ТЕОРІЯ ТА ШВИДКОДІЮЧІ АПАРАТНО-ПРОГРАМНІ ЗАСОБИ ІТЕРАЦІЙНИХ МЕТОДІВ ОБЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ

Короткий зміст

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У Вступі відображено актуальність проблеми, обґрунтовано мету та основні задачі дослідження. Показано зв’язок роботи із науковими програмами, планами, темами. Сформульовано наукову новизну отриманих результатів та їх практичне значення. Наводяться дані про особистий внесок здобувача, апробацію роботи та публікації.

У першому розділі наведено результати критичного аналізу існуючих методів обчислення елементарних функцій, зокрема, досліджені ті особливості методів, які звужують їх застосування при всезростаючих вимогах щодо точності та швидкодії згаданих обчислень. Обчислення функцій може здійснюватися різноманітними методами, основними з яких є табличні, таблично-алгоритмічні, апроксимаційні та ітераційні. Однією з важливих задач теорії сучасних методів обчислення функцій є обчислення елементарних функцій. Серед усього різноманіття існуючих методів обчислення елементарних функцій (ЕФ) виділено наступні основні методи: розклад в ряд Тейлора (степеневі поліноми), апроксимацію з допомогою різних поліномів, табличні методи, раціональні наближення ЕФ, використання ланцюгових дробів, ітераційні (рекурентні).

До ітераційних методів обчислення функцій можна віднести метод цифрового диференціального аналізатора (ЦДА), метод псевдоповороту вектора (метод CORDIC – COordinate Rotation DIgital Computer) та метод функціональних ітерацій –  усі вони описуються рекурентними рівняннями.

Теоретичні основи методу ЦДА для реалізації функцій однієї змінної шляхом розв’язування породжуючих диференціальних рівнянь були розроблені К. Шенноном, який довів, що систему звичайних диференціальних рівнянь можна розв’язати із застосуванням лише інтеграторів і суматорів.

Встановлено, що основним стримуючим фактором для подальшого розвитку методу ЦДА є використання лише диференціальних рівнянь для організації структур і опису їх функціонування та ігнорування рекурентних рівнянь як дискретних аналогів диференціальних рівнянь, які адекватно описують ітераційні процеси, що відбуваються в них.

Метод CORDIC, залишаючись одним із найпопулярніших ітераційних методів обчислення багатьох трансцендентних функцій, і донині базується лише на використанні явного методу Ейлера для дискретизації породжуючих диференціальних рівнянь, не дозволяючи розкрити потенційні можливості методу у повній мірі. Основний його недолік – низька точність (це метод лише першого порядку точності). Саме ця обставина не дає змоги підняти швидкодію методу.

Метод функціональних ітерацій використовує лише ідеалізований опис ітераційних процесів, що відбуваються в них, хоч вони теж піддаються дослідженню з допомогою рекурентних рівнянь.

У другому розділі представлено розвиток теорії методу цифрового диференціального аналізатора (ЦДА). В основі теорії обчислення функцій таким методом  лежать породжуючі диференціальні рівняння, розв’язки яких і дають шукані функції. При реалізації функцій операційними блоками ЦДА-структур, до складу яких входять інтегратори, суматори, слідкуючі інтегратори, схеми додавання та віднімання і т.д., породжуюче диференціальне рівняння дискретизується і тоді розв’язки представляються у вигляді функцій, що визначені на дискретній множині точок осі незалежної змінної (аргумента). Таким чином, у методі ЦДА неперервна функція незалежної змінної зображується у вигляді гратчастих функцій. Тому алгоритми роботи структур ЦДА слід описувати за допомогою рекурентних рівнянь.

Вибір методу дискретизації породжуючого диференціального рівняння відіграє дуже важливу роль, оскільки безпосередньо впливає на значення методичної похибки обчислень. Адже причиною появи методичної похибки є те, що при заданих початкових або граничних умовах розв’язки рекурентних рівнянь, що описують роботу структури ЦДА, лише наближено збігаються з відповідними розв’язками породжуючих диференціальних рівнянь, що описують в ідеальному вигляді роботу досліджуваного обчислювача. Інша похибка обчислень, властива структурам ЦДА, це похибка заокруглень, яка доволі просто зменшується вибором відповідної розрядності операційних блоків ЦДА.

Для дискретизації систем породжуючих диференціальних рівнянь можна використати різноманітні методи чисельного інтегрування – явні та неявні, однокрокові, двокрокові та багатокрокові. Однак, при цьому необхідно враховувати також складність апаратної реалізації таких формул у структурах ЦДА. У цьому розділі досліджено методи дискретизації систем лінійних диференціальних рівнянь, які є породжуючими для багатьох елементарних функцій, зокрема, тригонометричних та гіперболічних. Результати досліджень дозволяють встановити методи чисельного інтегрування, які, маючи найпростішу апаратну реалізацію, забезпечують обчислення із заданою точністю.