її визначення. Аналог теореми Келі для класу дігруп був отриманий
K. Лю [46]. Крім того, дігрупи вивчались у роботах Ф. Онгея, Р. Веласкеза і
Л. Віллса-Торо, Р. Феліпе, К. Кромптон і Л. Скалісі та ін.
Існують різні зв’язки дімоноїдів, і зокрема, діалгебр з іншими алгебрами,
наприклад, алгебрами Рота-Бакстера, спрямованими алгебрами, триалгебрами
тощо. Поняття триалгебри виникло в працях Ж.-Л. Лоде і M. О. Ронко [47], які
побудували ці алгебри за допомогою операд, асоційованих з ланцюговими
модулями симплексів та політопій Сташеффа. Триалгебри, як відомо, є
лінійними аналогами тріоїдів. Нагадаємо, що непорожня множина з трьома
бінарними асоціативними операціями, що задовольняють ті ж аксіоми, що й
триалгебра, називається тріоїдом. Серед перших результатів про тріоїди є
побудова Ж.-Л. Лоде й M. O. Ронко [47] вільного об’єкта рангу 1 у многовиді
тріоїдів. Наразі з’явилася перша оглядова стаття, присвячена різним
властивостям тріоїдів [48]. Відмітимо, що тріоїди, дімоноїди й напівгрупи
природно пов’язані між собою: якщо операції дімоноїда або тріоїда збігаються,
то кожен із них перетворюється в напівгрупу. Якщо ж певні дві операції тріоїда
збігаються, то він перетворюється в дімоноїд. Подібний зв’язок мають і дігрупи
з групами, а саме: якщо дігрупові операції збігаються, то дігрупа перетворю-
11
ється в групу. Сьогодні структури Лоде є не достатньо вивченими й мають
багато відкритих питань, тому вони потребують найрізноманітних досліджень.
Представлена дисертація присвячена дослідженню властивостей моноїдів
ендоморфізмів гіперграфів, напівгруп, дімоноїдів, g-дімоноїдів та тріоїдів.
Автор розвиває нещодавно започатковані нові напрями досліджень — теорію
дімоноїдів і теорію тріоїдів.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота
виконана за програмами НДР „Застосування алгебро-геометричних методів у
теоріях груп, напівгруп, кілець, зображень до задач прикладної алгебри та
захисту інформації” (№ держреєстрації 0111U005264) та „Структурні
властивості алгебраїчних систем” (№ держреєстрації 0109U001772),
„Напівгрупи та структурні властивості дімоноїдів” (№ держреєстрації
0115U000199), що здійснювались у Київському національному університеті
імені Тараса Шевченка та Державному закладі «Луганський національний
університет імені Тараса Шевченка» відповідно.
Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є вивчення властивостей напівгруп ендоморфізмів графів і гіперграфів, теоретико-напівгрупових
конструкцій, дімоноїдів і g-дімоноїдів, дігруп та тріоїдів, а також класифікація
напівгруп ендоморфізмів заданих систем з точністю до ізоморфізму.
Основними задачами при цьому є:
 опис алгебраїчних та комбінаторних властивостей напівгруп ендоморфізмів заданих графів,
n -однорідних гіперграфів, вільних об’єктів у
деяких многовидах дімоноїдів, g-дімоноїдів й тріоїдів;
 класифікація напівгруп ендоморфізмів
n -однорідних гіперграфів,
незв’язних гіперграфів, напіврешіток напівгруп, вільних добутків
заданих напівгруп з точністю до ізоморфізму;
 характеризація відповідностей моноїда ендоморфізмів еквівалентності;
 побудова точних зображень упорядкованих дімоноїдів бінарними
відношеннями та нових класів дімоноїдів і дігруп;
12
 розв’язання проблеми Б. І. Плоткіна про опис автоморфізмів напівгруп
ендоморфізмів вільних алгебр для многовидів комутативних
дімоноїдів i комутативних g-дімоноїдів.
Об’єктом дослідження є графи та гіперграфи, теоретико-напівгрупові
конструкції, дімоноїди та g-дімоноїди, дігрупи та тріоїди.
Предметом дослідження є властивості напівгруп ендоморфізмів щойно
вказаних об’єктів дисертаційної роботи.
Методи дослідження — загальноалгебраїчні з використанням основних
методів теорії графів і гіперграфів, теорії напівгруп, теорії дімоноїдів і тріоїдів
та комбінаторного аналізу.
Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації автором
отримано такі нові результати:
1. Побудовано точні зображення для напівгруп ендоморфізмів відношень
еквівалентності та нільпотентних бінарних відношень; напівгрупи ендотопізмів, моноїда сильних ендотопізмів та групи автотопізмів еквівалентності;
моноїда сильних ендоморфізмів заданого класу неорієнтованих
n -однорідних
гіперграфів; напівгруп ендоморфізмів напіврешітки напівгруп, вільного добутку
скінченних напівгруп і вільного добутку напівгруп так званого
w-класу.
Ці результати розвивають результати У. Кнауера та М. Ніпорте про точне
зображення моноїда сильних ендоморфізмів скінченних неорієнтованих графів,
а також доповнюють результати У. Нуммерта, В. М. Усенка, О. М. Кізіменка
про зображення моноїда сильних ендоморфізмів узагальнених лексикографічних добутків графів, напівгруп ендоморфізмів вільних груп і, відповідно,
вільних добутків одноелементних напівгруп.
2. Доведено регулярність напівгрупи сильних ендоморфізмів скінченних
n -однорідних гіперграфів та досліджено умови корегулярності шести типів
відповідностей на напівгрупі ендоморфізмів еквівалентності.
Отримані результати розвивають та доповнюють описи У. Кнауера й
М. Ніпорте, Е. Вілкейта, С. Фана про регулярність напівгруп сильних ендо-
13
морфізмів неорієнтованих графів, а також Дж. Чваліни й К. Матоускової про
корегулярність напівгруп ендоморфізмів унарів.
3. Для відношень еквівалентності описано всі ендотопізми кожного з
наведених шести типів, знайдено всі можливі значення їх ендотипу відносно
ендотопізмів і класифіковано всі еквівалентності за ендотипом. Встановлено всі
ізоморфізми напівгруп ендотопізмів еквівалентностей.
Ці результати доповнюють опис М. Боттчера, У. Кнауера, Х. Хоу, К.Фана
й Ю. Луо, В. Ванг і Х. Хоу, Н. Піпаттанаджінди про ендотипи деяких скінченних графів, узагальнених полігонів, графів
N -призм,
( 3) n  -регулярних графів
порядку
n
, а також результати Л. М. Глускіна, Л. Б. Шнепермана, Дж. Арауджо
і Я. Конечни, Б. В. Попова про опис ізоморфізмів напівгруп ендоморфізмів
відношень квазіпорядку та певних рефлексивних, щільних і
 -арних відношень.
4. Знайдено універсальний об’єкт для класу 0-категорійних інверсних
напівгруп — симетричну інверсну 0-категорію, описано та класифіковано з
точністю до ізоморфізму всі її зрізи, що відповідають п’яти відношенням Гріна.
Описано групу автоморфізмів цієї 0-категорії в термінах вінцевих добутків.
Результати про зрізи є аналогами відомих результатів Д. Кована й
Н. Рейлі, В. Мазорчука й О. Г. Ганюшкіна, Г. Кудрявцевої, В. Мальцева й
В. Мазорчука, В. О. Пєхтєрєва, Є. О. Бондар про опис зрізів різних відношень
Гріна на симетричних (інверсних) напівгрупах.
5. Побудовано вільний об’єкт у многовиді абелевих дімоноїдів, найменшу
абелеву конгруенцію на вільному дімоноїді, нові приклади дімоноїдів та дігруп,
і зокрема, охарактеризовано абелеві дігрупи з однією бар-одиницею. Описано
всі ендоморфізми таких вільних моногенних алгебр, як дімоноїди, комутативні
дімоноїди, комутативні g-дімоноїди і тріоїди. Визначено напівгрупові
конструкції, які ізоморфні моноїдам ендоморфізмів цих вільних алгебр, та
отримано їх абстрактні характеристики. Доведено, що вільні (абелеві)
дімоноїди і вільні тріоїди з точністю до ізоморфізму визначаються
напівгрупами ендоморфізмів.
14
Ці результати розвивають та доповнюють описи Ж.-Л. Лоде та М. Ронко
вільного дімоноїда довільного рангу та вільного тріоїда рангу 1, результати
А. В. Жучка про відносно вільні дімоноїди (g-дімоноїди) та тріоїди, опис
Ю. Мовсисяна, С. Давидова й М. Сафаряна вільного g-дімоноїда, а також
результати П. С. Колесникова, О. П. Пожидаєва про многовиди діалгебр.
6. Введено поняття упорядкованого дімоноїда, побудовано дімоноїд
бінарних відношень і доведено, що кожний упорядкований дімоноїд ізоморфно
занурюється в упорядкований дімоноїд бінарних відношень. Описано точні
зображення упорядкованих дімоноїдів рефлексивними й транзитивними
бінарними відношеннями.
Ці описи узагальнюють результати К. А. Зарецького про зображення
впорядкованих напівгруп бінарними відношеннями, а також доповнюють
результат А. В. Жучка про зображення дімоноїдів перетвореннями.
7. Знайдено всі ізоморфізми напівгруп ендоморфізмів вільних комутативних дімоноїдів (комутативних g-дімоноїдів) і доведено, що всі автоморфізми
напівгрупи ендоморфізмів вільного комутативного дімоноїда (комутативного
g-дімоноїда) є квазівнутрішніми, а їх групи автоморфізмів ізоморфні прямому
добутку симетричної та двоелементної груп.
Ці описи розв’язують проблему Б. І. Плоткіна про опис автоморфізмів
напівгруп ендоморфізмів вільних алгебр для многовидів комутативних
дімоноїдів і комутативних g-дімоноїдів і є аналогами результатів Б. І. Плоткіна,
Г.Машевицького, Б.М.Шайна, Г.Житомирського, Є.Б.Плоткіна, Е.Форманека,
А. Канел-Белова, Ю. Кацова, А. Берзінса про опис автоморфізмів категорій
вільних груп, (інверсних) напівгруп, моноїдів, асоціативних алгебр, модулів,
напівмодулів та алгебр Лі.
Теоретичне та практичне значення одержаних результатів. Усі
результати роботи є новими й мають теоретичне значення як такі, що є внеском
у подальший розвиток алгебраїчної теорії графів і гіперграфів, теорії напівгруп,
теорії дімоноїдів та діалгебр, теорії тріоїдів й триалгебр. Результати досліджень
можуть бути застосовані до вивчення будови напівгруп ендоморфізмів різних
15
класів алгебр та реляційних систем, а також використані для викладання
спецкурсів з теорії напівгруп, теорії дімоноїдів та тріоїдів на механікоматематичних факультетах університетів.
Результати роботи знайдуть застосування в дослідженнях, що
здійснюються науковими колективами Київського національного університету
імені Тараса Шевченка, Інституту математики НАН України, Львівського
національного університету імені Івана Франка, Харківського національного
університету імені В. Н. Каразіна, Вінницького національного технічного
університету, Донецького національного університету імені Василя Стуса
(м. Вінниця), Державного закладу «Луганський національний університет
імені Тараса Шевченка» (м. Старобільськ).
Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації, які
виносяться на захист, отримані автором особисто. У роботах, виконаних у
співавторстві, особистий внесок здобувача полягає в наступному. У статті [49]
дисертантом описано ендоморфізми вільного добутку скінченних напівгруп та
побудовано напівгрупу, яка є ізоморфною напівгрупі всіх ендоморфізмів
указаного вільного добутку. У публікаціях [50 – 53] дисертанту належать
постановки задач і відповідно такі результати: теорема про точне зображення
моноїда сильних ендоморфізмів скінченного (нескінченного) n-однорідного
гіперграфа унарними відношеннями (у вигляді вінцевого добутку моноїда з
категорією); результат про регулярність моноїда сильних ендоморфізмів
скінченного
n -однорідного гіперграфа; опис точних зображень напівгрупи
ендотопізмів, моноїда сильних ендотопізмів та групи автотопізмів еквівалентності в термінах
2 -кратного вінцевого добутку моноїда та малої категорії,
визначення всіх ізоморфізмів між напівгрупами ендотопізмів еквівалентностей,
характеризація групи автотопізмів еквівалентності як прямого добутку вінцевих
добутків груп; опис умов корегулярності відповідностей напівгрупи
ендоморфізмів еквівалентності, знаходження ендотипу для нетривіальних
еквівалентностей. У [54] дисертантом побудовано нові приклади дігруп та
охарактеризовано абелеві дігрупи з однією бар-одиницею.
16
Апробація результатів дисертації. Результати дисертації оприлюднено
на таких конференціях і семінарах:
 VI Міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Кам’янецьПодільський, 2007);
 XII Міжнародній конференції з зображень алгебр (Торунь, 2007);
 Міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій 100-річчю з дня
народження О. Г. Куроша (Москва, 2008);
 Міжнародній конференції з напівгруп та зв’язаних питань (Порто, 2009);
 VIІ Міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Харків, 2009);
 Українському математичному конгресі (Київ, 2009);
 Міжнародній конференції „Мальцевські читання”, присвяченій 70-річчю
академіка Ю. Л. Єршова (Новосибірськ, 2010);
 Міжнародному алгебраїчному симпозіумі, присвяченому 80-річчю
кафедри вищої алгебри МДУ та 70-річчю проф. О. В. Міхальова (Москва,
2010);
 VIІІ Міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Луганськ, 2011);
 Міжнародній конференції, присвяченій 100-річчю проф. В. В. Морозова
(Казань, 2011);
 Міжнародній конференції з алгебри, присвяченій 100-річчю проф.
С. М. Чернікова (Київ, 2012);
 Міжнародній конференції „Напівгрупи і застосування” (Уппсала, 2012);
 ІV Алгебраїчній конференції в Нові Сад та семінарі „Напівгрупи і
застосування” (Нові Сад, 2013);
 Міжнародній алгебраїчній конференції „AAA87” (Лінц, 2014);
 XII Міжнародній конференції „Алгебра і теорія чисел: сучасні проблеми і
застосування”, присвяченій 80-річчю проф. В. М. Латишева (Тула, 2014);
 ХV Міжнародній конференції ім. академіка Кравчука (Київ, 2014);
 Міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій 100-річчю з дня
народження Л. А. Калужніна (Київ, 2014);
 Міжнародній конференції „Мальцевські читання” (Новосибірськ, 2014);
17
 Міжнародній конференції молодих математиків (Київ, 2015);
 X Міжнародній алгебраїчній конференції в Україні, присвяченій 70-річчю
Ю. А. Дрозда (Одеса, 2015);
 Міжнародній науковій конференції „Дискретна математика, алгебра та їх
застосування” (Мінськ, 2015);
 Міжнародній алгебраїчній конференції „AAA92” (Прага, 2016);
а також на семінарах Луганського національного університету імені Тараса
Шевченка (Луганськ, 2007 – 2014), семінарі „Алгебра і логіка” Інституту
математики Сибірського відділення РАН (Новосибірськ, 2010), підсумковому
семінарі кафедри алгебри та математичної логіки Київського національного
університету імені Тараса Шевченка (Київ, 2009, 2014 і 2015) та алгебраїчному
семінарі Інституту математики НАН України (Київ, 2016).
Публікації. Публікацію основних результатів дисертації здійснено у 21-й
статті у фахових наукових виданнях [49 – 69], з яких 9 – у фахових виданнях
України (4 з яких входять до міжнародних наукометричних баз даних), 12 – в
іноземних наукових періодичних виданнях (10 з яких входять до міжнародних
наукометричних баз даних), та 19-ти тезах наукових конференцій [70 – 88].
Структура й обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, семи
розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації
складає 323 сторінки, з яких основний зміст роботи викладено на 305 сторінках.
Список використаних джерел містить 203 найменування та займає 18 сторінок.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертації, визначено мету,
задачі, об’єкт і предмет дослідження, вказано наукову новизну й теоретичне та
практичне значення результатів роботи, наведено інформацію про особистий
внесок здобувача та апробацію результатів дослідження, охарактеризовано
зміст роботи.
18
У першому роздiлi ,,Попередні відомості” вводяться необхiднi поняття і
позначення та наводяться вiдомi результати, якi використовуються далi в
дисертацiї. У тому числi, розглядаються ендоморфізми алгебраїчних систем,
відповідності універсальних алгебр, графи й гіперграфи, вінцеві добутки,
основні структури Лоде.
Нехай
G V E  ( , ) — довільний неорієнтований граф з множиною вершин
V
і множиною ребер
E
(див., напр., [89]). Множина вершин (ребер) графа
G
позначається також через
V G( )
(відпов.
E G( )
).
Перетворення

множини
V
називається ендоморфізмом графа
G
, якщо
з
{ , } x y E 
випливає, що
{ , } x y E   
при будь-яких
x y V , . 
Множина всіх
ендоморфізмів графа
G
відносно операції композиції перетворень утворює
напівгрупу, яка позначається через
EndG.
Ендоморфізм

графа
G
називається сильним ендоморфізмом, якщо з
{ , } x y E   
випливає
{ , } x y E 
при будь-яких
x y V , . 
Множина всіх сильних
ендоморфізмів графа
G
відносно композиції перетворень утворює моноїд, який
позначатимемо як
SEndG.
Відзначимо, що для орієнтованих графів поняття (сильного)
ендоморфізма визначається аналогічно.
Природним узагальненням поняття графа є гіперграф. Нехай
V —
непорожня множина, — сім’я непорожніх підмножин з
V.
Пара
( , ) V
називається гіперграфом [90] з множиною вершин
V
і множиною ребер
.
Кількість ребер, які інцидентні вершині
x V ,
називається степенем цієї
вершини й позначається через
( ) x
. Число вершин, інцидентних ребру
e ,
називається степенем цього ребра й позначається як
| | e . Через
H
будемо
позначати довільний гіперграф
( , ) V
. Множини
V
і позначаються також
через
V H( )
і
( ) H
відповідно.
Нехай — мала категорія,
R — моноїд, який діє справа на множині
Ob
об’єктів цієї категорії, та
Mor — множина всіх морфізмів з . Через
19 Map Ob Mor ( , )
позначається множина всіх відображень з
Ob
у
Mor .
Позначимо через
N
множину всіх натуральних чисел і покладемо
(1) ( ) ( ) ( ) ={( , ,..., ) | , ( , ), ( , ) }, . n i i V r f f r R f Map Ob Mor xf Mor x xr x Ob n N      
Для всіх
(1) ( ) (1) ( ) ( , ,..., ), ( , ,..., ) n n r f f p g g V
визначимо множення
(1) ( ) (1) ( ) (1) (1) ( ) ( ) ( , ,..., )( , ,..., ) = ( , ,..., ), n n n n
r r
r f f p g g rp f g f g
де
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) i i i i
r
x f g xf xr g
для всіх
x Ob  , а
( ) ( ) ( ) i i xf xr g
є композицією морфізмів
( )i
xf
і
( ) ( ) i
xr g
у категорії . Задана таким чином операція асоціативна.
Крім того, у напівгрупі
V
є одиниця
(1, ,..., )
n
e e
, де елемент
e Map Ob Mor  ( , )
такий, що
xe Mor x x  ( , ) — тотожний морфізм для будь-якого
x
з
Ob .
Моноїд
V
з таким множенням назвемо
n -кратним вінцевим добутком
моноїда
R
з категорією і позначимо через
( ) n R wr .
Якщо
n =1
, то отримуємо двоїсту конструкцію до вінцевого добутку,
визначеного В. Флейшером [12], яку позначатимемо через
Rwr .
Другий розділ ,,Напівгрупи ендоморфізмів реляційних систем”
присвячено вивченню ендоморфізмів графів та гіперграфів.
У підрозділі 2.1. ,,Напівгрупи ендоморфізмів бінарних відношень” з
точністю до ізоморфізму описано всі напівгрупи ендоморфізмів відношень
еквівалентності (теорема 2.3) та 2-нільпотентних бінарних відношень.
Через
( ) ( ( )) X S X
позначається симетрична напівгрупа (відпов. група) на
множині
X,
а через
B X( ) — напівгрупа бінарних відношень на множині
X.
Відношення
 B X( )
називається
n -нільпотентним, якщо
n
 
і не
існує
m m n   , ,
з такою властивістю. Покладемо
c dom im ( ) ( ) ( ),    
де
dom im ( ) ( ( ))   — область визначення (відпов. значень) відношення
 .
Множиною зв’язності елемента
u dom  ( ) 
назвемо таке
A dom  ( ) 
, що
,
x A
u A x

  
, де
x y X x y { | ( , ) }

   .
Нехай
Qu — сім’я всіх множин зв’язності елемента
u dom  ( ) 
і
20 { ( ( )) | ( ) }, . T f dom x dom A Q Af Q T            x xf
Якщо
K k k dom ={ | ( )} 
  , то для кожного
x im  ( ) 
покладемо
[ ]
[ ] ={ | }, [ ] ={ ( ) | [ ]}, ( ) = .
y x
x y K x y x y dom y x P x y  
 
    

   
Позначимо через
M
x

, де
x im  ( )  , множину всіх відображень з
{}x
у
множину
P x( ) 
і нехай
={ ( ( )) | ( ) | }, = . { }x x T
S f im x im f M S S 
  
 

   
Для кожного
 T
покладемо
H S ={( , ) | }       ,
T S,
=
T
H H
 
.
Зрозуміло, що
HT S, — піднапівгрупа прямого добутку
T S  .
Теорема 2.9. Напівгрупи
End X( , ), 
де
2
     , ( ) , c X
і
HT S,
є
ізоморфними.
Подібним чином описується напівгрупа
End X( , ), 
де
2
     , ( ) c X
(теорема 2.10). Також показано, що 2-нільпотентні бінарні відношення не
визначаються своїми напівгрупами ендоморфізмів.
У підрозділі 2.2. ,,Моноїди сильних ендоморфізмів нескінченних графів” для нескінченного випадку отримано аналог теореми Кнауера–Ніпорте
[11] про зображення моноїда сильних ендоморфізмів неорієнтованих графів.
Нехай
G V E = ( , ) — довільний неорієнтований граф без кратних ребер,
N x( ) — околиця вершини
x V ,
тобто
N x y V x y E ( ) { |{ , } }   
. Визначимо на
множині
V
відношення еквівалентності

, поклавши
x y N x N y   ( ) = ( ).
Через
x
позначимо клас еквівалентності

, що містить
x X  .
Канонічним
сильним фактор-графом
G /
називається такий граф, у якого вершинами є
класи
x x X , ,  
а
{ , } ( / ) x y E G    
лише в тому випадку, коли
{ , } ( ) x y E G  .
Нехай
G — клас усіх нескінченних неорієнтованих графів
G
без кратних
ребер, для яких за будь-якого
 SEndG
виконується умова:
x G y G x y / / : .            
Візьмемо довільний граф
= [( ) ] G U Yu u U
класу
G, представлений як уза-
21
гальнений лексикографічний добуток [11] графа
U G /
і графів
( ) Yu u U
.
Визначимо малу категорію
G
, вважаючи
={ | } Ob Y u U G u 
та позначаючи для
будь-яких
u v U , 
через
( , ) Mor Y Y
G u v
множину всіх відображень з
Y
u
в
Y
v
.
Моноїд
SMonU
усіх сильних мономорфізмів фактор-графа
U
природно діє
справа на
Ob G
у такий спосіб:
= , . Y Y SMonU u u   
Таким чином, отримуємо
вінцевий добуток
G
SMonU wr
моноїда
SMonU
з малою категорією
G
.
Основним результатом цього підрозділу є теорема 2.13, згідно з якою
моноїди
SEndG
і
G
SMonU wr
є ізоморфними. Цей результат доповнює
згадану вище теорему Кнауера–Ніпорте.
У підрозділі 2.3. ,,Сильні ендоморфізми
n -однорідних гіперграфів”
описано точні зображення моноїда сильних ендоморфізмів для певного класу
n -однорідних гіперграфів.
Нехай
n — ціле невід’ємне число. Якщо в гіперграфі
H
немає кратних
ребер і степінь будь-якого ребра дорівнює
n
, то
H
називається
n -однорідним
гіперграфом. Позначимо через
Cn
клас усіх
n -однорідних гіперграфів.
Ендоморфізм
 :V V 
гіперграфа
H C
n
називається сильним, якщо дл

Список литературы

ВИСНОВКИ
У дисертаційній роботі розв’язуються задачі класифікації напівгруп
ендоморфізмів графів і гіперграфів, теоретико-напівгрупових конструкцій,
дімоноїдів, g-дімоноїдів, дігруп і тріоїдів з точністю до ізоморфізму, а також
досліджуються алгебраїчні та комбінаторні властивості напівгруп
ендоморфізмів.
Побудовано точні зображення для таких об’єктів, як напівгрупи
ендоморфізмів відношень еквівалентності та нільпотентних бінарних
відношень; напівгрупи всіх ендотопізмів, моноїди сильних ендотопізмів та
групи автотопізмів відношення еквівалентності; напівгрупи сильних
ендоморфізмів заданого класу
n -однорідних гіперграфів; моноїди
ендоморфізмів довільної напівгрупи, вільного добутку скінченних напівгруп
і вільного добутку напівгруп
w-класу. Ці результати розвивають результати
У. Кнауера та М. Ніпорте про точне зображення напівгрупи сильних
ендоморфізмів неорієнтованих графів. Крім того, вони доповнюють
результати У. Нуммерта про зображення напівгрупи сильних ендоморфізмів
узагальнених лексикографічних добутків графів і В. М. Усенка й
О. М. Кізіменка про зображення напівгруп ендоморфізмів вільних груп та
вільних добутків одноелементних напівгруп.
Досліджено умови регулярності моноїда сильних ендоморфізмів
скінченних
n -однорідних гіперграфів та корегулярності шести типів
відповідностей на напівгрупі ендоморфізмів довільної еквівалентності. Ці
результати доповнюють описи У. Кнауера й М. Ніпорте, Е. Вілкейта, С.Фана
про регулярність напівгруп сильних ендоморфізмів графів, а також
розвивають описи Дж. Чваліни й К. Матоускової про корегулярність
напівгруп ендоморфізмів унарів.
Введено поняття ендотипу бінарного відношення відносно його
ендотопізмів й класифіковано всі еквівалентності за значенням їх ендотипу.
304
Отримані результати доповнюють описи М. Боттчера й У. Кнауера, Х. Хоу,
К. Фана й У. Луо, В. Ванг і Х. Хоу, Н. Піпаттанаджінди про ендотипи
узагальнених полігонів, графів доповнень до скінченних шляхів, графів
N -призм,
( 3) n  -регулярних графів порядку
n
. Встановлено всі ізоморфізми
напівгруп ендотопізмів еквівалентностей.
Для класу 0-категорійних інверсних напівгруп визначено
універсальний об’єкт — симетричну інверсну 0-категорію. З точністю до
ізоморфізму класифіковано всі зрізи симетричної інверсної 0-категорії, що
відповідають п’яти відношенням Гріна. Цим доповнюються відомі
результати Л. Ренне, Д. Кована й Н. Рейлі, В. Мазорчука й О. Ганюшкіна,
Г. Кудрявцевої, В. Мальцева і В. Мазорчука, В. Пєхтєрєва, Є. Бондар про
опис зрізів різних відношень Гріна на симетричних (інверсних) напівгрупах.
У термінах вінцевих добутків груп охарактеризовано групу автоморфізмів
симетричної інверсної 0-категорії.
Визначено вільний абелевий дімоноїд довільного рангу та найменшу
абелеву конгруенцію на вільному дімоноїді. Побудовано нові приклади
дімоноїдів та дігруп, зокрема, охарактеризовано абелеві дігрупи з однією
бар-одиницею. Цим розвиваються та доповнюються результати Ж.-Л. Лоде
та М. Ронко, Ю. Мовсисяна, С. Давидова й М. Сафаряна про будову вільного
дімоноїда, вільного тріоїда рангу 1 та вільного g-дімоноїда, результати
А. В. Жучка про тріоїди та відносно вільні дімоноїди й g-дімоноїди, а також
результати П. С. Колесникова й О. П. Пожидаєва про многовиди діалгебр.
Доведено, що вільні абелеві дімоноїди, вільні комутативні дімоноїди,
вільні комутативні g-дімоноїди та вільні тріоїди визначаються з точністю до
ізоморфізму напівгрупами ендоморфізмів. У моногенному випадку описано
всі ендоморфізми вільних дімоноїдів, вільних комутативних дімоноїдів,
вільних комутативних g-дімоноїдів й вільних тріоїдів. Побудовано
напівгрупи, які ізоморфні моноїдам ендоморфізмів указаних вільних
моногенних алгебр, та отримано їх абстрактні характеристики. Ці результати
305
розвивають результати Е. Форманека, Г. Машевицького й Б. Шайна про
напівгрупи ендоморфізмів вільних груп, вільних моноїдів та вільних
напівгруп.
Для многовидів комутативних дімоноїдів та комутативних g-дімоноїдів
розв’язано проблему Б. І. Плоткіна про опис автоморфізмів напівгруп
ендоморфізмів вільних алгебр. Ці результати розвивають відомі результати
Б. І. Плоткіна, Г. Машевицького, Б. Шайна, Г. Житомирського, Є. Б. Плоткіна,
Р. Ліпянського, Е. Форманека, А. Канел-Белова, Ю. Кацова, А. Берзінса та ін.
про опис автоморфізмів категорій різних вільних алгебр.
У роботі розвинено нові нещодавно започатковані напрями — теорію
дімоноїдів та теорію тріоїдів. Отримані результати є внеском у розв’язання
актуальної проблеми класифікації алгебраїчних систем за властивостями їх
напівгруп ендоморфізмів.