Пипка Олександр Олександрович Нільпотентність та її уза­гальнення в деяких алгебраїчних структурах

Краткое описание

Пипка Олександр Олександрович, доцент кафедри геометрії і алгебри Дніпровського національного універ­ситету імені Олеся Гончара: «Нільпотентність та її уза­гальнення в деяких алгебраїчних структурах» (01.01.06 - алгебра та теорія чисел). Спецрада Д 26.001.18 у Київ­ському національному університеті імені Тараса Шев­ченка МОН України

Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара
Міністерство освіти і науки України
Київський національний університет імені Тараса Шевченка
Міністерство освіти і науки України
Кваліфікаційна наукова
праця на правах рукопису
Пипка Олександр Олександрович
УДК 512.542, 512.544, 512.554
ДИСЕРТАЦІЯ
Нільпотентність та її узагальнення в деяких
алгебраїчних структурах
01.01.06 – алгебра та теорія чисел
Подається на здобуття наукового ступеня
доктора фізико-математичних наук
Дисертація містить результати власних досліджень. Використання ідей,
результатів і текстів інших авторів мають посилання на відповідне
джерело
_______________ О.О. Пипка
Науковий консультант: Курдаченко Леонід Андрійович,
доктор фізико-математичних наук, професор
Дніпро – 2018

ЗМІСТ
ПЕРЕЛІК УМОВНИХ ПОЗНАЧЕНЬ........................................................ 17
ВСТУП.............................................................................................................. 20
РОЗДІЛ 1. ПОПЕРЕДНІ ВІДОМОСТІ...................................................... 45
1.1. Загальні поняття та позначення....................................................... 45
1.2. Деякі числові інваріанти груп.......................................................... 52
1.3. Зв'язки між членами та факторами (узагальнено) центральних0000
рядів в деяких алгебраїчних структурах........................................................ 60
1.4. Нормальні підгрупи, їх узагальнення та антиподи........................ 79
Висновки до розділу 1 ............................................................................. 97
РОЗДІЛ 2. ЗВ'ЯЗКИ МІЖ ЧЛЕНАМИ ЦЕНТРАЛЬНИХ РЯДІВ0000
В ГРУПАХ ....................................................................................................... 98
2.1. Ранговий аналог теореми Бера для скінченних груп .................... 99
2.2. Секційний р-ранг нільпотентного резидуалу скінченних груп.. 105
2.3. Аналог теореми Бера для локально скінченних груп0000
скінченної експоненти ................................................................................... 108
2.4. Експонента локально нільпотентного резидуалу локально0000
скінченних груп скінченної експоненти...................................................... 112
2.5. Аналог теореми Шура для локально скінченних груп із0000
силовськими р-підгрупами скінченної експоненти.................................... 119
2.6. Аналог теореми Бера для локально скінченних груп із0000
силовськими р-підгрупами скінченної експоненти.................................... 121
2.7. Аналоги теорем Шура та Бера для локально скінченних груп0000
зі скінченними силовськими р-підгрупами ................................................. 123
2.8. Аналог теореми Шура для локально скінченних груп, які є0000
розширенням подільної групи за допомогою обмеженої .......................... 125
2.9. Аналог теореми Бера для локально скінченних груп, які є0000
розширенням подільної групи за допомогою обмеженої .......................... 127
15
2.10. Ранговий аналог узагальненої теореми Бера для локально0000
узагальнено радикальних груп...................................................................... 130
Висновки до розділу 2 ........................................................................... 146
РОЗДІЛ 3. ЗВ'ЯЗКИ МІЖ ЧЛЕНАМИ ЦЕНТРАЛЬНИХ РЯДІВ0000
В АЛГЕБРАХ ЛІ........................................................................................... 148
3.1. Вимірність нільпотентного резидуалу алгебр Лі......................... 149
3.2. Аналог узагальненої теореми Бера для алгебр Лі ....................... 160
Висновки до розділу 3 ........................................................................... 164
РОЗДІЛ 4. ЗВ'ЯЗКИ МІЖ ЧЛЕНАМИ ЦЕНТРАЛЬНИХ РЯДІВ0000
В АЛГЕБРАХ ЛЕЙБНІЦА......................................................................... 165
4.1. Аналог теореми Шура для алгебр Лейбніца ................................ 166
4.2. Аналог теореми Бера для алгебр Лейбніца .................................. 175
Висновки до розділу 4 ........................................................................... 179
РОЗДІЛ 5. ЗВ'ЯЗКИ МІЖ ЧЛЕНАМИ ЦЕНТРАЛЬНИХ РЯДІВ0000
В КІЛЬЦЯХ ЛІ.............................................................................................. 180
5.1. Аналог теореми Шура для кілець Лі............................................. 181
5.2. Аналог теореми Неймана для кілець Лі........................................ 184
5.3. Аналог теореми Бера для кілець Лі............................................... 188
5.4. Порядок нільпотентного резидуалу кілець Лі ............................. 191
Висновки до розділу 5 ........................................................................... 199
РОЗДІЛ 6. ЗВ'ЯЗКИ МІЖ ЧЛЕНАМИ A-ЦЕНТРАЛЬНИХ РЯДІВ0000
В ГРУПАХ АВТОМОРФІЗМІВ ................................................................ 201
6.1. Аналог теореми Шура для скінченної підгрупи
A G  Aut( ),0000
що містить
Inn( ) G .......................................................................................... 202
6.2. Аналог теореми Бера для скінченної підгрупи
A G  Aut( ),0000
що містить
Inn( ) G .......................................................................................... 204
6.3. Аналог теореми Холла для скінченної підгрупи
A G  Aut( ),0000
що містить
Inn( ) G .......................................................................................... 210
16
6.4. Аналог теореми Шура для ко-шарово скінченної підгрупи0000
A G  Aut( )
, що містить
Inn( ) G .................................................................... 213
6.5. Аналог теореми Бера для ко-шарово скінченної підгрупи0000
A G  Aut( )
, що містить
Inn( ) G .................................................................... 218
6.6. Аналог теореми Шура для підгрупи
A G  Aut( )
скінченного0000
спеціального рангу (секційного р-рангу), що містить
Inn( ) G .................. 220
6.7. Аналог теореми Шура для черніковської підгрупи
A G  Aut( ),0000
що містить
Inn( ) G .......................................................................................... 224
6.8. Черніковський аналог теореми Шура для підгрупи
A G  Aut( )
0000
скінченного секційного р-рангу, що містить
Inn( ) G ................................. 230
Висновки до розділу 6 ........................................................................... 245
РОЗДІЛ 7. ВПЛИВ УЗАГАЛЬНЕНО НОРМАЛЬНИХ ПІДГРУП0000
НА БУДОВУ ДЕЯКИХ НЕСКІНЧЕННИХ ГРУП ................................ 247
7.1. Локально скінченні групи, циклічні підгрупи яких є0000
GNA-підгрупами (монопронормальними) .................................................. 248
7.2. Неперіодичні групи, циклічні підгрупи яких є GNA-0000
підгрупами (монопронормальними) ............................................................ 262
7.3. Локально скінченні групи, циклічні підгрупи яких або0000
зростаючі, або майже самонормалізовні...................................................... 271
Висновки до розділу 7 ........................................................................... 294
ВИСНОВКИ .................................................................................................. 296
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ ................................................. 298
ДОДАТОК...................................................................................................... 325
Список публікацій за темою дисертації .............................................. 325
Відомості про апробацію результатів дисертації ............................... 330

Список литературы

ВИСНОВКИ
Дисертаційна робота присвячена деяким природним напрямкам
досліджень, що пов'язані з нільпотентністю та її узагальненнями в різних
алгебраїчних структурах. Тематика, представлена у роботі, має дуже довгу
та багату історію, яка налічує вже понад 120 років. У роботі
досліджуються деякі питання, що пов'язані з вивченням зв'язків між
(узагальнено) центральними рядами в таких алгебраїчних структурах, як
групи (зокрема, групи автоморфізмів), алгебри Лі, кільця Лі та алгебри
Лейбніца, а також впливом певних типів підгруп на будову деяких
нескінченних груп. Результати дисертації з одного боку поповнюють або
узагальнюють перелік відомих результатів, а з іншого боку
започатковують відповідні дослідження у деяких алгебраїчних структурах,
де до цього подібних досліджень не проводилось. Основними новими
науковими результатами дисертації є наступні:
 доведено ранговий аналог теореми Бера для скінченних груп;
 доведено, що клас локально скінченних груп скінченної експоненти
є класом Бера;
 встановлено, що класи локально скінченних груп, силовські
р-підгрупи яких обмежені (зокрема, скінченні) та локально
скінченних груп, кожна з яких є розширенням подільної групи та
допомогою обмеженої, утворюють класи Шура та Бера;
 доведено аналог узагальненої теореми Бера для локально
узагальнено радикальних груп при певних рангових обмеженнях
для деяких фактор-груп;
 одержано низку автоморфних аналогів теорем Шура, Бера та Холла
при деяких природних обмеженнях на підгрупи груп автоморфізмів;
 доведено лієвський аналог узагальненої теореми Бера;
 доведено аналоги теорем Шура та Бера для алгебр Лейбніца;
297
 доведено аналоги теорем Шура, Неймана та Бера для кілець Лі;
 одержано опис локально скінченних груп, всі циклічні підгрупи
яких є GNA-підгрупами (монопронормальними);
 одержано опис неперіодичних локально узагальнено радикальних
груп, всі циклічні підгрупи яких є GNA-підгрупами
(монопронормальними);
 одержано опис локально скінченних груп, всі циклічні підгрупи
яких або зростаючі (субнормальні, нормальні), або майже
самонормалізовні;
 знайдено обмеження для деяких числових характеристик комутанта
(відповідно, похідної підалгебри, похідного підкільця) та
( 1) k  -го
члену нижнього центрального (А-центрального) ряду груп
(відповідно, алгебр Лі та Лейбніца, кілець Лі);
 знайдено обмеження для деяких числових характеристик резидуалів
груп (відповідно, алгебр Лі та Лейбніца, кілець Лі).
Дисертаційна робота має теоретичний характер та є внеском до
вказаного напрямку досліджень в різних алгебраїчних структурах.
Результати можуть бути використані при дослідженні зв'язків між
канонічними рядами в групах, алгебрах Лі, алгебрах Лейбніца та кільцях
Лі, а також при вивченні будови груп за властивостями їх природних
систем підгруп.