Мартинюк Ольга Василівна Задача Коші та нелокальні багатоточкові задачі для еволюційних рівнянь першого порядку за часовою змінною

Короткий опис

Мартинюк Ольга Василівна, доцент кафедри алгебри та інформатики Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича: «Задача Коші та нелокальні багато- точкові задачі для еволюційних рівнянь першого порядку за часовою змінною» (01.01.02 - диференціальні рівняння). Спецрада Д 26.001.37 у Київському національному універ­ситеті імені Тараса Шевченка

Міністерство освіти і науки України
Чернівецький національний університет
імені Юрія Федьковича
на правах рукопису
Мартинюк Ольга Василівна
УДК 517.956
Задача Коші та нелокальні багатоточкові задачі
для еволюційних рівнянь першого порядку за часовою
змінною
01.01.02 – диференціальні рівняння
дисертація на здобуття наукового ступеня
доктора фізико-математичних наук
Науковий консультант –
доктор фізико-математичних наук,
професор Городецький Василь Васильович
Чернівці – 2017
Змiст
Вступ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Роздiл 1. Огляд лiтератури . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1. Задача Кошi та крайовi задачi для сингулярних параболiчних
рiвнянь i систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2. Задача Кошi для абстрактних диференцiально-операторних рiвнянь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3. Задача Кошi для псевдодиференцiальних рiвнянь i систем . . . 28
1.4. Задача Кошi для рiвнянь з частинними похiдними нескiнченного
порядку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.5. Нелокальнi задачi для диференцiально-операторних рiвнянь та
рiвнянь з частинними похiдними . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Роздiл 2. Огляд результатiв дисертацiї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Роздiл 3. Задача Кошi для сингулярних еволюцiйних рiвнянь . . . . . . . 58
3.1. Простори основних та узагальнених функцiй . . . . . . . . . . . 58
3.1.1. Простiр θM,ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.1.2. Перетворення Бесселя функцiй з простору θM,ρ. Простiр
Φ
ν
β,γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.3. Оператор узагальненого зсуву аргументу в просторi Φ
ν
β,γ 84
3.1.4. Простiр узагальнених функцiй (Φν
β,γ)
′
. Перетворення Бесселя узагальнених функцiй з простору (Φν
β,γ)
′
. . . . . . . 89
3.1.5. Абстрактнi функцiї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.2. Задача Кошi для еволюцiйних рiвнянь з оператором, побудованим за сталим символом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.2.1. Властивостi фундаментального розв’язку задачi Кошi . . 97
3.2.2. Коректна розв’язнiсть задачi Кошi. Властивiсть локалiзацiї108
3.2.3. Сингулярнi еволюцiйнi рiвняння з необмеженими за часом коефiцiєнтами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.3. Задача Кошi для еволюцiйних рiвнянь iз псевдобесселевими операторами нескiнченного порядку . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.3.1. Псевдобесселевi оператори нескiнченного порядку . . . . 119
2
3.3.2. Задача Кошi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.4. Еволюцiйнi рiвняння з псевдобесселевими операторами, побудованими за змiнними символами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.4.1. Попереднi вiдомостi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.4.2. Побудова фундаментального розв’язку. Задача Кошi . . 152
3.5. Еволюцiйнi рiвняння з показником однорiдностi γ ∈ (0, 1) та γ ∈ N159
3.6. n-вимiрний випадок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Висновки до роздiлу 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Роздiл 4. Нелокальнi задачi для сингулярних еволюцiйних рiвнянь . . . 170
4.1. Нелокальна m-точкова задача для сингулярних еволюцiйних рiвнянь зi сталими символами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.1.1. Структура та властивостi фундаментального розв’язку . 170
4.1.2. Коректна розв’язнiсть нелокальної m-точкової задачi.
Властивiсть локалiзацiї розв’язкiв . . . . . . . . . . . . . 184
4.2. Нелокальнi задачi для сингулярних еволюцiйних рiвнянь з псевдодиференцiальними умовами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4.3. Нелокальнi задачi для еволюцiйних рiвнянь iз псевдобесселевими
операторами нескiнченного порядку . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.4. Нелокальна багатоточкова задача для еволюцiйних рiвнянь iз
псевдобесселевими операторами, побудованими за змiнними символами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4.5. n-вимiрний випадок. Еволюцiйнi рiвняння iз псевдодиференцiальними операторами мiшаного типу . . . . . . . . . . . . . . 222
Висновки до роздiлу 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Роздiл 5. Еволюцiйнi рiвняння з операторами узагальненого диференцiювання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5.1. Простори типу S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
5.1.1. Простори S
mn
. Топологiчна структура . . . . . . . . . . . 228
5.1.2. Основнi операцiї в просторi S
n!ρn
. . . . . . . . . . . . . . 236
5.1.3. Простори Slk
. Основнi операцiї в просторах Slk
. . . . . . 243
5.1.4. Простори S
mn
lk
та S
mn
lk
(C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
5.1.5. Простiр узагальнених функцiй (S
mn
lk
)
′
. . . . . . . . . . . 254
3
5.2. Оператори узагальненого диференцiювання ГельфондаЛеонтьєва у просторах типу S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
5.3. Оператори узагальненого диференцiювання нескiнченного порядку265
5.4. Задача Кошi та нелокальна двоточкова за часом задача для еволюцiйних рiвнянь з операторами узагальненого диференцiювання Гельфонда-Леонтьєва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
5.4.1. Задача Кошi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
5.4.2. Нелокальна двоточкова задача . . . . . . . . . . . . . . . 272
Висновки до роздiлу 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Роздiл 6. Нелокальнi задачi для еволюцiйних рiвнянь з невiд’ємними самоспряженими операторами в гiльбертовому просторi . . . . . . 284
6.1. Нелокальнi багатоточковi задачi для еволюцiйних рiвнянь з операторами, спектри яких суто дискретнi . . . . . . . . . . . . . . 284
6.1.1. Простори основних та узагальнених елементiв. Формальнi ряди Фур’є . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
6.1.2. Невiд’ємнi самоспряженi оператори як оператори згортки 288
6.1.3. Нелокальна m-точкова задача (m ≥ 1) . . . . . . . . . . . 295
6.2. Диференцiально-операторнi рiвняння з невiд’ємними самоспряженими операторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
6.2.1. Попереднi вiдомостi та позначення . . . . . . . . . . . . . 312
6.2.2. Основнi результати . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
Висновки до роздiлу 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
ВИСНОВКИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
Список використаної лiтератури . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
4
Вступ
При розв’язуваннi задач математичної фiзики, квантової механiки, газової
динамiки, теорiї теплопровiдностi, тепломасопереносу, кристалографiї, задач
про взаємодiю тiл, при математичному моделюваннi дифузiйних процесiв у
анiзотропних середовищах та iнших реальних процесiв виникає необхiднiсть
дослiдження крайових задач (зокрема, задачi Кошi) для рiвнянь з частинними похiдними як скiнченного, так i нескiнченного порядкiв, рiвнянь iз зростаючими при |x| → ∞ коефiцiєнтами, еволюцiйних рiвнянь з операторами
узагальненого диференцiювання, операторами, якi вироджуються за певними просторовими змiнними (наприклад, з оператором Бесселя) i т.iн. Багато
таких задач мають природну постановку i в рiзних просторах узагальнених
функцiй, оскiльки часто функцiї, за допомогою яких задають крайовi умови,
мають особливостi в деяких точках межi або дiлянках межi. Такi функцiї можуть допускати регуляризацiю у просторах узагальнених функцiй скiнченного
порядку типу розподiлiв Соболєва-Шварца, або ж є узагальненими функцiями нескiнченного порядку (ультрарозподiлами, гiперфункцiями тощо), якщо
порядок особливостей вищий за степеневий.
Досить широкий клас диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними
охоплюють параболiчнi та B-параболiчнi рiвняння, теорiя яких бере свiй початок з дослiдження класичного рiвняння теплопровiдностi. Iнтенсивний розвиток теорiї параболiчних рiвнянь розпочався з 40-х рокiв минулого столiття
завдяки фундаментальнiй працi I.Г. Петровського. Вагомий внесок у розвиток теорiї задачi Кошi (ЗК) для рiвнянь i систем рiвнянь параболiчного типу зробили I.Г. Петровський, С.Д. Ейдельман, С.Д. Iвасишен, А. Фрiдман,
Л.Н. Слободецький, С. Теклiнд, В.О. Солонников, М.Л. Горбачук, М.I. Матiйчук, В.В. Городецький, В.А. Лiтовченко та iн. Вони одержали ряд важливих
результатiв, пов’язаних з коректною розв’язнiстю ЗК у рiзних функцiональних
просторах, iнтегральним зображенням розв’язку, знаходженням класiв коректностi та єдиностi, довели теореми про iснування граничних значень розв’язку
в рiзних просторах, дослiдили якiснi властивостi розв’язкiв тощо.
М.I. Матiйчук та В.В. Крехiвський у 1968 роцi ввели означення B5
параболiчної системи рiвнянь, якi мiстять оператор Бесселя, що дiє за однiєю
iз просторових змiнних. Класична теорiя задачi Кошi та крайових задач для
таких рiвнянь та систем побудована в працях М.I. Матiйчука, В.В. Крехiвського, С.Д. Iвасишена, I.А. Кiпрiянова, В.В. Катрахова, В.П. Лавренчука, I.I. Веренич та iн. Задача Кошi з початковими даними iз просторiв узагальнених
функцiй типу розподiлiв та ультрарозподiлiв для вказаних рiвнянь вивчалася
Я.I. Житомирським, В.В. Городецьким, I.В, Житарюком, В.П. Лавренчуком,
О.В. Мартинюк, В.А. Лiтовченком, I.С. Тупкалом та iн.
Формальним розширенням класу рiвнянь параболiчного типу є еволюцiйнi рiвняння з псевдодиференцiальними операторами (ПДО), якi можна подати у виглядi A = F
−1
σ→x
[a(t, x; σ)Fx→σ], {x, σ} ⊂ R
n
, t > 0, де a – функцiя
(символ), що задовольняє певнi умови, F, F
−1
– пряме та обернене перетворення Фур’є. До ПДО належать диференцiальнi оператори, оператори дробового диференцiювання та iнтегрування, оператори згортки тощо. На сьогоднi
у теорiї задачi Кошi для еволюцiйних псевдодиференцiальних рiвнянь досягнуто значних результатiв. Це коректна розв’язнiсть задачi Кошi в просторах
Соболєва та їх аналогах для псевдодиференцiальних рiвнянь з аналiтичними
символами (Ю.А. Дубiнський), теорiя елiптичних рiвнянь у згортках у просторах Соболєва-Слободецького та її застосування до дослiдження загальних
мiшаних задач у цилiндричних областях для параболiчних рiвнянь i систем
рiвнянь iз частинними похiдними (М.С. Агранович, М.Й. Вiшик, Г.I. Ескiн),
класи єдиностi задачi Кошi для систем рiвнянь у згортках, якi є псевдодиференцiальними системами з аналiтичними символами (Б.I. Гуревич), теореми
про коректну розв’язнiсть задачi Кошi для рiвнянь та систем рiвнянь з ПДО,
символами яких є степеневi функцiї, з початковими даними з просторiв Лебега
(M. Nagase, R. Shinkai, C. Tsutsumi) та iн.
Важливий клас псевдодиференцiальних рiвнянь утворюють еволюцiйнi рiвняння з ПДО, побудованими за точково-негладкими однорiдними символами,
якi задовольняють умову ”параболiчностi” (у цьому випадку псевдодиференцiальний оператор називається параболiчним псевдодиференцiальним оператором (ППДО)). Випадок однорiдних символiв має застосування в теорiї випадкових процесiв, зокрема, при побудовi розривних процесiв Маркова за твiр6
ними iнтегро-диференцiальними операторами, якi належать до ПДО, у сучаснiй теорiї фракталiв, яка останнiм часом iнтенсивно розвивається. У теорiї задачi Кошi для параболiчних псевдодиференцiальних рiвнянь (ППДР) iз зазначеними ППДО вiдомi результати про структуру та оцiнки фундаментального
розв’язку задачi Кошi (ФРЗК), зображення розв’язку задачi Кошi у виглядi
iнтеграла Пуассона, дослiдженi якiснi властивостi розв’язкiв ППДР та систем
таких рiвнянь. Вiдзначимо при цьому, що асимптотика ФРЗК для таких рiвнянь вже не є експоненцiйною, як у випадку параболiчних рiвнянь з частинними похiдними, а степеневою. Якщо символ ППДО не залежить вiд просторових
координат, то задача Кошi для ППДР коректно розв’язна в просторi узагальнених функцiй типу розподiлiв, при цьому розв’язок подається у виглядi згортки
ФРЗК з початковою узагальненою функцiєю. Цi результати є науковим надбанням ряду вiтчизняних та закордонних математикiв, зокрема, С.Д. Ейдельмана i Я.М. Дрiня (якi першими визначили ППДО з негладкими символами i
розпочали дослiдження задачi Кошi для вiдповiдних ППДР), М.В. Федорюка,
А.Н. Кочубея, В.В. Городецького, В.А. Лiтовченка та iн.
До ПДО слiд вiднести i оператори F
−1
Bν
[a(t, x; σ)FBν
], породженi перетвореннями Бесселя FBν
, F
−1
Bν
. Якщо символ a є цiлою функцiєю аргументу σ, то
еволюцiйнi рiвняння вигляду ∂u/∂t + Au = 0 iз вказаним оператором мiстять
сингулярнi диференцiальнi рiвняння (тобто рiвняння, серед коефiцiєнтiв яких
є такi, що необмеженi в певнiй областi з R
n
), зокрема, рiвняння з оператором Бесселя Bν = d
2/dx2 + (2ν + 1)x
−1d/dx, ν > −1/2, який має у своїй
структурi вираз 1/x i формально зображається у виглядi Bν = F
−1
Bν
[−σ
2FBν
].
Якщо a(t, x; σ) = P(t, x; σ), де P – полiном змiнної σ при фiксованих t, x,
що задовольняє певну умову ”параболiчностi”, то таке рiвняння належить до
B-параболiчних рiвнянь, якi вироджуються на межi областi й за внутрiшнiми
властивостями є близькими до рiвномiрно параболiчних рiвнянь. Еволюцiйнi
рiвняння з оператором φ(Bν) = ∑
∞
k=0
ck(t)B
k
ν дослiджували В.В. Городецький,
О.В. Мартинюк, С.С. Дрiнь. З’ясовано, що такий оператор можна розумiти
як ПДО вигляду F
−1
Bν
[a(t, σ)FBν
] з певним символом a(t, σ) як цiлою функцiєю
змiнної σ. Встановлено коректну розв’язнiсть задачi Кошi у випадку, коли по7
чаткова функцiя є аналiтичним функцiоналом iз простору типу W′
. В.А. Лiтовченком побудовано клас псевдодиференцiальних сингулярних систем iз цiлими
аналiтичними символами a = a(t, σ), не залежними вiд просторових змiнних,
який мiстить у собi −→
2B-параболiчнi системи диференцiальних рiвнянь.
Якщо a(t, x; σ) – однорiдна негладка у точцi σ = 0 функцiя, що задовольняє
певнi умови, то оператор A, побудований за таким символом за допомогою перетворення Бесселя, надалi називатимемо псевдобесселевим оператором. Еволюцiйнi рiвняння iз псевдобесселевими операторами зi сталими символами розпочали дослiджувати В.В. Городецький та О.М. Ленюк (якщо функцiя a не
залежить вiд t та x, тобто a = a(σ), то такий символ називається ”сталим”).
Вони довели коректну розв’язнiсть задачi Кошi для еволюцiйних рiвнянь з
такими операторами та початковими даними, якi є узагальненими функцiями
типу розподiлiв. Аналогiчнi результати для еволюцiйних рiвнянь з оператором
φ(A) = ∑
∞
k=0
ckA
k
, A = F
−1
Bν
[a(σ)FBν
] (псевдобесселевим оператором нескiнченного порядку) отриманi Н.М. Шевчук. Задачу Кошi для еволюцiйних рiвнянь
iз псевдобесселевими операторами зi змiнними символами та початковими даними з класу обмежених неперервних парних на R функцiй вивчали В.В. Городецький та Д.I. Спiжавка.
Для подальшого розвитку теорiї еволюцiйних псевдодиференцiальних рiвнянь актуальним є: а) побудова нових класiв псевдодиференцiальних операторiв, якi б мiстили в собi клас псевдобесселевих операторiв зi сталими та змiнними символами; б) розвинення теорiї задачi Кошi для еволюцiйних рiвнянь
з такими операторами та початковими функцiями з рiзних функцiональних
просторiв.
Важливий клас операторiв узагальненого диференцiювання утворюють оператори Гельфонда-Леонтьєва, введенi в серединi XX сторiччя при вивченнi розкладiв цiлих функцiй в узагальненi ряди Фур’є, якi позначаються символами
Dn
(F, ·), n ∈ N. До таких операторiв належать оператори диференцiювання
d/dx = D1
(e
x
, ·) та оператори вигляду
A =
∑
mp
k=m
ckx
k−md
k
/dxk
, m ∈ N, p ∈ {2, 3, . . . }, x ∈ R.
8
Властивостi операторiв узагальненого диференцiювання дослiджували i продовжують дослiджувати математики в просторi A∞ однозначних i цiлих функцiй
з топологiєю компактної збiжностi (Ж. Дельсарт, Ж.-Л. Лiонс, Ю.Ф. Коробейник, М.I. Нагнибiда, В.В. Напалков, В.П. Подпорiн, В.А. Ткаченко, С.С.
Лiнчук та iн.). Зокрема, вивчалося питання про зображення лiнiйних неперервних вiдображень у виглядi операторiв узагальненого диференцiювання та
iнтегрування, диференцiальних або iнтегральних операторiв нескiнченного порядку. A∞ не є нормованим простором, але у той же час A∞ – простiр Фреше.
Прикладами iнших просторiв, елементами яких є цiлi функцiї i якi використовуються при дослiдженнi проблеми про класи єдиностi та класи коректностi
задачi Кошi для рiвнянь з частинними похiдними зi сталими (або залежними
лише вiд t) коефiцiєнтами є простори типу S, введенi I.М. Гельфандом та Г.Є.
Шиловим. Функцiї з таких просторiв на дiйснiй осi разом з усiма своїми похiдними при |x| → ∞ спадають швидше, нiж exp(−a|x|), a > 0, x ∈ R. Топологiя
таких просторiв вiдмiнна вiд топологiї простору A∞. У працях Горбачука М.Л.,
Горбачук В.I., Кашпiровського О.I., Дуднiкова П.I., Городецького В.В., Андросової Л.I., Возняк О.Г., Лiтовченка В.А. та iн. встановлено, що простори типу
S та топологiчно спряженi до них простори типу S
′
є природними множинами
початкових даних задачi Кошi для широких класiв рiвнянь з частинними похiдними скiнченного та нескiнченного порядкiв, при яких розв’язки є цiлими
функцiями за просторовими змiнними. У зв’язку з цим актуальним є питання про дослiдження задачi Кошi у просторах, якi є узагальненнями просторiв
типу S, а також у просторах, топологiчно спряжених до них, для еволюцiйних
рiвнянь з операторами узагальненого диференцiювання Гельфонда-Леонтьєва
як скiнченного, так i нескiнченного порядкiв.
Узагальненням задачi Кошi є нелокальна багатоточкова за часом задача,
коли початкова умова u(t, ·)|t=0 = f замiнюється умовою ∑
m
k=0
αku(t, ·)|t=tk = f,
де t0 = 0, {t1, . . . , tm} ⊂ (0, T], {α0, α1, . . . , αm} ⊂ R, m ∈ N – фiксованi
числа (якщо α0 = 1, α1 = α2 = · · · = αm = 0, то маємо, очевидно, задачу
Кошi). Нелокальнi за часом задачi належать до нелокальних крайових задач
для рiвнянь з частинними похiдними. Такi задачi виникають при моделюваннi
9
багатьох процесiв i задач практики крайовими задачами для рiвнянь з частинними похiдними з нелокальними умовами (теорiя фiзики плазми, ядернi реакцiї, процеси вологоперенесення у капiлярно-пористих середовищах, дифузiї та
поширення електромагнiтних хвиль, демографiчнi дослiдження, задачi математичної бiологiї). Такi задачi виникають також при описуванi всiх коректних
задач для конкретного оператора, при побудовi загальної теорiї крайових задач.
Дослiдженням нелокальних крайових задач у рiзних аспектах займалося
багато математикiв, використовуючи при цьому рiзнi методи та пiдходи (О.О.
Дезiн, В.К. Романко, С.Г. Крейн, В.М. Борок, М.Л. Горбачук, А.Н. Нахушев,
А.Х. Мамян, Б.Й. Пташник, В.С. Iлькiв, В.I. Чесалiн, А.Л. Скубачевський та
iн.). Одержанi важливi результати щодо постановки, коректної розв’язностi та
побудови розв’язкiв, дослiдженi питання залежностi характеру розв’язностi
задач вiд поведiнки символiв операцiй, сформульованi умови регулярностi
та нерегулярностi крайових умов для важливих випадкiв диференцiальнооператорних рiвнянь.
Нелокальну m-точкову за часом задачу для еволюцiйних рiвнянь з псевдодиференцiальними операторами, побудованими за точково-негладкими однорiдними символами, незалежними вiд просторових змiнних та крайовою умовою, яка визначається узагальненою функцiєю скiнченного порядку, дослiджували Я.М. Дрiнь, В.В. Городецький та М.М. Дрiнь. Двоточкову за часом
задачу для рiвняння теплопровiдностi та B-параболiчного рiвняння зi сталими
коефiцiєнтами вивчав М.I. Матiйчук. Знайденi функцiї Грiна вказаних задач,
за допомогою яких розв’язки зображаються у виглядi об’ємних потенцiалiв.
Двоточкову та m-точкову (m ≥ 2) за часом задачу для еволюцiйного
рiвняння з псевдобесселевим оператором, побудованим за сталим символом,
вивчали В.В. Городецький, О.М. Ленюк та Д.I. Спiжавка. Встановлено коректну розв’язнiсть задачi у випадку, коли гранична функцiя є узагальненою
функцiєю типу розподiлiв Соболєва-Шварца, знайдено зображення розв’язку
у виглядi згортки фундаментального розв’язку з граничною функцiєю.
На сьогоднi актуальними є: 1) побудова теорiї нелокальної багатоточкової
10
за часом задачi для еволюцiйних рiвнянь вигляду
∂u(t, x)
∂t + φ(A)u(t, x) = 0, t ∈ (0, T], x ∈ R
n
, (0.1)
де φ(A) – цiла функцiя вiд оператора A, зокрема, φ(A) = A, A – псевдобесселевий оператор, побудований як за сталим, там i змiнним символом,
негладким у точцi σ = 0, з класу, який мiстить символи, що задовольняють умову ”параболiчностi”, або A – оператор узагальненого диференцiювання Гельфонда-Леонтьєва, або A – невiд’ємний самоспряжений оператор у сепарабельному гiльбертовому просторi; φ(A) розглядається у рiзних злiченнонормованих просторах нескiнченно диференцiйовних функцiй (чи їх проективних або iндуктивних границях); умова
∑
m
k=0
αku(t, ·)|t=tk = f (0.2)
трактується в класичному розумiннi або в слабкому сенсi, якщо f – узагальнена функцiя типу розподiлiв або ультрарозподiлiв, тобто як граничне спiввiдношення
∑
m
k=0
αk lim
t→tk
⟨u(t, ·), φ⟩ = ⟨f, φ⟩
для довiльної функцiї φ з основного простору (тут ⟨f, ·⟩ позначає дiю функцiоналу f на основну функцiю);
2) розвинення методики дослiдження ФРБЗ – фундаментального розв’язку
задачi (0.1), (0.2).
Дисертацiйна робота присвячена вирiшенню наведених вище питань.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацiя виконана в рамках наукової кафедральної теми ”Дослiдження крайових
задач для рiвнянь з частинними похiдними та задач оптимального керування”
(державний реєстрацiйний номер 0113U003171) кафедри диференцiальних рiвнянь Чернiвецького нацiонального унiверситету iменi Юрiя Федьковича та
держбюджетних науково-дослiдних робiт ”Дослiдження крайових задач для
диференцiальних i псевдодиференцiальних рiвнянь параболiчного i елiптичного типу та їх застосування” (державний реєстрацiйний номер 0112U002339)
та ”Аналiтичнi та наближенi методи дослiдження нових класiв еволюцiйних
11
неперервних i дискретних систем” (державний реєстрацiйний 0115U003230)
Чернiвецького нацiонального унiверситету iменi Юрiя Федьковича

Список літератури

ВИСНОВКИ
У дисертацiї побудовано теорiю коректної розв’язностi задачi Кошi та нелокальної багатоточкової за часом задачi для еволюцiйних рiвнянь вигляду
∂u/∂t+φ(A)u = 0, де φ(A) – цiла функцiя вiд оператора A, зокрема, φ(A) = A,
A – псевдобесселевий оператор, побудований як за сталим, так i за змiнним символом, негладким у точцi σ = 0, з класу, який мiстить символи, що
задовольняють умову ”параболiчностi”, або A – оператор узагальненого диференцiювання Гельфонда-Леонтьєва, φ(A) розглядається у рiзних злiченнонормованих просторах нескiнченно диференцiйованих функцiй (чи їх проективних або iндуктивних границях). Дослiдженi також еволюцiйнi рiвняння
вказаного вигляду з невiд’ємними самоспряженими операторами в абстрактному гiльбертовому просторi.
Для розглянутого рiвняння ставиться умова ∑
m
k=0
µku(t, ·)

t=tk
= f, яка трактується у класичному розумiннi або в слабкому сенсi, якщо f – узагальнена
функцiя типу розподiлiв або ультрарозподiлiв, тобто як граничне спiввiдношення ∑
m
k=0
µk lim
t→tk
⟨u(t, ·), φ⟩ = ⟨f, φ⟩ для довiльної функцiї φ з основного простору.
При одержаннi результатiв розвинена методика дослiдження фундаментального розв’язку нелокальної багатоточкової задачi для вказаних еволюцiйних рiвнянь, встановлено структуру та вивчено властивостi фундаментальних
розв’язкiв задачi Кошi та нелокальної багатоточкової задачi. Знайдено умови
коректної визначеностi оператора φ(A) у рiзних просторах нескiнченно диференцiйовних функцiй та у просторах формальних рядiв Фур’є вигляду ∑
∞
k=1
ckek,
де {ek, k ≥ 1} – ортонормований базис сепарабельного гiльбертового простору.
Побудовано новi класи сталих та змiнних символiв, недиференцiйовних у
точцi 0, якi мiстять вiдомий клас символiв, що задовольняють умову ”параболiчностi”, а також за їх допомогою i новi класи псевдодиференцiальних операторiв скiнченного i нескiнченного порядкiв.
Побудовано простори основних функцiй, у яких вказанi оператори є неперервними, дослiджено топологiчну структуру цих просторiв та їх образiв при
вiдображеннi Бесселя. Вивчено властивостi перетворення Бесселя узагальне326
них функцiй з просторiв, якi є топологiчно спряженими до просторiв основних
функцiй, а також властивостi згорток, згортувачiв та мультиплiкаторiв, якi використовувалися при знаходженнi аналiтичного зображення розв’язкiв задачi
Кошi та нелокальної багатоточкової задачi для вказаних рiвнянь. Доведено коректну розв’язнiсть задачi Кошi та нелокальної багатоточкової за часом задачi
у випадку, коли початковi функцiї та функцiї, за допомогою яких задається
нелокальна багатоточкова задача, є елементами широких класiв гладких функцiй та топологiчно спряжених до них просторiв.
Дослiджена властивiсть локалiзацiї розв’язкiв зазначених задач; встановлено, що якщо початкова узагальнена функцiя або узагальнена гранична функцiя f збiгається на вiдкритiй множинi Q ⊂ R з неперервною функцiєю g, то на
довiльному компактi K ⊂ Q граничне спiввiдношення
µ lim
t→+0
u(t, x) −
∑
m
k=1
µk lim
t→tk
u(t, x) = g(x), {t1, ..., tm} ⊂ (0, T],
справджується рiвномiрно або поточково вiдносно x ∈K.
Дослiджено топологiчну структуру просторiв S
mn
lk
({lk, k ≥ 1}, {mn, n ≥ 1}
– монотонно зростаючi послiдовностi додатних чисел, якi задовольняють певнi
умови), якi є узагальненнями вiдомих просторiв S
β
α
, введених I.М. Гельфандом
та Г.Є.Шиловим. Доведено, що у просторах S
mn
lk
визначенi i є неперервними
операцiї диференцiювання, зсуву аргументу, множення на нескiнченно диференцiйовнi функцiї, якi задовольняють певнi умови. Обґрунтовано, що в цих
просторах визначенi i є неперервними не лише оператори узагальненого диференцiювання Гельфонда-Леонтьєва A = Dn
(F, ·), n ∈ N, а й оператори
φ(A) = ∑
∞
k=0
ckAk
, якi трактуються як оператори узагальненого диференцiювання нескiнченного порядку.
Дослiджено задачу Кошi та нелокальну двоточкову за часом задачу
для еволюцiйних рiвнянь iз вказаними операторами, доведено їх коректну
розв’язнiсть. Знайдено аналiтичне зображення розв’язкiв вказаних задач у випадках, коли f ∈ S
mn
lk
та f ∈ (S
mn
lk
)
′
.
У просторах узагальнених елементiв, якi ототожнюються з формальними
рядами Фур’є, введено операцiю ”абстрактної згортки”. За допомогою цiєї опе327
рацiї невiд’ємнi самоспряженi оператори iз суто дискретними спектрами трактуються як оператори згортки. Такий пiдхiд дозволив встановити для широкого класу диференцiально-операторних рiвнянь коректну розв’язнiсть нелокальної багатоточкової задачi.
Знайдено: а) структуру фундаментального розв’язку G(t), t ∈ (0, T], та вивчено його властивостi; б) зображення розв’язку u(t) у виглядi згортки G(t)∗f,
де граничний елемент f є лiнiйним неперервним функцiоналом на певному
пiдпросторi основних елементiв X ⊂ H ⊂ X′
(H – гiльбертiв простiр). Встановлено, що {u(t), G(t), t ∈ (0, T]} ⊂ X i u(t) – сильно диференцiйовна на
(0, T] функцiя, яка задовольняє граничну умову у просторi X′
.
Для еволюцiйних рiвнянь з невiд’ємними самоспряженими операторами в
гiльбертовому просторi знайдено ”максимальний” простiр елементiв для постановки нелокальної багатоточкової задачi, за якими розв’язок u(t) однозначно
вiдновлюється i володiє необхiдними властивостями.
Результати, якi наведенi у дисертацiйнiй роботi, одержанi у процесi дослiджень з використанням класичних методiв теорiї задачi Кошi для лiнiйних параболiчних i B-параболiчних рiвнянь та систем, методiв теорiї просторiв основних та узагальнених функцiй, теорiї самоспряжених операторiв у гiльбертовому просторi, методiв теорiї формальних рядiв Фур’є та теорiї граничних
значень розв’язкiв диференцiально-операторних рiвнянь.
Результати можуть знайти застосування у теорiї сингулярних параболiчних
рiвнянь, параболiчних псевдодиференцiальних рiвнянь, рiвнянь з частинними
похiдними нескiнченного порядку та теорiї узагальнених функцiй